1、2015年课时同步练习（浙教版）八年级上 2.2等腰三角形 2（带解析） 填空题 如图，已知在 ABC中， AB=AC=10cm， BC=12cm，点 E、 F都在中线 AD上，连接 EB、 EC、 FB、 FC，则图中阴影部分的面积为 答案： cm2 试题分析：根据等腰三角形的性质求得 ABC底边上的高线 AD的长度，然后求图中阴影部分，即三个等高三角形的面积和 解： 在 ABC中， AB=AC=10cm， BC=12cm， AD是中线， AD BC， BD=CD= BC=6cm， AD=8cm（勾股定理）， S 阴影 = S ABE+ S EFC+ S BDE= BD （ AE+EF+FD
2、） = BD AD=6cm8cm=24cm2 故答案：是： 24cm2 点评：本题考查了等腰三角形的性质、三角形的面积解答此题时，可以发现图中阴影部分的面积实际上是由三个等高不等底的三角形的和，而这三个三角形的底边的和恰好是等腰 ABC的高线 AD的长度 如果一个等腰三角形的一个内角等于 40，则该等腰三角形的底角度数是 答案： 或 70 试题分析：由于不明确 40的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分 40的角是顶角和底角两种情况讨论 解：当 40的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数 = =70； 当 40的角为等腰三角形的底角时，其底角为 40， 故它的底角的度数是 70或 40 故答案
3、：为： 40或 70 点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确 40的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想 在活动课上，小红已有两根长为 3cm， 8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒长是 cm 答案： 试题分析：题目给出两条小棒长为 3cm和 8cm打算拼一个等腰三角形，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形 解：当第三根是 3cm时，其三边分别为 3cm， 3cm， 8cm，不符合三角形三边关系，故舍去； 当第三根是 8cm时，其三边分别是 8cm， 8cm， c
4、3m，符合三角形三边关系； 所以第三根长 8cm 故答案：为： 8 点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的 关键 在 ABC中， AB=AC=6， BC=5， AD BC于点 D，则 CD= 答案： .5 试题分析：根据题意作出图形后利用等腰三角形的三线合一的性质即可求解 解： AB=AC=6， BC=5， AD BC于点 D， CD= BC= 5=2.5， 故答案：为： 2.5 点评：本题考查了等腰三角形的性质，等腰三角形具有三线合一的性质 已知等腰三角
5、形的两条边长分别为 3和 7，那么它的周长等于 答案： 试题分析：分两种情况讨论：当 3是腰时或当 7是腰时根据三角形的三边关系，知 3， 3， 7不能组成三角形，应舍去 解：当 3是腰时，则 3+3 7，不能组成三角形，应舍去； 当 7是腰时，则三角形的周长是 3+72=17 故答案：为： 17 点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键此类题不要漏掉一种情况，同时注意看是否符合三角形的三边关系 已知等腰三角形一腰上的中线将它周长分成 18cm和 12c
6、m两部分，则这个等腰三角形的底边长是 答案： cm或 8cm 试题分析：设等腰三角形的腰长、底边长分别为 xcm， ycm，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具休是哪部分的长为 18，故应该列两个方程组求解 解： 等腰三角形的周长是 18cm+12cm=30cm， 设等腰三角形的腰长、底边长分别为 xcm， ycm，由题意得 或 ， 解得 或 等腰三角形的底边长为 6cm或 8cm（ 1分） 故答案：为： 6cm或 8cm 点评：此题主要考查等腰三角形的性质，解二元一次方程组和三角形三边关系的综合运用，此题的关键是分两种情况分析，求得解之后注意用三角形三边关系进行检验 等 腰三角形的一边是
7、 2cm，另一边是 9cm，则这个三角形的周长是 cm 答案： 试题分析：本题可先根据三角形三边关系，确定等腰三角形的腰和底的长，然后再计算三角形的周长 解：当腰长为 4时，则三角形的三边长为： 2、 2、 9； 2+2 9， 不能构成三角形； 因此这个等腰三角形的腰长为 9，则其周长 =9+9+2=20 故答案：为： 20 点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也 是解题的关键 如图，直角三角形 ABC中， BAC=90AD BC， AE是 BC边上的中线，
8、若 C=40，则 DAE= ； 若 DAE=20，则 C= 答案： ， 35 试题分析：利用 C=40，可先求 BAC，再利用 AE是 BAC的角平分线，可求 EAC，在 Rt ADC中，可求 DAC，从而可求 DAE 解： 直角三角形 ABC中， BAC=90AD BC， AE是 BC边上的中线 C=40， BE=AE=CE， EAC= C=40， DAC=50， DAE= DAC- EAC=50-40=10， DAE=20， AEC=70 C= EAC=35， 故答案：为 10， 35 点评：本题利用了三角形内角和定理、角平分线定理 三角形的内角和等于 180 如图，在 ABC中， AB=
9、AC， BAD=15，且 AE=AD，则 CDE= 答案： .5 试题分析：根据等腰三角形性质推出 1= 2， B= C，根据三角形的外角性质得到 1+ 3= B+15， 2= C+ 3，推出 2 3=15即可 解： AD=AE， AC=AB， 1= 2， B= C， 1+ 3= B+ BAD= B+15， 2= 1= C+ 3， C+ 3+ 3= B+15， 2 3=15， 3=7.5， 即 CDE=7.5， 故答案：为： 7.5 点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用性质进行推理是解此题的关键 等腰三角形的两边长分别是 3和 5，则这个等腰三
10、角形的周长为 答案：或 13 试题分析：分 3是腰长与底边两种情况讨论求解 解： 3是腰长时，三角形的三边分别为 3、 3、 5， 能组成三角形 ，周长 =3+3+5=11， 3是底边长时，三角形的三边分别为 3、 5、 5， 能组成三角形，周长 =3+5+5=13， 综上所述，这个等腰三角形的周长是 11或 13 故答案：为： 11或 13 点评：本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形 如图，等腰梯形 ABCD中， AD BC， AD=3， BC=5， B=60，则 AB的长为 答案： 试题分析：过 A作 AE CD交 BC于 E，推出四边形
11、 ADCE是平行四边形，得到 AD=CE=3， AEB= C，根据等腰梯形的性质 得出 B= C= AEB=60，推出 AEB是等边三角形，即可求出 AB 解：过 A作 AE CD交 BC于 E， AE CD， AD BC， 四边形 ADCE是平行四边形， AD=CE=3， AEB= C， 等腰梯形 ABCD中， AD BC， B= C= AEB=60， AE=AB， AEB是等边三角形， AB=BE=5-3=2 故答案：为： 2 点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能把等腰梯形转化成平行四边形和等腰三角形是解此题的关键 等腰三角形
12、的底角为 15，腰长为 2a，则这个三角形的面积为 答案： 2aa=a2 试题分析：过 C点作 AB边的高，交 BA的延长线于点 D，利用等腰三角形的性质和含 30度角的直角三角形的性质，求出 CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案： 解：设 ABC的顶角为 A， 过 C点作 AB边的高，交 BA的延长线于点 D， S ABC= AB CD， AB=AC， DAC= B+ BCA=30， 在 Rt ACD中， CD= AC=a， S ABC= AB CD= 2aa=a2 点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质和含 30度角的直角三角形的性质的理解和掌握，解得此题的关键是过 C点作 AB
13、边的高，交 BA的延长线于点D此题有一定难度，属于中档题 若等腰三角形中有两边长为 4cm、 8cm，则该等腰三角形的周长是 cm 答案： 试题分析：首先根据等腰三角形的两腰相等，分别讨论当腰为 4cm，底边为8cm时与当底边为 4cm，腰为 8cm时的情况，即可求得答案： 解： 等腰三角形中有两边长为 4cm、 8cm， 当腰为 4cm，底边为 8cm时， 4+4=8不能组成三角形，舍去； 当底边为 4cm，腰为 8cm时，该等腰三角形的周长是： 8+8+4=20（ cm） 该等腰三角形的周长是 20cm 故答案：为： 20 点评：此题考查了等腰三角形的性质注意分类讨论思想的应用，还要注意分
14、析是否能组成三角形 如图，在 ABC中， B是 AC上一点， AD=BD=BC，若 C=25，则 ADB= 答案： 试题分析：首先利用等腰三角形的性质得到 C= BDC，利用三角形的外角的性质得到 A和 ABD的度数，从而确定 ADB的度数 解： BD=BC， C=25， C= BDC=50， ABD= C+ BDC=50， AD=BD， A= DBA=50， ADB=180- A- DBA=80， 答案：为： 80 点评：本题考查了等腰三角形的性质，解答过程中两次运用 “等边对等角 ”，难度不大 如果某等腰三角形的一个底角度数为 50，那么这个三角形的其余两个内角之和为 ，如果把 50这个底
15、角换成这个等腰三角形的顶角，则此时的等腰三 角形的两底角度数分别是 答案： ， 65和 65 试题分析：根据三角形的内角和定理求出 A+ C即可；根据 AB=AC推出 B= C，根据三角形的内角和定理求出 B+ C的度数，即可求出答案： 解： B=50， A+ C=180-50=130； A=50， B+ C=180-50=130， AB=AC， B= C， B= C=65， 故答案：为： 130， 65和 65 点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，注意：三角形的三个内角的和等于 180，等边对等角 已知等腰三角形的顶角等于 20，则它的一个底角的度数为 答案： 试题分析：已
16、知给出了等腰三角形的顶角等于 50，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接刻求得答案： 解： 等腰三角形的顶角等于 20， 又 等腰三角形的底角相等， 底角等于（ 180-20） =80 故答案：为： 80 点评：本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质；题目比较简单，属于基础题 已知实数 x， y满足 |x-4|+（ y-8） 2=0，则以 x， y的值为两边长的等腰三角形的周长是 答案： 试题分析：先根据非负数的性质列式求出 x、 y的值，再分 4是腰长与底边两种情况讨论求解 解：根据题意得， x-4=0， y-8=0， 解得 x=4， y=8， 4是腰长时，三角形的三边分别为 4
17、、 4、 8， 4+4=8， 不能组成三角形， 4是底边时，三角形的三边分别为 4、 8、 8， 能组成三角形，周长 =4+8+8=20， 所以，三角形的周长为 20 故答案：为： 20； 点评：本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于 0，则每一个算式都等于 0求出 x、 y的值是解题的关键 ，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断 如图，在 ABC中， AD BC， AB=AC， BC=10，则 BD= 答案： 试题分析：首先判定该三角形是等腰三角形，然后利用等腰三角形三线合一确定答案： 解： ABC中， AB=AC， ABC中
18、是等腰三角形， AD BC， BD= BC=5， 故答案：为： 5 点评：考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形底边上的高和底边上中线重合 在 ABC中，若 A=80， AB=AC，则 C= 答案： 试题分析：根据等腰三角形性质即可直接得出答案： 解： AB=AC， B= C， A=80， C=50 故答案：为： 50 点评：本题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题 如图，在 ABC中， AB=AC， BD AC， CE AB， D、 E为垂足， BD与CE交于点 O，则图中全等三角形共有 对 答案： 试题分析：根据等腰三角形性质推出 ABC= ACB，
19、根据垂线定义证 ADB= AEC， BEO= CDO，根据 AAS证 BEC BDC，根据 AAS证 ADB AEC，根据 AAS证 BEO CDO即可 解：有 3对： 理由是 AB=AC， ABC= ACB， BD AC， CE AB， BDC= BEC=90， BC=BC， BEC BDC， ADB= AEC， A= A， AB=AC， ADB AEC， AD=AE， BE=DC， EOB= DOC， BEC= BDC， BEO CDO， 故答案：为： 3 点评：本题主要考查对全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质，垂线定义等知识点的理解和掌握，能推出证三角形全等的三个条 件是解此题的关键
20、 解答题 （ 1）如图 1，点 B， D在射线 AM上，点 C， E在射线 AN上，且AB=BC=CD=DE，已知 EDM=84，求 A的度数； （ 2）如图 2，点 B、 F、 D在射线 AM上，点 G、 C、 E在射线 AN上，且AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA，求 A的度数 答案：（ 1） 21（ 2） A= 试题分析：（ 1）根据等边对等角可得 A= BCA， CBD= BDC， ECD= CED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 A+ BCA= CBD， A+ CDB= ECD， A+ CED= EDM，然后用 A表示出 EDM，计算即可求解； （ 2）
21、由特殊到一般，解题的思路与（ 1）相同 解：（ 1） AB=BC=CD=DE， A= BCA， CBD= BDC， ECD= CED， 根据三角形的外角性质， A+ BCA= CBD， A+ CDB= ECD， A+ CED= EDM， 又 EDM=84， A+3 A=84， 解得， A=21； （ 2） AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA，设 A=x， 则 AFG= ACB=x， CGF= CEF= CBF= CDF=2x， ECD= CED= EFD= EDF=3x， 而 A+ CED+ EDF=180，故 ，即 A= ； 点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角
22、等于与它不相邻的两个内角的和的性质，是基础题 如图，在 ABC中， AB=AD=DC， C=40，求 BAD的度数 答案： 试题分析：首先利用等腰三角形的性质求得 DAC的度数，然后求得 BDA的度数，最后利用三角形的内角和求得 BAD的度数 解： AD=DC DAC= C， C=40， DAC=40， BDA= C+ DAC80， AB=AD BDA= B=80， BAD=180- BDA- B=20 点评：本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等 如图， AB=AC， C=67， AB的垂直平分线 EF交 AC于点 D，求 DBC的度数 答案： 试题分析：求出 ABC，根据三角形内
23、角和定理求出 A，根据线段垂直平分线得出 AD=BD，求出 ABD，即可求出答案： 解： AB=AC， C=67， ABC= C=67， A=180-67-67=46， EF是 AB的垂直平分线， AD=BD， A= ABD=46， DBC=67-46=21 点评：本题考查了线段垂直平分线，三角形的能或定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，关键是求出 ABC和 ABD的度数，题目比较好 在 ABC中， AB=AC， A=120， BC=9cm， AB的垂直平分线交 BC于M，交 AB于 E， AC的垂直平分线交 BC于 N，交 AC于 F， （ 1）求证： BM=MN=NC （ 2）求 MN的
24、长度 答案：（ 1）见（ 2） 3cm 试题分析：（ 1）连接 AM、 AN，根据线段垂直平分线性质推出 BM=AM，CN=AN，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出 BAM= CAN， B= C，根据 ASA证 BAM CAN，推出 AM=AN，证出 AMN是等边三角形即可； （ 2）代入 MN= BC，即可求出答案： 解：（ 1）证明：连接 AM、 AN， 在 ABC中， A=120， AB=AC， B= C=30， 又 ME、 NF分别垂直平分 AB、 AC， AM=BM， AN=NC， MBA= MAB=30， NAC= NCA=30， MAN=60， 在 ABM和 ANC中 ，
25、 ABM ANC， AM=AN， AMN为等边三角形， AM=MN=AN， BM=MN=NC （ 2）由（ 1）知： MN= BC=3（ cm）， 答： MN的长度是 3cm 点评：本题综合考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的应用，通过做此题能培养学生综合运用定理进行推理的能力，题型较好，难度适中，综合性比较强 如图，在 ABC中，已知 BA=BC， B=120， AB的垂直平分线 DE交AC于点 D （ 1）求 A的 度数； （ 2）若 AC=6cm，求 AD的长度 答案：（ 1） 30（ 2） 2cm 试题分析：（ 1）根
26、据等腰三角形的两个底角相等、三角形内角和定理来求 A的度数； （ 2）连接 BD根据线段垂直平分线的性质知 ABD是等腰三角形；然后利用（ 1）中的 A= C=30和已知条件 B=120可以推知 CDB是直角三角形，利用 30度角所对的直角边是斜边的一半即可求得 BD与 CD间的数量关系；最后利用等腰三角形 ABD的两腰相等（ AD=BD）通过等量代换即可求得AC=3AD，从而求得线段 AD的长度 解：（ 1） 在 ABC中 ，已知 BA=BC， A= C（等边对等角）； 又 B=120， A= （ 180-120） =30（三角形内角和定理）； （ 2）连接 BD AB的垂直平分线 DE交
27、AC于点 D， AD=BD， A= ABD=30， CBD=90； 由（ 1）知 A= C=30， BD= CD（ 30所对的直角边是斜边的一半）， CD=2AD=2BD， AC=AD+CD=AD+2AD=3AD； 又 AC=6cm， AD=2cm 点评：本题综合考查了等腰三角形的性质、含 30度角的直角三角形以及三角形内角和定理解答（ 2）题时，要充分利用等腰三角形的 “三线合一 ”的性质 如图， AD是 ABC 的角平分线， DE AB， DF AC，垂足分别是点 E， F，连接 EF，交 AD于点 G，求证： AD EF 答案：见 试题分析：根据角平分线性质求出 DE=DF，根据证 AE
28、D和 AFD全等，推出 AE=AF，根据等于三角形的性质求出即可 解： AD平分 BAC， DE AB， DF AC DE=DF， 在 Rt AED和 Rt AFD中， ， Rt AED Rt AFD（ HL）， AE=AF， 又 AD平分 BAC， AD EF 点评：本题考查了角平分线性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是求出 AE=AF，题目较好，综合性比较强 如图，在 ABC中， D、 E分别是 AC和 AB上的点， BD与 CE相交于点 O，给出下列四个条件： EBO= DCO； BEO= CDO； BE=CD； OB=OC （ 1）上述四个条件中，由哪两
29、个条件可以判定 AB=AC？（用序号写出所有的情形） （ 2）选择（ 1）小题中的一种情形，说明 AB=AC 答案：见 试题分析：（ 1） ，根据 AAS证三角形全等即可； ，根据等腰三角形的性质与判定即可； 、 ，根据 AAS证三角形全等即可 （ 2）根据 ASA证 BEO CDO，推出 EBO= DCO，根据等腰三角形性质推出 OBC= OCB即可 （ 1）答：有 、 、 、 共 4种情形 （ 2）解：选择 ，证明如下： OB=OC， OBC= OCB， 又 EBO= DCO， EBO+ OBC= DCO+ OCB， 即 ABC= ACB， AC=AB 理由是：在 BEO和 CDO中 ，
30、BEO CDO， EBO= DCO， OB=OC， OBC= OCB， ABC= ACB， AB=AC， 理由是：在 BEO和 CDO中 ， BEO CDO， OB=OC， OBC= OCB， EBO= DCO， ABC= ACB， AB=AC， 理由是：在 BEO和 CDO中 ， BEO CDO， EBO= DCO， OB=OC， OBC= OCB， ABC= ACB， AB=AC 点评：本题主要考查对全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知 识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键 已知：如图，在 ABC中， AB=AC，点 D、 E在 BC上，且 BD=CE求证： （
31、 1） ABD ACE； （ 2） ADE= AED 答案：见 试题分析：（ 1）根据等腰三角形性质推出 B= C，根据 SAS推出 ABD ACE即可； （ 2）根据全等三角形性质推出 AD=AE，根据等腰三角形的性质推出即可 证明：（ 1） AB=AC， B= C， 在 ABD和 ACE中 ， ABD ACE（ SAS）； （ 2） ABD ACE， AD=AE， ADE= AED 点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，注意：等边对等角，等角对等边 在 ABC中， AB=AC， AE是 BC边上的高， B的平分线与 AE相交于点D， 求证：点 D在 ACB的平分线
32、上 答案：见 试题分析：连接 CD，证 BAD CAD，推出 ABD= ACD，根据等腰三角形性质推出 ABD= ABC，推出 ACD= ACB即可 证明：连接 CD， AB=AC， AE是 BC边上的高， BAE= CAE， 在 BAD和 CAD中， ， BAD CAD， ABD= ACD， AB=AC， ABC= ACB， BD是 ABC的平分线， ， ， 点 D在 ACB的平分线上 点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线性质等知识点的理解和掌握，能证出 ABD= ACD、 ABD= ABC是解此题的关键 如图，已知点 B、 D、 E、 C在同一直线上， A
33、B=AC， AD=AE 求证： BD=CE （ 1）根据下面说理步骤填空 证法一：作 AM BC，垂足为 M AB=AC（ ） AM BC（ 辅助线 ） BM=CM（ ） 同理 DM=EM BM-DM=CM-EM（ ） BD=CE（线段和、差的意义） （ 2）根据下面证法二的辅助线完成后面的说理步骤 证法二：作 ABC的中线 AM 答案：已知，三线合一，等量代换； （ 2）证法二：作 ABC的中线 AM， BM=CM， AB=AC， AM BC， AD=AE， DM=EM， BM-DM=CM-EM， BD=CE 试题分析：（ 1）作 AM BC，垂足为 M，即可得 AM是等腰三角形 ABC与
34、ADE的高，利用三线合一的知识，即可求得 BD=CE （ 2）作 ABC的中线 AM在等腰三角形 ABC中由三线合一的性质，即可得 AM BC，即可得 AM是等腰三角形 ADE的高，再由三线合一的性质，求得 DM=EM，继而求得 BD=CE 解：（ 1）根据下面说理步骤填空 证法一：作 AM BC，垂足为 M AB=AC（已知） AM BC（ 辅助线 ） BM=CM（三线合一） 同理 DM=EM BM-DM=CM-EM（等量代换） BD=CE（线段和、差的意义）； 故答案：为：已知，三线合一，等量代换； （ 2）证法二：作 ABC的中线 AM， BM=CM， AB=AC， AM BC， AD=AE， DM=EM， BM-DM=CM-EM， BD=CE 点评：此题考查了等腰三角形的性质解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质与数形结合思想的应用
