1、2015届江苏省无锡市锡山区九年级上学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 用配方法解一元二次方程 的过程中，配方正确的是（ ） . A B C D 答案： D 试题分析：配方时方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ，再变形成平方式即可 . 考点：配方法解一元二次方程 . 如图，在平面直角坐标系 中，直线 经过点 (6， 0)、 (0， 6)， 的半径为 2（ 为坐标原点），点 是直线 上的一动点，过点 作 的一条切线 ， 为切点，则切线长 的最小值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：联结 、 ，由切线的定义可知 ，故.要求 的最小值，只需求 的最小值，而根据、 坐标，可知
2、取最小值时有 ，此时 ，代入即可求得 . 考点：圆切线的性质 . 如图，直径为 10 的 经过点 和点 ，点 是 轴右侧 优弧上一点，则点 的坐标为（ ） A（ 0， 5） B（ 0， ） C（ 0， ）D（ 0， ） 答案： A 试题分析：联结 ，根据同弧所对圆心角和圆周角的关系，可知，所以 ，故 . 考点： 1.同弧所对圆心角和圆周角的关系； 2.等边三角形的性质 . 下列命题： 直径是弦； 经过三个点一定可以作圆； 三角形的内心到三角形 各顶点的距离都相等； 半径相等的两个半圆是等弧； 菱形的四个顶点在同一个圆上 .其 中正确结论的个数有（ ） . A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
3、 答案： B 试题分析： 直径是圆中最长的弦，正确； 若三点共线，就不能作圆，错误； 三角形的内心指三角形内接圆的圆心，圆心到三角形各边的距离都相等，错误； 半圆的弧长只跟所对的半径有关，正确； 菱形的对角不一定互补，故其四个顶点不一定在同一个圆上，错误 .所以正确的结论有 2个 . 考点：圆的性质 . 如图， 的直径 ， 在 内，且 ，则过 点的所有弦中，最短弦为（ ） . A 4 B 6 C 8 D 10 答案： B 试题分析：如图，最短弦为垂直于 的弦 .在 中， ，故 ，所以 . 考点： 1.垂径定理； 2.勾股定理 . 等腰三角形的底和腰是方程 的两根，则这个三角形的周长为（ ） .
4、 A 8 B 10 C 8或 10 D无法确定 答案： B 试题分析：先用因式分解法解得方程的两根为 ，若等腰三角形底为，则腰为 ，所以周长为 ；若底为 ，则腰为 ，此时 不能构成三角形，舍 .故周长只能为 . 考点： 1.解一元二次方程； 2.等腰三角形的性质； 3.三角形三边的关系 . 如果关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那 么 的取值范围是（ ） . A B 且 C D 且 答案： B 试题分析：由一元二次方程根与系数的关系，可知：当方程有两个不等实根时，判别式 且二次项系数 .所以 ，且 ，解得 且 . 考点： 1.一元二次方程的定义； 2.一元二次方程根的判别式的应用 .
5、 某厂 1月份生产原料 吨，以后每个月比前一个月增产 ， 3月份生产原料的吨数是（ ） . A B C D 答案： B 试题分析：增产 指的是增产前一个月的 ，故 2月份产量为吨， 3月份产量为 吨 .注意是增产 而不是 . 考点： 1.增长率的意义； 2.一元二次方程的应用 . 填空题 如图，点 在直线 上，点 、 、 ， 在射线 上，点 、 、， 在射线 上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为一个单位长度，一个动点 从 点出发，按如图所示的箭头方向沿着实线段和以 为圆心的半圆匀速运动，速度为每秒 1个单位长度，按此规律，则动点 到达 点处所需时间为 _秒 答案： 试题分析：此题可通过找规律
6、来解决 .先计算路径长，当 到达 时，长为 ；到达 时，长为 ；到达 时，长为 ；到达 时，长为 ；到达 时，长为 ；到达 时，长为 ；到达时，长为 ；到达 时，长为； 可推理得，到达 时，长为，结果为 ，所以到 时路径长再加 1即可，除以速度即得所需时间 . 考点： 1.弧长的计算； 2.推理能力 . 如图，正六边形 是边长为 的螺母，点 是 延长线上的点，在 、 之间拉一条长为 的无伸缩性细线，一端固定在点 ，握住另一端点 拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上（缠绕时螺母不动），则点 运动的路径长为 _. 答案： 试题分析：由题意知，细线正好缠绕螺母一周，故 运动的路径为图中外围一圈从 到
7、的 6段弧长，不妨倒过来求，从 出发先求最小弧长 .正六边形每个内角为 ，则每段弧所对的圆心角均为 ，且半径分别为 、 、 、 、 ，代入弧长公式 ，再相加即可 . 考点： 1.弧长的计算； 2.正多边形的内角 . 如图， 是 的直径， 、 是 上的点， ，过点 作 的切线交 的延长线于点 ，则 答案： 试题分析：联结 ，根据同弧所对的圆周角相等，有 ，而 ，故 .因为 是圆的切线，故有 ，所以 ，所以 . 考点： 1.圆所对圆周角的大小关系； 2.圆切线的性质 . 如图， 、 为 的半径，点 在 上，且 ，则度。 答案： 试题分析：根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，有 ，而 ， 易得 .
8、考点： 1.圆的性质； 2.同弧所对圆心角和圆周角的性质 . 如图， 为 的直径， ，且 ，则 . 答案： 试题分析 :联结 .根据同弧所对的圆周角相等，有 ，又根据直径所对的圆周角是直角，有 ，又根据 ，有，所以 ，所以 .因对顶角相等，故. 考点： 1.圆的性质； 2.同弧所对圆周角的大小关系； 3.等腰三角形的性质 . 圆锥的侧面展开图是一个半径为 的半圆，则此圆锥的底面半径是 . 答案： 试题分析：将圆锥侧面展开为一扇形，圆锥的母线为扇形的半径，圆锥的底面周长为扇形的弧长 .扇形（半圆）半径为 ，故弧长为 ，即圆锥的底面周长为 ，故半径为 . 考点：圆锥侧面展开图的性质 . 若 ， ，
9、则方程 必有一个根是 _. 答案： 试题分析：观察所给条件和原方程，试根可得有一根必为 . 考点：试根法判断一元二次方程的根 . 已知一元二次方程 的一个根为 ，则另一个根为 _. 答案： 试题分析：根据韦达定理， ，故 ，解得 . 考点：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） . ，则方程的解为 _，方程 的解是 _. 答案： ； 试题分析：第一空将方程变形为 ，可得两根；第二空两边直接开平方，得 ，进一步解得两根即可 . 考点：解一元二次方程 . 方程 是一元二次方程，则 满足条件 . 答案： 试题分析：一元二次方程的二次项系数不能为 0，故 ，解得 . 考点：一元二次方程的定义 . 解答
10、题 （本题满分 10分）某种规格小纸杯的侧面是由一半径为 、圆心角是的扇形 剪去一半径 的同心圆扇形 所围成的（不计接缝）（如图 1） （ 1）求纸杯的底面半径和侧面积（结果保留 ）； （ 2）要制作这样的纸杯侧面，如果按照图 2所示的方式剪裁（不允许有拼接），至少要用多大的矩形纸片？ （ 3）如图 3，若在一张半径为 的圆形纸片上剪裁这样的纸杯侧面（不允许有拼接），最多能裁出多少个？ 答案：（ 1）底面半径为 ，侧面积为 ； （ 2）需要长为 ，宽为 的矩形纸片； （ 3） 9个 试题分析：（ 1）要求底面半径，需先求底面周长，而底面周长为图（ 1）中的弧长，相关数据代入弧长公式即可 .而侧
11、面积即为图（ 1）中的扇环，将大扇形面积减去小扇形面积即得；（ 2）联结 ，可证得 即为长方形的长，而所在的 为正三角形，故易求 .再过 作 ，交 于 ，交于 ，根据垂径定理可证得 即为长方形的宽，求出 长，再求 即得 长；（ 3）本小题容易想到的是直接在圆环上能裁出 6个，此时中间还有一个以 为半径的小圆，考虑到圆环的半径为 ，正好为小圆半径的一半，故可先在小圆中构造一个边长为 的正六边形，再取三条互不相邻的边的中点， 故在此正六边形中裁出 3个扇环，故总共 9个 . 试题：（ 1） ， 底面周长为 底面半径为 侧面积为扇环 的面积，故 答：纸杯的底面半径为 ，侧面积为 . （ 2）连接 ，
12、过 作 ，交 于 ，交 于 ，是等边三角形 又 也是等边三角形 即为长方形的长 ， 由垂径定理知， 即为长方形的宽 所需长方形的两边长分别为 和. （ 3） 扇形 的圆心角为 在以 为圆心， 为半径的大圆和以为半径的小圆组成的圆环中可剪出 6个圆环（即小纸杯的侧面） 剩下的一个半径 的圆中可按照如下方法剪圆环 .作六边形 ，显然边长为 ，将 、 、 两边延长，分别相交于点 、 、 ，则以 、 为圆心 为半径画弧，三条弧相切于 、 、 的中点，显然又可剪 3个 最多可剪出 9个纸杯的侧面（如图所示） 考点： 1.扇形（扇环）的面积计算； 2.弧、弦的长度计算； 3.图形的综合处理能力 . （本题
13、满分 8分）机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为 90千克，用油的重复利用率为 60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为 36千克，为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关 .（ 1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到 70千克，用油量的重复利用率仍然为 60%.问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？ （ 2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少 1千克，用油的重复
14、利用率将增加 1.6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到 12千克，问乙车间技术革新后， 加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？ 答案：（ 1） 28千克；（ 2） 75千克， 84% 试题分析：（ 1）根据题意，实际耗油量 用油量 （ 1-重复利用率），代入数据计算即可；（ 2）本小题关键信息为 “在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少 1千克，用油的重复利用率将增加 1.6%”，故若用油量设为 千克，则耗油率为 ，相乘即得实际耗油量，解出 后即可求得重复利用率 . 试题：（ 1） （千克） 答：加工一台大型机械设备的实际耗油量是 28千克 .
15、（ 2）设乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的 润滑用油量是 千克，由题意得 化为 解得 （舍） 答 :乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是 75千克，用油的重复利用率是 84%. 考点： 1.应用题的读题能力； 2.一元二次方程的应用 . （本题满分 9分）如图，在 中， ，点 从点 开始沿 边向点 以 /秒的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 /秒的速度移动 （ 1）如果 、 分别从 、 同时出发，几秒后 是等腰三角形？ （ 2）如果 、 分别从 、 同时出发，几秒后 的面积等于 ？ （ 3）如果 、 分别从 、 同时出发，四边形 的面积是 面积的三分之二？ 答案：
16、（ 1） 2秒；（ 2） 3秒；（ 3） 2秒 试题分析：（ 1）由图知， ，若要 是等腰三角形，则必定是两直角边相等，设好时间后构造方程求解即可；（ 2）根据直角三角形面积计算公式构造方程求解即可；（ 3）四边形面积不易计算，但可转化为两个直角三角形和 的面积关系，再代入直角三角形面积公式计算 . 试题：（ 1） 且 是等腰三角形 必定是 设经过 秒后，则 ， ， ， 2秒后 是等腰三角形 . （ 2） 解得 （舍） 3秒后 的面积等于 . （ 3） 解得 （舍） 2秒后四边形 的面积是 面积的三分之二 . 考点： 1.动点的处理； 2.直角三角形的性质； 3.解一元二次方程 . （本题满分
17、 9分）如图，在边长为 1的正方形组成的网格中， 的顶点均在格点上，其中点 （ 5， 4）， （ 1， 3），将 绕点 逆时针旋转后得到 （ 1）画出 ； （ 2）在旋转过程中点 所经过的路径长为 _. （ 3）求在旋转过程中线段 、 扫过的图形的面积之和 答案：（ 1）如图所示， 即为所画； （ 2） ；（ 3） 试题分析：（ 1）逆时针旋转 后，根据旋转定义可知，对应点 、，顺次联结 、 、 即得所画 ；（ 2）由图知，旋转过程中点 所经过的路径即为半径为 的四分之一圆，由勾股定理可求得 ，代入弧长计算公式即可； （ 3）如图所示， 扫过的图形为扇形 ， 扫过的图形为封闭图形，合起来就是封
18、闭图形 ，而 由 旋转所得，故面积相等，所以所求面积之和即为扇形 的面积，代入公式计算即可 . 试题：（ 1）如上图所示， 即为所画；（ 2） ； （ 3）由图知，所求面积之和为封闭图形 的面积 考点： 1.旋转的定义和性质； 2.弧长的计算； 3.扇形面 积的计算 . （本题满分 8分）如图，在 中， ， 平分 交于点 ，点 在 边上且 （ 1）判断直线 与 外接圆的位置关系，并说明理由； （ 2）若 , ，求 的长 答案：（ 1）相切，证明垂直即可，过程见；（ 2） 试题分析：（ 1）可先观察图，猜想位置关系为相切，而要证明相切，需证得垂直，故取 的中点 ，联结 后，结合两半径构成的等腰三
19、角形性质和角平分线定义，易证得确为垂直关系；（ 2）由（ 1）的结论，根据勾股定理构造方程，可求出半径长，再求出直径 长 . 试题：（ 1）直线 与 外接圆相切，理由如下： 取 的中点记为 ，联结 ，则 平分 与 外接圆相切 . （ 2）由（ 1）得 为直角三角形，故 设 ，则 解得 考点： 1.圆切线的定义及性质； 2.平行线的判定及性质； 3.勾股定理 . （本题满分 8分）电动自行车已成为市民日常出行的首选工具 .据某市品牌电动 自行车经销商 1至 3月份统计，该品牌电动自行车 1月份销售 150辆， 3月销售216辆 . （ 1）求该品牌电动车销售量的月平均增长率； （ 2）若该品牌电
20、动自行车的进价为 2300元，售价 2800元，则该经销商 1月至3月共盈利多少元？ 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）根据增长率的定义，增长后的数量增长前的数量 ，构造方程解出即可； （ 2）根据盈利计算公式，总盈利单个盈利 销售数量，相关数据代入计算即可 . 试题：（ 1）设该品牌电动车销售量的月平均增长率为 ，由题意得 解得 （舍） 答：该品牌电动车销售量的月平均增长率为 . （ 2） 由（ 1）得该品牌电动车销售量的月平均增长率为 ，得 2月份的销售量为 （辆），则 1-3月份的销售总量为（辆），则该经销商 1月至 3月共盈利 （元） 答：该经销商 1月至 3月共盈利 元
21、. 考点： 1.增长率的定义； 2.一元二次方程的应用 . （本题满分 6分）已知关于 的方程 （ 1）若这个方程有实数根，求 的取值范围； （ 2）若这个方程有一个根为 1，求 的值 . 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）根据一元二次方程根与判别式的关系，若方程有根，则 ，代入求解 的范围即可；（ 2）根据方程根的定义，将 代入原方程得到关于的一元二次方程，解得 的值即可 . 试题：（ 1）由题意知 （ 2）将 代入原方程，得 即 考点： 1.一元二次方程根的判别式； 2.方程根的定义； 3.解一元二次方程 . 解下列方程（每小题 4分，共 16分） （ 1） （ 2） （ 3）
22、 （配方法） （ 4） （公式法） 答案：（ 1） ； （ 2） ； （ 3） ； （ 4） 试题分析：除题目特殊要求外，若一元二次方程化为一般式后，常数项为 0或容易利用十字相乘法进行分解，则用因式分解法解方程较简单；若常数项系数为 1且一次项系数为偶数，可配成 时，采用配方法较简便；而公式法对所有一元二次方程均试用 . 试题：（ 1）化为 原方程的解为 . （ 2）化为 原方程的解为 . （ 3）化为 原方程的解为 . （ 4） 原方程的解为 . 考点：选取合适的方法解一元二次方程 . （本题满分 10分）如图所示，菱形 的顶点 、 在 轴上，点 在点 的左侧，点 在 轴的正半轴上， ，点
23、 的坐标为 (-2， 0) （ 1）求 点的坐标； （ 2）求直线 的函数关系式； （ 3）动点 从点 出发，以每秒 1个单位长度的速度，按照 的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为 秒求 为何值时，以点为圆心、以 1为半径的圆与对角线 相切？ 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） 或 或或 试题分析：（ 1）根据菱形的性质和等边三角形的性质求得即可；（ 2）求直线式的基本方法是待定系数法，在（ 1）中已求得 坐标的基础上，将 、 坐标代入设好的直线式，求出系数即可；（ 3）本小题可先结合图作一大胆猜想，再根据切线定义和含 的直角三角形的性质，将时间问题转换为距离问题，注意分类讨论要讨论完全 . 试题：（ 1） 菱形 中，点 的坐标为 ， ，为正三角形 ， （ 2）由（ 1）得 设直线 的函数表达式为 ，则 解得 直线 的函数表达式为 （ 3）由图可猜想，有四个满足要求的圆 四边形 是 菱形 ， ， 如图所示， 点 在 上与 相切时， 点 在 上与 相切时， 点 在 上与 相切时， 点 在 上与 相切时， 综上，当 或 或 或 时，以点 为圆心、以 为半径的圆与对角线 相切 . 考点： 1.菱形的性质； 2.待定系数法求直线式； 2.圆的切线的性质 .
