1、2015届江苏省靖江市靖城中学共同体九年级上学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 一元二次方程 两根是 3， 4，则 可分解为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：若一元二次方程 的两根为 3、 4， 那么倒数第二步为： ， ，故选 C 考点：解一元二次方程 -因式分解法 如图，边长分别为 4和 8的两个正方形 ABCD和 CEFG并排放在一起，连结 BD并延长交 EG于点 T，交 FG于点 P，则 GT（ ） A B C 2 D 1 答案： B 试题分析： BD、 GE分别是正方形 ABCD，正方形 CEFG的对角线， ADB= CGE=45， GDT=1809045=45，
2、 DTG=180 GDT CGE=1804545=90， DGT是等腰直角三角形， 两正方形的边长分别为 4， 8， DG=84=4， GT= 故选 B 考点：正方形的性质 某机械厂七月份生产零件 50 万个，第三季度生产零件 196 万个设该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：依题意得八、九月份的产量为 、 ， 故选 C 考点： 1由实际问题抽象出一元二次方程； 2增长率问题 小刚身高 1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ） A 0.5m B
3、 0.55m C 0.6m D 2.2m 答案： A 试题分析：设小刚举起的手臂超出头顶是 m， 根据同一时刻物高与影长成比例，得 ， 故选： A 考点： 1相似三角形的应用； 2比例的性质 在中，若 tanA=1， sinB= ，则 ABC的形状是（ ） A等腰三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D一般锐角三角形 答案： B 试题分析： ABC中， tanA=1， sinB= ， A=45， B=45， ABC是等腰直角三角形 故选 B 考点：特殊角的三角函数值 如果 ，那么 （ ） A B C D 答案： D 试题分析： ， ， ， ，故选：D 考点：比例的性质 填空题 如图，点 P（
4、 t， 0）是 x轴正半轴上的一个动点，过点 P作 y轴的平行线，分别与直线 ，直线 交于 A， B两点，以 AB为边向右侧作正方形ABCD有下列五个结论： AOB=90； AOB是等腰三角形； OP2=2AP PB ； S AOB=3S AOP； 当 时，正方形 ABCD的周长是 16，其中正确结论的序号是 答案：（ 3）（ 4） 试题分析： 由两条垂直直线的斜率的积等于 1即可判定 AOB=90故选项错误； 根据等腰三角形的判定定理即可判定 AOB是等腰三角形，故选项错误； 由直线的斜率可知 ， ，根据 2（ ） = ，即可求得OP2=2AP PB，故选项正确； 设 A（ m， m），则
5、B（ m， m），得出 AOP的面积 = OP m= m OP， BOP的面积 = OP m= OP，从而求得 S BOP=2S AOP，进而得出S AOB=3S AOP，故选项正确； 时根据直线的式先求得 PA=1、 PB=2，进而求得 AB=3，所以正方形的周长 =12，故选项错误； 试题： 由直线 ，直线 可知，它们的斜率的积 = ，所以 AOB90，故 AOB=90错误； AB x 轴， AOP BOP， AOB90， OAOB， OBAB， OAAB， AOB不是等腰三角形，故 AOB是等腰三角形； 由直线的斜率可知： ， ， 2（ ） = ， OP2=2AP PB，故 OP2=2A
6、P PB正确； 设 A（ m， m），则 B（ m， m）， AOP的面积 = OP m= m OP， BOP的面积 = OP m= OP， S BOP=2S AOP， S AOB=3S AOP，故 S AOB=3S AOP 正确 ； 时， PA= 2=1， PB=|12|=2， AB=PA+PB=1+2=3， 正方形 ABCD的周长 =4AB=43=12；故当 t=2时，正方形 ABCD的周长是16错误； 故答案：为 考点：一次函数综合题 在 Rt ABC的直角边 AC边上有一动点 P（点 P与点 A， C不重合），过点 P作直线截得的三角形与 ABC相似，满足条件的直线最多有 _条 答案：
7、 试题分析： 1、过点 P作 AB的垂线； 2过点 P作 AC的垂线； 3过点 P作 AB的平行线； 4过点 P作 PDC= A，这时 PCD BCA； 所以共有 4条， 故选 D 考点：相似三角形的判定 在 Rt ABC中， C 90， AB=2， BC= ，则 tan =_. 答案： 试题分析：如图所示， AB=2， BC= ， sinA= ， A=60 tan=tan30= 考点：特殊角的三角函数值 如图，两条宽度都为 1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为 ，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为 答案： 试题分析： AC= ， 它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为： 故答案：为：
8、 考点：解直角三角形 无论 取任何实数，代数式 都有意义，则 的取值范围为 答案： 试题分析：由题意，得： ，即 ， ，要使得 恒大于等于 0， ， ，故填： 考点： 1二次根式有意义的条件； 2配方法的应用 关于 的一元二次方程 有实根则实数 的范围为 答案： 且 试题分析： 关于 的一元二次方程 有实根， 且 ，解得： 且 故答案：为： 且 考点：根的判别式 已知，直角坐标系中，点 E（ -4， 2）， F（ -1， -1），以 O为位似中心，按比例尺 2： 1把 EFO缩小，则点 E的对应点 E的坐标为 答案：（ -2， 1）或（ 2， -1） 试题分析：根据题意可知，点 E的对应点 E
9、的坐标是 E（ 4， 2）的坐标同时乘以 或 ，所以点 E的坐标为（ 2， 1）或（ 2， 1） 故答案：为：（ -2， 1）或（ 2， -1） 考点：位似变换 若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 = . 答案： 试题分析：由题意得： ，解得： 或 ， 当 是不满足为最简二次根式，故舍去故答案：为： 5 考点：同类二次根式 设 是方程 的两个实数根，则 的值为 答案： 试题分析：根据题意得 ， 又 是方程 的根， ， ， 故答案：为： 2008 考点： 1根与系数的关系； 2一元二次方程的解 一公园占地面积约为 800000 ，若按比例尺 1 2000缩小后，其面积约为 答案： .2 试题
10、分析：设其缩小后的面积为 m2，则 ，解得m2 其面积约为 0.2m2 故答案：为： 0.2 考点：比例线段 计算题 计算下列各题：（每题 5分， 10分） （ 1） （ 2） 答案：（ 1） ；（ 2） 1 试题分析：（ 1）将涉及特殊角的三角函数值，代入运算，然后合并即可得出答案： （ 2）分别运算负整数指数幂、零指数幂及二次根式的化简，然后合并运算即可 试题：（ 1）原式 = ； （ 2）原式 = 考点： 1实数的运算； 2特殊角的三角函数值 解答题 （本题 12分）已知关于 的方程 . （ 1）求证：无论 取什么实数值，这个方程总有实数根； （ 2）能否找到一个实数 ，使方程的两实数根
11、互为相反数？若能找到，求出的值；若不能，请说明理由 （ 3）当等腰三角形 ABC的边长 ，另两边的长 恰好是这个方程的两根时，求 ABC的周长 答案：（ 1）证明见试题；（ 2） ；（ 3） 10 试题分析：（ 1）整理根的判别式，得到它是非负数即可 （ 2）两实数根互为相反数，让 即可求得 k的值 （ 3）分 ， 两种情况做 试题：（ 1） = ， 方程总有实根； （ 2） 两实数根互为相反数， ，解得 ； （ 3） 当 时，则 =0， 即 ， ， 方程可化为 ， ， ， 不适合题意舍去； 当 ，则 ， ， 方程化为 ，解得 ， ， c=2， C ABC=10， 当 c=a=4时，同理得 b
12、=2， C ABC=10， 综上所述， ABC的周长为 10 考点： 1根与系数的关系； 2解一元二次方程 -因式分解法； 3根的判别式 （本题 12分）在直角梯形 ABCD中， AB CD， ABC=90，AB=2BC=2CD，对角线 AC 与 BD相交于点 O，线段 OA， OB的中点分别为 E，F （ 1）（ 4分）求证： FOE DOC； （ 2）（ 4分）求 sin OEF的值； （ 3）（ 4分）若直线 EF与线段 AD， BC分别相交于点 G， H，求 的值 答案：（ 1）证明见试题；（ 2） ；（ 3） 试题分析：（ 1）由 EF是 OAB的中位线，利用中位线定理，得 EF A
13、B，EF= AB，又 CD AB， CD= AB，可得 EF=CD，由平行线的性质可证 FOE DOC； （ 2）由平行线的性质可知 OEF= CAB，利用 sin OEF=sin CAB= ，由勾股定理得出 AC与 BC的关系，再求正弦值； （ 3）由（ 1）可知 AE=OE=OC， EF CD，则 AEG ACD，利用相似比可得 EG= CD，同理得 FH= CD，又 AB=2CD，代入 中求值 解答：（ 1）证明： EF是 OAB的中位线， EF AB， EF= AB， 而 CD AB， CD= AB， EF=CD， OEF= OCD， OFE= ODC， FOE DOC； （ 2）解：
14、 EF AB， OEF= CAB， 在 Rt ABC中， AC= ， sin OEF=sin CAB= = ； （ 3）解： AE=OE=OC， EF CD， AEG ACD， ，即EG= CD， 同理 FH= CD， 考点： 1相似三角形的判定与性质； 2全等三角形的判定与性质； 3三角形中位线定理 （本题 12分）如图，在 Rt ABC中， C=90， AC=4cm， BC=3cm动点M， N从点 C同时出发，均以每秒 1cm的速度分别沿 CA、 CB向终点 A， B移动，同时动点 P从点 B出发，以每秒 2cm的速度沿 BA向终点 A移动，连接PM， PN，设移动时间为 t（单位：秒，
15、0 t 2.5） （ 1）当 t为何值时，以 A， P， M为顶点的三角形与 ABC相似？ （ 2）是否存在某一时刻 t，使四边形 APNC的面积 S有最小值？若存在，求 S的最小值；若不存在，请说明理由 答案：（ 1） ；（ 2）当 时，四边形 APNC的面积 S有最小值，其最小值是 试题分析：根据勾股定理求得 AB=5cm （ 1）分类讨论： AMP ABC和 APM ABC两种情况利用相似三角形的对应边成比例来求 t的值； （ 2）如图，过点 P作 PH BC于点 H，构造平行线 PH AC，由平行线分线段成比例求得以 t表示的 PH的值；然后根据 “S=S ABCS BPH”列出 S与
16、 t的关系式S= （ 0 t 2.5） ，则由二次函数最值的求法即可得到 S 的最小值 试题： 如图，在 Rt ABC中， C=90， AC=4cm， BC=3cm 根据勾股定理，得 =5cm （ 1）以 A， P， M为顶点的三角形与 ABC相似，分两种情况： 当 AMP ABC时， AP： AC=AM： AB，即 ，解得 ； 当 APM ABC时， AP： AB=AM： AC = ，即 ， 解得 （不合题意，舍去）； 综上所述，当 时，以 A、 P、 M为顶点的三角形与 ABC相似； （ 2）存在某一时刻 t，使四边形 APNC的面积 S有最小值理由如下：假设存在某 一时刻 t，使四边形
17、APNC的面积 S有最小值 如图，过点 P作 PH BC于点 H则 PH AC， PH： AC=BP： BA，即 PH：4=2t： 5， PH= ， S=S ABCS BPN= = （ 0 t 2.5） ， S有最小值当 时， S 最小值 = 答：当 时，四边形 APNC的面积 S有最小值，其最小值是 考点：相似形综合题 （本题 10分）、如图，大楼 AB的高为 16米，远处有一塔 CD，小李在楼底 A处测得塔顶 D处的仰角为 60，在楼顶 B处测得塔顶 D处的仰角为45其中 A、 C两点分别位于 B、 D两点正下方，且 A、 C两点在同一水平线上，求塔 CD的高度 答案： 试题分析：首先分析
18、图形，根据题意构造直角三角形本题涉及两个直角三角形，即 Rt BED和 Rt DAC，利用已知角的正切分别计算，可得到一个关于AC的方程，从而求出 DC 试题：作 BE CD于 E 可得 Rt BED和矩形 ACEB 则有 CE=AB=16， AC=BE 在 Rt BED中， DBE=45， DE=BE=AC 在 Rt DAC中， DAC=60， DC=ACtan60= AC 16+DE=DC， 16+AC= AC，解得 ： AC= =DE 所以塔 CD的高度为（ ）米， 答：塔 CD的高度为 ( )米 考点：解直角三角形的应用 -仰角俯角问题 （本题 8分） 某工厂现有 80台机器，每台机器
19、平均每天生产 384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其它生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产 4件产品 .问应增加多少台机器，才可以使每天的生产总量达到 30976件？ 答案： 试题分析：根据生产总量 =每台机器生产的产品数 机器数，列方程即可 试题：设增加 台机器，根据题意得： ， ， ， ， 应增加 8台机器，可以使每天的生产总量达到 30976件 考点：由实际问题抽象出一元二次方程 （本题 8分）如图，路灯（ P点）距地面 8米，身高 1.6米的小明从距路灯的底部（ O点） 20米的 A点，沿 OA所在的直线行走 14米到 B点时，
20、身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 答案：变短了 3.5m 试题分析：如图，由于 AC BD OP，故有 MAC MOP， NBD NOP即可由相似三角形的性质求解 试题： MAC= MOP=90， AMC= OMP， MAC MOP， MA：MO=AC： OP， 即 ，解得， MA=5米；同理，由 NBD NOP，可求得 NB=1.5米， 小明的身影变短了 51.5=3.5米 考点：相似三角形的应用 （本题 8分）先化简，再求值： ，其中 满足方程 答案： 试题分析：把原式括号里的第二项提取 1，然后把原式的各项分子分母都分解因式，找出括号里两项分母的最简公分母，利用分式的基
21、本性质对括号里两项进行通分，然后利用同分母分式的减法运算法则：分母不变，只把分子相减，计算出结果，然后利用分式的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，变形为乘法运算，约分后即可把原式化为最简分式，把 a满足的方程变形后，代入原式化简后的式子中即可求出值 试题：原式 = = = = ， ， 原式 = 考点：分式的化简求值 解方程：（每题 5分，共 10分） （ 1） （配方法） （ 2） （公式法） 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）先把方程变形为 ，然后在方程两边加上 3的平方，方程左边变形成完全平方式，再利用直接开平方法求解即可； （ 2）先计算出 ，然后代入一元二次方程的求
22、根公式进行计算即可 试题：（ 1） ， ， ， ， ； （ 2） = ， ， 考点： 1解一元二次方程 -公式法； 2解一元二次方程 -配方法 （本题 12分）如图，在正方形 ABCD中， E为 BC上一点，且 BE=2CE； F为 AB上一动点， BF=nAF， （ 1）若 n=1，则 = ， = ； （ 2）若 n=2，求证： 8AP=3PE （ 3）当 n=_时， AE DF（直接填出结果） 答案：（ 1） ； （ 2）证明见试题；（ 3） 试题分析：（ 1）可通过构建相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例来求解 （ 2）同（ 1）解法 （ 3）根据已知及相似三角形 的性质进行求解 试
23、题：（ 1）延长 AE交 DC的延长线于 H， 四边形 ABCD为正方形， AB DH， H= BAH， B= BCH， BEA CEH， ， 设 EC=m，则 AB=BC=CD=3m， BE=2m， CH=1.5m， 同理： AFP DPH， FP： PD=AP： PH=AF： DH=1.5m： 4.5m=1： 3， 设 AP=n， PH=3n， AH=4n， AE： EH=2： 1， EH= ， PE= ， AP： PE=3： 5， ， ； （ 2）证明：如图，延长 AE交 DC的延长线于 H， 四边形 ABCD为正方形， AB DH， H= BAH， B= BCH， BEA CEH， ， 设 EC=2a， BE=4a，则 AB=BC=CD=6a， CH=3a， AF=2a， 同理： AFP HDP， ， 设 AP=2k， PH=9k， AH=11k， EH= ， PE= ， ， 8AP=3PE； （ 3）当 AE DF时， tan BAE=PF： AP=BE： AB=2： 3， AFP AFD， FP： AP=AF： AD=2： 3， AF= AD= AB， BF= AB， BF= AF， 考点： 1正方形的性质； 2相似三角形的判定与性质
