1、2006 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类） 数学试卷( 理工农医类 ) 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。 3. 考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。 一、选择题:本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 函数 2log 2 = xy 的定义域是 A )
2、,3( + B ),3 + C ),4( + D ),4 + 2. 若数列 n a 满足 : 3 1 1 =a , 且对任意正整数 nm, 都有 nmnm aaa = + , 则 =+ + )(lim 21 n n aaa A 2 1 B 3 2 C 2 3 D 2 3. 过平行六面体 1111 DCBAABCD 任意两条棱的中点作直线, 其中与平面 11 DDBB 平 行的直线共有 A4 条 B6 条 C8 条 D12 条 4. “ 1=a ”是“函数 |)( axxf = 在区间 ),1 + 上为增函数”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5. 已知
3、 ,0|2| = ba 且关于 x 的方程 0| 2 =+ baxax 有实根, 则 a 与 b 的夹角 的取值范围是 A 6 ,0 B , 3 C 3 2 , 3 D , 6 6. 某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过 2 个, 则该外商不同的投资方案有 A 16 种 B36 种 C42 种 D60 种 7. 过双曲线 1: 2 2 2 = b y xM 的左顶点 A作斜率为 1 的直线 l, 若 l与双曲线 M 的两条 渐近线分别相交于点 CB, , 且 | BCAB = , 则双曲线 M 的离心率是 A 10 B 5 C 3 10 D 2
4、5 8. 设函数 1 )( = x ax xf , 集合 0)(|,0)(| = xfxPxfxM , 若 PM , 则实数 a的取值范围是 A )1,( B )1,0( C ),1( + D ),1 + 9. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图1, 则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 图1 A 2 2 B 2 3 C 2 D 3 10. 若圆 01044 22 =+ yxyx 上至少有三个不同的点到直线 0: =+byaxl 的 距离为 22 ,则直线 l的倾斜角的取值范围是 A 412 ， B 12 5 12 ， C 36 ， D 2 0 ， 注
5、意事项： 请用 0.5 毫米黑色的签字笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分(第 15 小题每空 2 分)，共 20 分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。 11. 若 5 )1ax（ 的展开式中 3 x 的系数是 80 , 则实数 a的值是_. 12. 已知 + 022 01 1 yx yx x 则 22 yx + 的最小值是_ _. 13. 曲线 x y 1 = 和 2 xy = 在它们的交点处的两条切线与 x轴所围成的三角形的面积是 _. 14. 若 )0)( 4 sin() 4 sin()( += abxbxaxf 是偶函数, 则有
6、序实数对 ),( ba 可以 是_.(注: 写出你认为正确的一组数字即可) 15. 如图 2, ABOM / , 点 P 在由射线 OM , 线段 OB 及 AB 的延长线围成的区域内 (不含边界)运动, 且 OByOAxOP += ,则 x 的取值范围是_; 当 2 1 =x 时, y 的取值范围是_. 图2O A B P M 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤。 16. （本小题满分 12 分） 如图 3, D是直角 ABC 斜边 BC 上一点, = ABCCADADAB ,记 . ()证明: 02cossin =+ ; ()若 DCAC
7、 3= ,求 的值. 图3 C DB A 17. （本小题满分 12 分） 某安全生产监督部门对 5 家小型煤矿进行安全检查(简称安 检), 若安检不合格, 则必须整 改. 若整改后经复查仍不合格, 则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的, 且 每家煤矿整改前合格的概率是 5.0 , 整改后安检合格的概率是 8.0 , 计算(结果精确到 01.0 ); () 恰好有两家煤矿必须整改的概率; () 平均有多少家煤矿必须整改; () 至少关闭一家煤矿的概率 . 18. （本小题满分 14 分） 如图 4, 已知两个正四棱锥 ABCDQABCDP 与 的高分别为 1 和 2, 4=AB (
8、) 证明: ABCDPQ 平面 ; () 求异面直线 PQAQ与 所成的角; () 求点 P 到平面 QAD的距离. D 图4 C BA Q P 19（本小题满分 14 分） 已知函数 xxxf sin)( = , 数列 n a 满足: 10 1 a , ,3,2,1=n 证明 () 10 1 + nn aa ; () 3 1 6 1 nn aa ax , 用 y 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是 ay acy + + , 其中 c )99.08.0( = ppxmyC , 且 21 ,CC 的公共弦 AB 过椭圆 1 C 的右焦点 . () 当 轴时xAB , 求 pm, 的值, 并判断抛物线 2 C 的焦点是否在直线 AB 上 ; () 是否存在 pm, 的值, 使抛物线 2 C 的焦点恰在直线 AB 上 ? 若存在 , 求出符合条 件的 pm, 的值; 若不存在, 请说明理由 .
