1、2006年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（全国卷） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1至2页。第卷3 到10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷 注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 3本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式 )()()( BPAPBAP +=+ 2 4 RS =
2、 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 )()()( BPAPBAP = 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 3 3 4 RV = n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 knkk nn PPCkP = )1()( 一选择题 （1）已知向量a、b满足|a|=1，|b|=4，且ab=2，则a与b的夹角为 （A） 6 （B） 4 （C） 3 （D） 2 （2）设集合M=x|x 2 -x0,N=x|x|0 ) （C）f(2x)=2e 2x (x )R （D）f(2x)= lnx+ln2(x0 ) （4）双曲线mx 2 +y 2 =1的虚轴长是实轴长
3、的2倍,则m= （A）- 4 1 （B）-4 (C)4 （D） 4 1 （5）设S n 是等差数列a n 的前n项和,若S 7 =35,则a 4 = （A）8 （B）7 （C）6 （D）5 （6）函数f(x)=tan(x+ 4 )的单调递增区间为 （A）(k - 2 , k + 2 ),k Z （B）(k , (k+1) ),k Z (C) (k - 4 3 , k + 4 ),k Z （D）(k - 4 , k + 4 3 ),k Z （7）从圆x 2 -2x+y 2 -2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为 （A） 2 1 （B） 5 3 （C） 2 3
4、（D）0 （8）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c，且c=2a，则cosB= （A） 4 1 （B） 4 3 （C） 4 2 （D） 3 2 （9）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4，体积为16，则这个球的表面积是 （A）16 （B）20 （C）24 （D）32 （10）在（x- x2 1 ） 10 的展开式中，x 4 的系数为 （A）-120 （B）120 （C）-15 （D）15 （11）抛物线y=-x 2 上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是 （A） 3 4 （B） 5 7 （C） 5 8 （D）3 （12）用长度分别为2、3、4、5、6(单位:c
5、m)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许 折断),能够得到期的三角形面积的最大值为 （A）8 5 cm 2 （B）6 10 cm 2 （C）3 55 cm 2 （D）20cm 2 第卷 注意事项： 1用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。 2答卷前将密封线内的项目填写清楚。 3本卷共10小题，共90分。 题号 二 17 18 19 20 21 22 总分 分数 二本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。 （13）已知函数f(x)=a- 12 1 + x ,若f(x)为奇函数，则a = 。 （14）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2 6 ,则侧面与底面所成的二面角等
6、 于 。 得分 评卷人 （15）设z=2y-x,式中x、y满足下列条件 + 1 2323 12 y yx yx 则z的最大值为_ (16)安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班,每人值班一天,其中甲乙二人都不安排5 月1日和5月2日.不同的安排方法共有_种(用数字作答) 三解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本大题满分12分） 已知a n 为等差数列,a 3 =2,a 2 +a 4 = 3 20 ,求a n 的通项公式. （18）（本大题满分12分） ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时,cosA+cos 2 CB+ 取得 最大值,并
7、求出这个最大值 得分 评卷人 得分 评卷人 （19）（本大题满分12分） A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个 试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一组试验 中，服用A有郊的小白鼠只数比服用B有郊的多，就称该组试验为甲类组.设每只小白鼠服 用A有郊的概率为 3 2 ，服用B有郊的概率为 2 1 . （）求一个试验组为甲类组的概率; （）观察3个试验组,求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率. 得分 评卷人 （20）（本大题满分12分） 如图,l 1 、l 2 是互相垂直的两条异面直线，MN是它们的公垂线段，点A、 B在l 1 上，C
8、在l 2 上，AM=MB=MN （I）证明ACNB （II）若 = 60ACB，求NB与平面ABC所成角的余弦值 得分 评卷人 A B C M N l 1 l 2 （21）（本大题满分12分） 设P为椭圆1 2 2 2 =+ y a x (a1)短轴上的一个端点,Q为椭圆上的一个动 点,求|PQ|的最大值 得分 评卷人 （22）（本大题满分14分） 设a为实数,函数f(x)=x 3 -ax 2 +(a 2 -1)x在(-,0)和(1, )都是增函数,求a 的最值范围 得分 评卷人 2005全国卷I（河北、河南、安徽、山西） 文科数学参考答案 一选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满
9、分60分。 1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.C 8.B 9.C 10.B 11.B 12.D 二填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。 13155 14. 70 15.100 16. 三解答题 （17）本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。满分12分。 解：（I） x= 8 是函数y=f(x)的图像的对称轴， sin(2 8 + )=1， 4 + =k+ 2 ，kZ. - 0, =- 4 3 . （II）由（I）知 =- 4 3 ，因此 y=sin(2x- 4 3 ). 由题意得 2k- 2 2x- 4 3 2k+ 2 , k
10、Z. 所以函数y=sin(2x- 4 3 )的单调增区间为 k+ 8 ,k+ 8 5 , kZ. (III)由y=sin(2x- 4 3 )知 x 0 8 8 3 8 5 8 7 y - 2 2 -1 0 1 0 - 2 2 故函数y=f(x)在区间0，上的图像是 （18）本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想 象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力，满分12分。 方法一： （I）证明：PA面ABCD，CDAD， 由三垂线定理得：CDPD. 因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直， CD面PAD. 又CD面PCD，面PADPCD. （II）解
11、：过点B作BECA，且BE=CA，则PBE是AC与PB所成的角. 连结AE，可知AC=CB=BE=AE= 2，又AB=2， 所以四边形ACBE为正方形. 由PA面ABCD得PEB=90， 在RtPEB中BE= 2，PB= 5， cosPBE= , 5 10 = PB BE AC与PB所成的角为arccos 5 10 . (III)解：作ANCM，垂足为N，连结BN. 在RtPAB中，AM=MB，又AC=CB， AMCBMC， BNCM，故ANB为所求二面角的平面角。 CBAC，由三垂线定理，得CBPC， 在RtPCB中，CM=MB，所以CM=AM. 在等腰三角形AMC中，ANMC= AC AC
12、 CM 22 ) 2 ( . AN= 5 6 2 5 2 2 3 = . AB=2， cosANB= . 3 2 2 222 = + BNAN ABBNAN 故所求的二面角为arccos(- 3 2 ). 方法二：因为PAAD，PAAB，ADAB，以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图 建立空间直角坐标系，则各点坐标为 A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1, 2 1 ). (I)证明：因AP =(0,0,1), DC =(0,1,0),故AP DC =0,所以APDC. 又由题设知ADDC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线
13、，由此得DC面PAD。 又DC在面PCD上，故面PAD面PCD. （II）解：因AC =(1,1,0), PB =(0,2,-1), 故| AC |= 2，| PB |= 5，ACPB =2，所以 cos= | PBAC PBAC = . 5 10 由此得AC与PB所成的角为arccos . 5 10 （III）解：在MC上取一点N(x,y,z),则存在R，使 NC =MC， NC =(1-x,1-y,-z), MC =(1,0,- 2 1 ), x=1-,y=1,z= 2 1 . 要使ANMC只需AN MC =0,即 x- 2 1 z=0,解得= 5 4 . 可知当= 5 4 时,N点坐标为
14、( 5 1 ,1, 5 2 ),能使AN MC =0. 此时, AN =( 5 1 ,1, 5 2 ), BN =( 5 1 ,-1, 5 2 ),有BN MC =0. 由AN MC =0, BN MC =0得ANMC,BNMC.所以ANB为所求二面角的平面角. | AN |= 5 30 ,| BN |= 5 30 , AN BN =- 5 4 . cos= . 3 2 | = BNAN BNAN 故所求的二面角为arccos(- 3 2 ). (19)本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力. 满分12分。 解：（I）f(x)+2x0的解集为（1，3）， f
15、(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a0.因而 f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax 2 -(2+4a)x+3a. 由方程f(x)+6a=0得 ax 2 -(2+4a)x+9a=0. 因为方程有两个相等的根，所以=-(2+4a) 2 -4a9a=0, 即 5a 2 -4a-1=0. 解得 a=1或a=- 5 1 . 由于a0，舍去a=1.将a=- 5 1 代入得f(x)的解析式 f(x)=- 5 1 x 2 - 5 6 x- 5 3 . (II)由 f(x)=ax 2 -2(1+2a)x+3a =a(x- a a21+ ) 2 - a aa 14 2 + 及a0，可得f(x)的最大
16、值为- a aa 14 2 + . 由 + ,0 ,0 14 2 a a aa 解得 a-2- 3或-2+ 3 a0，所以 2 10 q 10 =1, 解得q= 2 1 ,因而 a n =a 1 q n-1 = n 2 1 ,n=1,2,. (II)因为a n 是首项a 1 = 2 1 、公比q= 2 1 的等比数列，故 S n = 2 1 1 ) 2 1 1( 2 1 n =1- n 2 1 ，nS n =n- n n 2 . 则数列nS n 的前n项和 T n =(1+2+n)-( 2 1 + 2 2 2 + n n 2 )， 2 1 2 = n T (1+2+n)-( 2 2 1 + 3
17、 2 2 + 1 22 1 + + nn nn ). 前两式相减，得 2 1 2 = n T (1+2+n)-( 2 1 + 2 2 1 + n 2 1 )+ 1 2 +n n = 4 )1( +nn - 2 1 1 ) 2 1 1( 2 1 n + 1 2 +n n , 即 T n = .2 22 1 2 )1( 1 + + nn nnn （22）本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性等性质等基本知识，考查综合运 用数学知识解决问题及推理的能力.满分14分. （I）解：设椭圆方程为 2 2 2 2 b y a x + =1(ab0),F(c,0). 则直线AB的方程为y=x-c, 代
18、入 2 2 2 2 b y a x + =1，化简得 (a 2 +b 2 )x 2 -2a 2 cx+a 2 c 2 -a 2 b 2 =0. 令A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ), 则 x 1 +x 2 = 22 2 2 ba ca + ,x 1 x 2 = 22 2222 ba baca + . 由OBOA+ =(x 1 +x 2 ,y 1 +y 2 ),a=(3,-1), OBOA+与a共线，得 3(y 1 +y 2 )+(x 1 +x 2 )=0. 又 y 1 =x 1 -c,y 2 =x 2 -c, 3(x 1 +x 2 -2c)+(x 1 +x 2 )=0, x 1
19、 +x 2 = . 2 3c 即 2 32 22 2 c ba ca = + ,所以a 2 =3b 2 . c= 3 6 22 a ba = , 故离心率e= 3 6 = a c . （II）证明：由（I）知a 2 =3b 2 ,所以椭圆 2 2 2 2 b y a x + =1可化为 x 2 +3y 2 =3b 2 . 设OM =(x,y),由已知得 (x,y)=(x 1 ,y 1 )+(x 2 ,y 2 ), x=x 1 +x 2 , y=y 1 +y 2 . M(x,y)在椭圆上， (x 1 +x 2 ) 2 +3(y 1 +y 2 ) 2 =3b 2 . 即 2 ( 2 1 x +3
20、2 1 y )+ 2 ( 2 2 x +3 2 2 y )+2(x 1 x 2 +3y 1 y 2 )=3b 2 , 由（I）知x 1 +x 2 = 2 3 c,a 2 = 2 3 c 2 ,b 2 = 2 1 c 2 . x 1 x 2 = 8 3 22 2222 = + ba baca c 2 . x 1 x 2 +3y 1 y 2 =x 1 x 2 +3(x 1 -c)(x 2 -c) =4x 1 x 2 -3(x 1 +x 2 )c+3c 2 = 2 3 c 2 - 2 9 c 2 +3c 2 =0. 又 2 1 2 1 3yx + =3b 2 , 2 2 2 2 3yx + =3b 2 ,代入得 2 + 2 =1. 故 2 + 2 为定值，定值为1.
