1、2013-2014学年北京四中初二第一学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 要使分式 有意义，则 x的取值范围是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为 0，分式有意义根据题意得： ， 解得： 故选 考点：分式有意义的条件 . 以右图方格纸中的 3个格点为顶点，有多少个不全等的三角形（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 答案： C. 试题分析：具体画图数一数 . 考点：全等三角形的判定 . ABC和 ABC中， AB=AB， AC=AC， C=60， AD、 AD分别为 BC、 BC边上的高，且 AD=AD，则 C的度数为（ ） . A
2、60 B 120 C 60或 30 D 60或 120 答案： D 试题分析：先根据题意画出图形，再利用全等三角形的性质解答，画图时要注意 C为锐角和钝角两种情况讨论 （ 1）当 为锐角时，如图 1所示， ， ， ， ， ， ； （ 2）当 为钝角时，如图 3所示， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 或 故选 D 考点：全等三角形的判定与性质 . 如图， AB=AC， CF AB于 F， BE AC于 E， CF与 BE交于点 D有下列结论： ABE ACF； BDF CDE； 点 D在 BAC的平分线上以上结论正确的( ) A只有 B只有 C只有 D有 和 和 答案： D 试题分析：根据
3、三角形全等的判定方法， 由 判定 ； 由 判定 ； 判定 ，所以 在 的平分线上 考点：全等三角形的判定与性质 有 3张边长为 a的正方形纸片， 4张边长分别为 a、 b（ b a）的长方形纸片， 5张边长为 b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（ ） . A a+b B 2a+b C 3a+b D a+2b 答案： D 试题分析： 3张边长为 的正方形纸片的面积是 ， 4张边长分别为 、 的矩形纸片的面积是 ， 5张边长为 b的正方形纸片的面积是 ，得出，因为 = ，所以拼成
4、的正方形的边长最长可以为 故选 考点：完全平方公式 若 a、 b、 c是三角形三边的长，则代数式 的值（ ） . A小于零 B等于零 C大于零 D非正数 答案： A 试题分析：根据三角形中任意两边之和大于第三边把代数式 分解因式就可以进行判断 = = = ， ， 是三角形的三条边 ， ， ，故选 考点：（ 1）三角形三边关系；（ 2）因式分解；（ 3）代数式求值 若分式 中的 a、 b的值同时扩大到原来的 10倍，则分式的值（ ） . A是原来的 20倍 B是原来的 10倍 C是原来的 D不变 答案： D 试题分析：分别用 10a和 10b去代换原分式中的 a和 b，得 ，可见新分式与原分式相
5、等，故选 考点：分式的基本性质 两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是（ ） A两角和它们的夹边 B三条边 C两边和一角 D两条边和其中一边上的中线 答案： C 试题分析：三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等，做题时要按判定全等的方法逐个验证 、可用 判定两个三角形全等； 、可用 判定两个三角形全等； 、条件不足，只有两三角形是直角三角形，或者角为对应边夹角时才满足全等条件； 、可先根据 判定由中线一边和其对应短边组成的小三角形全等，然后可用 判定两个三角形全等故选 考点：三角形全等的判定 下列运算中，正确的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析
6、：根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，以及完全平方公式的意义，对各选项计算后利用排除法求解 、 而不等于 ，故本选项错误； 、 正确； 、而不等于 ，故本选项错误； 、 而不等于 ，故本选项错误 .因此本题选 B. 考点：（ 1）同底数幂的乘法；（ 2）合并同类项；（ 3）积的乘方；（ 4）完全平方公式 . 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定 、是多项式乘法，不是因式分解，错误； 、是多项式乘法，不是因式分解，错误； 、是因式分解，
7、 正确； 、右边不是积的形式，错误 考点：因式分解的定义 . 填空题 已知 n是正整数，且 是质数，则 n=_ 答案： 试题分析：先把 分解成两个因式积的形式，再根据 是正整数及质数的定义求出 的值即可 试题：解： = = = = ， n为正整数， ， =1， =5 考点：质数与合数 有一个整数，加上 100则为一个完全平方数，如果加上 168，则为另一个完全平方数，则这个数为 . 答案： . 试题分析：根据题意，可设所求的数为 ，由题意，得： （ 1）， （ 2），然后用（ 1）式减去（ 2）式，得到 ，由于，只有三种情况，即： ， ； ，； ， ；对这三种情况进行讨论，得出答案： 试题：解
8、：设所求的数为 ，由题意，得： （ 1） （ 2） （ 1） -（ 2），得： ， 由于 ，只有三种情况，即： ， ； ， ； ， ； 因为 与 没有整数解，排除； 算出 =18， =16，所以： ； 与 没有整数解，排除 综上，只有 ，即为所求的数 故答案：为： 156 考点：完全平方数性质 在下表中，我们把第 i行第 j列的数记为 （其中 i， j都是不大于 5的正整数），对于表中的每个数 ，规定如下：当 ij时， =1；当 i j时， = -1例如：当 i=2，j=1时， =1按此规定， = ；表中的 25个数中，共有 个 1；的最小值为 答案： -1； 15； -3 试题分析：由题意当
9、 时，当 时， ；由图表中可以很容易知道等于 1的数有 15个要求 最小值，只要求、 、 、 、 的最小值即可 试题：由题意，很容易发现，从 i与 j之间大小分析： 当 时， 当 时，； 由图表可知有 15个 1 = = 故答案：为： -1； 15； -3 考点：数字的变化 已知如图点 D是 ABC的两外角平分线的交点，下列说法： AD=CD D到 AB、 BC的距离相等 D到 ABC的三边的距离相等 点 D在 B的平分线上 其中正确的说法的序号是 _. 答案： 试题分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，过点 作 于点 ，于点 ， 于点 ，则 试题：过点 作 于点 ， 于点 ， 于点
10、平分 ， 平分 ， 点 在 的平分线上， 到 ， 的距离相等 故 234正确 考点：角平分线的性质 若分式 的值为 0，则 a= . 答案： -2. 试题分析：分式的值为 0的条件是：分子为 0，分母不为 0，两个条件需同时具备，缺一不可，据此可以解答本题 试题： ， 考点：分式的值为 0的条件 如图， 中， ， 平分 交 AC于点 D，若 CD=6，则点 D到 AB的距离为 答案： . 试题分析：过点 作 ，垂足为 ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 ，即可得解 试题：过点 作 ，垂足为 ， ， 平分 交 于点 ， ， ， 即点 到 的距离为 6 故答案：为： 6 考点：（ 1）角
11、平分线的性质；（ 2）全等三角形的判定与性质 如图，以 ABC的顶点 A为圆心，以 BC长为半径作弧；再以顶点 C为圆心，以 AB长为半径作弧，两弧交于点 D；连结 AD、 CD若 B=65，则 ADC的大小为 . 答案： . 试题分析：根据作法可得 ， ，然后利用 “边边边 ”证明 和 全等，再根据全等三角形对应角相等解答 试题： 以点 为圆心，以 长为半径作弧；以顶点 为圆心，以 长为半径作弧，两弧交于点 ， ， ， 在 和 中， ， ， 故答案：为： 65 考点：全等三角形的判定与性质 已知 ， ，则 =_ 答案： . 试题分析：先把 变形为 ，然后把 ， 代入即可求值 . 试题： =
12、=43=12. 考点：（ 1）因式分解；（ 2）代数式求值 . 若一多项式除以 2x23，得到的商式为 7x4，则此多项式为 _ 答案： 试题分析：根据被除式 =商 除式可知该多项式 = ，去括号整理即得 . 试题： = . 考点：多项式乘以多项式 . 计算题 计算 答案： -1 试题分析：从后向前，首先最后两项提公因式，再逐项提公因式； 试题： = = = = = = = 考点：分式的化简 解答题 在 ABC中， O为内心， 点 E、 F都在大边 BC上 .已知 BF=BA， CE=CA.求证： EOF= ABC+ ACB. 答案：见试题 试题分析：由 为内心可连接 ， ， ，构造全等三角形
13、。利用全等三角形的性质及三角形的内角和定理即可求解 试题：连结 ， ， ， 是 的内心， 又 ， ， ， ， 同理可证： ， ， 而= = = 考点：（ 1）三角形的内心；（ 2）三角形的判定与性质；（ 3）三角形的内角和 烟台享有 “苹果之乡 ”的美誉甲、乙两超市分别用 3000元以相同的进价购进质量相同的苹果甲超市销售方案是：将苹果按大小分类包装销售，其中大苹果 400千克，以进价的 2倍价格销售，剩下的小苹果以高于进价 10%销售乙超市的销售方案是：不将苹果按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大、小两种苹果售价的平均数定价若两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利 2100元（其 它成本不
14、计）问： （ 1）苹果进价为每千克多少元？ （ 2）乙超市获利多少元？并比较哪种销售方式更合算 答案：（ 1） 5；（ 2） 1650，甲超市销售方式更合算 试题分析：（ 1）先设苹果进价为每千克 x元，根据两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利 2100元列出方程，求出 x的值，再进行检验即可求出答案：； （ 2）根据（ 1）求出每个超市苹果总量，再根据大、小苹果售价分别为 10元和 5.5元，求出乙超市获利，再与甲超市获利 2100元相比较即可 试题：解：（ 1）设苹果进价为每千克 x元，根据题意得： 400x+10%x（ -400） =2100， 解得： x=5， 经检验 x=5是原方程的
15、解， 答：苹果进价为每千克 5元 （ 2）由（ 1）得，每个超市苹果总量为： =600（千克）， 大、小苹果售价分别为 10元和 5.5元， 则乙超市获利 600（ -5） =1650（元）， 甲超市获利 2100元， 甲超市销售方式更合算 考点 ：分式方程的应用 如图，在方格纸中， PQR的三个顶点及 A、 B、 C、 D、 E五个点都在小方格的顶点上现以 A、 B、 C、 D、 E中的三个点为顶点画三角形 （ 1）在图甲中画出一个三角形与 PQR全等； 图甲 （ 2）在图乙中画出一个三角形与 PQR面积相等但不全等 图乙 答案：见下面画图 试题分析：（ 1）过 作 ，过 作 ，再顺次连接
16、、 、 ，此题答案：不唯一，符合要求即可； （ 2） 面积是： ，连接 ， 长为 3，再连接 、 ，三角形的面积也是 6，但是两个三角形不全等 试题： 解：（ 1）如图所示： ； （ 2）如图所示： 考点： (1)作图 复杂作图； (2)全等图形 已知：如图，在 ABC中， AD是中线，分别过点 B、 C作 AD及其延长线的垂线 BE、CF，垂足分别为点 E、 F求证： BE=CF 答案：见下列过程 试题分析：由已知条件 “过点 、 作 及其延长线的垂线 ”易证两个直角相等；再由 是中线知 ，对顶角 与 相等，利用 “ ”来证明即可得到 试题： 证明：根据题意，知 ， ， ， 又 是边 上的中
17、线， ； 在 和 中， ， ， （全等三角形的对应边相等） 考点：全等三角形的性质与判定。 已知：如图， MON及边 ON上一点 A在 MON内部求作：点 P，使得 PA ON，且点 P到 MON两边的距离相等（请尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法，不必证明） 答案：见作图 试题分析： 到 的两边的距离相等， 在 的角平分线上； PA ON，则点 在 过点 的垂线上，综上所述， 是 过点 的垂线和 的角平分线的交点 试题：如图，过点 作 的垂线 ；作 的平分线 ， 与 的交点为 ，则点 即为所求作的点 考点：作图 复杂作图 （ 1）已知 ，求代数式 的值 （ 2）化简求值： ，其中 答案：
18、（ 1） 12 （ 2） 36 试题分析：（ 1）根据已知列等式 ，再把代数式化简，把 整体代入即可求出代数式 的值 （ 2）先把代数式 化简后，再把 、 的值代入即可求值 试题： （ 1）由 得 = = = = = =12 （ 2）= = = 把 ， ，代入上式得， 原式 = =36 考点： (1)代数式与方程的关系 ;(2)分式的化简求值 计算题 （ 1） （ 2） 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析： （ 1）根据积的乘方、单项式乘以单项式、单项式除以单项式的法则进行计算即可； （ 2）利用分式的运算法则计算即可 试题： （ 1）= = =（ 2）= = = = = 考点： (1)整式
19、的乘除法 ;(2)分式的混合运算 计算题 . （ 1） （ 2） 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析： （ 1）原式第一项利用单项式乘多项式法则计算，第二项利用多项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果； （ 2）原式第一项利用完全平方公式计算，第二项利用平方差公式计算，去括号合并即可得到结果 试题： （ 1）= = =（ 2） = = = 考点：整式的混合运算 解分式方程： 答案： 试题分析：观察可得最简公分母是 ，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解 试题：去分母得： ， 去括号得： ， 移项得： ， 合并同类项得： ， 检验：把 代入最简公分母 ， 故原分式方程的
20、解为： 考点：解分式方程 分解因式： . （ 1） （ 2） 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：根据十字相乘法分解因式即可因为 x2+（ a+b） x+ab=（ x+a）（ x+b），只要符合此形式，就可以进行因式分解，称为十字相乘法 试题：（ 1） = = ； （ 2）= = = 考点：分解因式的方法 . 问题 1：如图 1，在四边形 ABCD中， AD BC， A= D， AB=BC=CD，点 M， N分别在 AD， CD上，若 MBN= ABC，试探究线段 MN， AM， CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明； 问题 2：如图 2，在四边形 ABCD中， AB=BC，
21、ABC+ ADC=180，点 M， N分别在 DA， CD的延长线上，若 MBN= ABC仍然成立，请你进一步探究线段 MN，AM， CN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明 . 解：（ 1）猜想： _ （ 2）猜想： _ 证明： 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）如图 1，先判定梯形 是等腰梯形，根据等腰梯形的性质可得，再把 绕点 顺时针旋转使点 与点 重合，点 到达点 ，根据旋转变换的性质， 和 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ， ，根据全等三角形对应角相等可得 ，然后证明 、 、 三点共线，再利用 “边角边 ”证明 和全等，然后根据全等三角形对应边相等即可得证 （ 2）如图 2，在 内部作 交 于点 ，然后证明，再利用 “角边角 ”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ， ，再证明 ，利用 “边角边 ”证明和 全等，根据全等三角形对 应边相等可得 ，从而得到 试题：解：猜想的结论：（ 1） ；（ 2）猜想的结论： 理由如下：如图，作 交 于点 ， ， ， 又 ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 考点： (1)等腰梯形的性质； (2)全等三角形的判定与性质
