1、2006 年高考文科数学试题（福建卷） 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 （ 1）已知两条直线 2yax=和 (2)1ya x=+ +互相垂直，则 a等于 （ A） 2 （ B） 1 （ C） 0 （ D） 1 （ 2）在等差数列 n a 中，已知 123 2, 13,aaa=+=则 456 aaa+ + 等于 （ A） 40 （ B） 42 （ C） 43 （ D） 45 （ 3） tan 1 = 是 4 = 的 （ A）充分而不必要条件 （ B）必要不而充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分也不必要条
2、件 （ 4）已知 3 (,),sin , 25 =则 tan( ) 4 + 等于 （ A） 1 7 （ B） 7 （ C） 1 7 （ D） 7 （ 5）已知全集 ,UR= 且 2 |12, | 680,Axx Bxx x=+的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60 o 的直线与双曲 线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （A） (1, 2 （B） (1, 2) （C） 2, )+ （D） (2, )+ （ 12）已知 ()f x 是周期为 2 的奇函数，当 01x 时， () lg.f xx= 设 63 (), (), 52 af bf= 5 (), 2 cf= 则 （
3、 A） abc （ B） bac （ C） cba （ D） cab在区间 , 34 上的最小值是 2 ，则 的最小值是 。 三解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17） （本小题满分 12 分） 已知函数 22 ( ) sin 3 sin cos 2cos , .f xx xx xR=+ + （ I）求函数 ()f x 的最小正周期和单调增区间； （ II）函数 ()f x 的图象可以由函数 sin 2 ( )yxxR= 的图象经过怎样的变换得到？ （ 18） （本小题满分 12 分） 每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字 1, 2,3,
4、 4,5, 6). （ I）连续抛掷 2 次，求向上的数不同的概率； （ II）连续抛掷 2 次，求向上的数之和为 6 的概率； （ III）连续抛掷 5 次，求向上的数为奇数恰好出现 3 次的概率。 （ 19） （本小题满分 12 分） 如图，四面体 ABCD 中， O、 E 分别是 BD、 BC 的中点， 2, 2.CA CB CD BD AB AD= = （ I）求证： AO 平面 BCD； （ II）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小； （ III）求点 E 到平面 ACD 的距离。 （ 20） （本小题满分 12 分） 已知椭圆 2 2 1 2 x y+=的左焦点为 F， O
5、为坐标原点。 （ I）求过点 O、 F，并且与椭圆的左准线 l相切的圆的方程； （ II）设过点 F 的直线交椭圆于 A、 B 两点，并且线段 AB 的 中点在直线 0 xy+ = 上，求直线 AB 的方程。 （ 21） （本小题满分 12 分） 已知 ()f x 是二次函数，不等式 () 0fx 的解集是 (0,5),且 ()f x 在区间 1, 4 上的最大值是 12。 （ I）求 ()f x 的解析式； （ II）是否存在实数 ,m 使得方程 37 () 0fx x + = 在区间 (, 1)mm+ 内有且只有两个不等的实数 根？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由。 （ 2
6、2） （本小题满分 14 分） 已知数列 n a 满足 * 12 2 1 1, 3, 3 2 ( ). nnn aa a a a N + = = （ I）证明：数列 1nn aa + 是等比数列； C A D B O E x y l F O （ II）求数列 n a 的通项公式； （ II）若数列 n b 满足 12 111 * 4 4 .4 ( 1) ( ), nn bbbb n anN =+ 证明 n b 是等差数列。 2006 年高考 (福建卷 )数学文试题答案 一选择题：本大题考查基本概念和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分。 （ 1） D （ 2） B （ 3） B （ 4）
7、A （ 5） C （ 6） A （ 7） D （ 8） B （ 9） B （ 10） C （ 11） C （ 12） D 二填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 4 分满分 16 分。 （ 13） 10 （ 14） 1 4 （ 15） 4 （ 16） 3 2 三解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17）本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识， 以及推理和运算能力。满分 12 分。 解： （ I） 1cos2 3 () sin2 (1 cos2) 22 x f xxx =+ 313 sin 2 c
8、os 2 222 3 sin(2 ) . 62 xx x =+ =+ ()f x 的最小正周期 2 . 2 T = 由题意得 222, 26 2 kxkkZ + + 即 ,. 36 kxkkZ + ()f x 的单调增区间为 ,. 36 kk kZ + （ II）方法一： 先把 sin 2y x= 图象上所有点向左平移 12 个单位长度，得到 sin(2 ) 6 yx =+的图象，再把所 得图象上所有的点向上平移 3 2 个单位长度，就得到 3 sin(2 ) 62 yx = +的图象。 方法二： 把 sin 2y x= 图象上所有的点按向量 3 (,) 12 2 a = null 平移，就得
9、到 3 sin(2 ) 62 yx = +的图象。 （ 18）本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决实际问题的能力。满分 12 分。 解： （ I）设 A 表示事件“抛掷 2 次，向上的数不同” ，则 65 5 () . 66 6 PA = 答：抛掷 2 次，向上的数不同的概率为 5 . 6 （ II）设 B 表示事件“抛掷 2 次，向上的数之和为 6” 。 向上的数之和为 6 的结果有 (1, 5) 、 (2,4)、 (3,3) 、 (4,2)、 (5,1) 5 种， 55 () . 66 36 PB = 答：抛掷 2 次，向上的数之和为 6 的概率为 5 . 36 （ III）设
10、C 表示事件“抛掷 5 次，向上的数为奇数恰好出现 3 次” ，即在 5 次独立重复试验中， 事件“向上的数为奇数”恰好出现 3 次， 332 55 11 10 5 () (3) ()() . 2 2 32 16 PC P C = = 答：抛掷 5 次，向上的数为奇数恰好出现 3 次的概率为 5 . 16 （ 19）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识， 考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分 12 分。 方法一： （ I）证明：连结 OC , .BODOABADAOBD= , .BODOBCCDCOBD= 在 AOC 中，由已知可得 1, 3
11、.AO CO= 而 2,AC = 22 2 ,AO CO AC += 90 , o AOC=即 .AOOC ,BDOCO= AO 平面 BCD （ II）解：取 AC 的中点 M，连结 OM、 ME、 OE，由 E 为 BC 的中点知 MEAB,OEDC 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角 在 OME 中， 121 ,1, 22 2 EM AB OE DC= = OM 是直角 AOC 斜边 AC 上的中线， 1 1, 2 OM AC = 2 cos , 4 OEM = A B M D E O C 异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 2 arccos .
12、 4 （III）解：设点 E 到平面 ACD 的距离为 .h , 11 . 33 EACD ACDE ACD CDE VV hS AOS = = 在 ACD 中， 2, 2,CA CD AD= = 22 127 22() . 2 ACD S = = 而 2 13 3 1, 2 , 24 2 CDE AO S = 3 1 . 21 2 . 77 2 CDE ACD AOS h S = 点 E 到平面 ACD 的距离为 21 . 7 方法二： （ I）同方法一。 （ II）解：以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 (1,0,0), ( 1,0,0),BD 13 (0, 3,0), (0,0,
13、1), ( , ,0), ( 1,0,1), ( 1, 3,0). 22 CAE BA CD= = nullnullnullnull nullnullnullnull .2 cos , , 4 BACD BA CD BA CD = = nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull 异面直线 AB 与 CD 所成角 的大小为 2 arccos . 4 （ III）解：设平面 ACD 的法向量为 (, ,),nxyz= null 则 .(,)
14、.(1,01)0, .(,).(0,3,1)0, nAD xyz nAC xyz = null nullnullnullnull null nullnullnullnull x C A B O D y z E 0, 30. xz yz += = 令 1,y = 得 (3,1,3)n= null 是平面 ACD 的一个法向量。 又 13 (,0), 22 EC = nullnullnullnull 点 E 到平面 ACD 的距离 . 321 . 7 7 EC n h n = nullnullnullnull null null （ 20）本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解
15、析几何的基本方法，考查 运算能力和综合解题能力。满分 12 分。 解： （ I） 22 2, 1, 1, ( 1, 0), : 2.ab cF lx= = 圆过点 O、 F， 圆心 M 在直线 1 2 x= 上。 设 1 (,), 2 M t 则圆半径 13 ()(2) . 22 r = = 由 ,OM r= 得 22 13 () ,t += 解得 2.t = 所求圆的方程为 22 19 ()(2). 24 xy+ = （ II）设直线 AB 的方程为 (1)( 0),ykx k=+ 代入 2 2 1, 2 x y+=整理得 22 2 2 (1 2 ) 4 2 2 0.kx kx k+= 直线
16、 AB 过椭圆的左焦点 F， 方程有两个不等实根， 记 11 2 2 (, ),(, ),Ax y Bx y AB中点 00 (, ),Nx y 则 2 12 2 4 , 21 k xx k += + x y l A N B F O 2 012 0022 12 () ,(1) , 221 21 kk xxx ykx=+= =+= + 线段 AB 的中点 N 在直线 0 xy+=上， 2 00 22 2 0, 2121 kk xy kk += + = + 0k = ，或 1 . 2 k = 当直线 AB 与 x轴垂直时，线段 AB 的中点 F 不在直线 0 xy+ = 上。 直线 AB 的方程是
17、 0,y = 或 210.xy+= （ 21）本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考 查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分 12 分。 （ I）解： ()f x 是二次函数，且 () 0fx ()f x 在区间 1, 4 上的最大值是 (1) 6.f a = 由已知，得 612,a= 2 2, () 2( 5) 2 10( ). a f xxx x xxR = = （ II）方程 37 () 0fx x +=等价于方程 32 210 370.xx += 设 32 ( ) 2 10 37,hx x x= + 则 2 ( )
18、 6 20 2 (3 10).hx x x xx= 当 10 (0, ) 3 x 时， ( ) 0, ( )hx hx 是增函数。 10 1 (3) 1 0, ( ) 0, (4) 5 0, 327 hh h= = 方程 () 0hx= 在区间 10 10 (3, ),( , 4) 33 内分别有惟一实数根，而在区间 (0,3), (4, )+ 内没有实 数根， 所以存在惟一的自然数 3,m= 使得方程 37 () 0fx x + = 在区间 (, 1)mm+ 内有且只有两个不同 的实数根。 （ 22）本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。 满分 14
19、 分。 （ I）证明： 21 32, nnn aaa + = 21 1 12 *21 1 2( ), 1, 3, 2( ). nn nn nn nn aa aa aa aa nN aa + + + + = = = 1nn aa + 是以 21 aa 2= 为首项， 2 为公比的等比数列。 （ II）解：由（ I）得 * 1 2( ), n nn aa N + = 112 211 ( ) ( ) . ( ) nnn nn aaa aa aaa = + + 12 * 2 2 . 2 1 21( ). nn n nN =+ = （ III）证明： 12 111 4 4 .4 ( 1) , nn bbbb n a =+ 12 (.) 42, nn bb b nb+ = 12 2( . ) , nn bb b nnb + = 12 1 1 2( . ) ( 1) ( 1) . nn n bb bb n n b + + +=+ ，得 11 2( 1) ( 1) , nnn bnbb + =+ 即 1 (1) 20. nn nb nb + += 21 (1) 20. nn nb n b + + += ，得 21 20, nnn nb nb nb + += 即 21 20, nnn bbb + += * 21 1 (), nnnn bbbb N + = n b 是等差数列。
