1、2013届北京市东城区九年级上学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 下列一元二次方程中有两个相等的实数根的是 A B C D 答案： C 试题分析：分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断 . A、 ，该方程有两个不相等实数根，故错误； B、 ，该方程有两个不相等实数根，故错误； C、 ，该方程有两个相等的实数根，正确； D、 ，该方程没有实数根，故错误； 故选 D. 考点：一元二次方程的根的判别式 点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程 ，当时，方程有两个不相等实数根；当 时，方程的两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根。 已知点 A（ 0， 2）， B（ 2， 0），点
2、C在 的图象上，若 ABC的面积为 2，则这样的 C点有 A 1 个 B 2个 C 3个 D 4个 答案： D 试题分析：先根据勾股定理求得 AB的长，设点（ ， ）到直线 AB：的距离为 d，由三角形的面积公式可得 ，由即可求得结果 . 由题意得 设点（ ， ）到直线 AB： 的距离为 d 则由 ABC的面积为 2可得 ，解得 即 ，则 ， 解得 或 或 或 则使得三角形 ABC的面积为 2的点 C的个数为 4， 故选 D 考点：勾股定理，二次函数的性质，点到直线的距离公式 点评：解答本题的关键是熟练掌握点到直线的距离公式，并正确运用公式列方程求解 . 如图， AB是 O的直径，弦 CD A
3、B， CDB 30， CD 2 ，则阴影部分图形的面积为 M A 4 B 2 C D 答案： D 试题分析：先根据垂径定理求得 CM的长，根据圆周角定理求得 COB的度数，再解直角三角形求得 OC的长，然后证得 COM DBM，即可得到阴影部分的面积等于扇形 COB的面积，从而求得结果 . CD AB， CD 2 CDB 30 COB 60 ， OCM 30 COM DBM 阴影部分的面积等于扇形 COB的面积 故选 D. 考点：垂径定理，圆周角定理，扇形的面积公式 点评：解答本题的关键是熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于
4、所对圆心角的一半 . 如图，在 ABC中，若 DE BC， AD BD=1 2，若 ADE的面积等于 2，则 ABC的面积等于 A 6 B 8 C 12 D 18 答案： D 试题分析：由 DE BC可得 ADE ABC，再根据相似三角形的性质即可求得结果 . DE BC ADE ABC AD BD=1 2 AD AB=1 3 9 故选 D. 考点：相似三角形的判定和性质 点评：解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的边长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 . 若将抛物线 y= 先向左平移 2个单位，再向下平移 1个单位得到一个新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是 A B C D 答案： B 试题
5、分析：平面直角坐标系中的点的平移规律：横坐标左加右减，纵坐标上加下减 . 抛物线 y= 的顶点坐标 是（ 0， 0），先向左平移 2个单位，再向下平移 1个单位是 故选 B. 考点：二次函数的性质 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握平面直角坐标系中的点的平移规律，即可完成 . 从 1， 2， 3， 4这四个数中，随机抽取两个相加，和为偶数的概率为 A B C D 答案： A 试题分析：先列举出任两个数之和的所有情况，求出和为偶数的情况数占总情况数的比例即可 . ， ， ， ， ， 和为偶数的概率为 故选 A. 考点：概率的求法 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握概率的求法，即可
6、完成 如图， AB是 O的弦， OC AB于点 C，若 AB=4， OC=1，则 O的半径为 A B C D 6 答案： B 试题分析：先根据垂径定理求得 AC的长，再根据勾股定理即可求得结果 . OC AB， AB=4 故选 B. 考点：垂径定理，勾股定理 点评：解答本题的关键是熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧 . 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是答案： C 试题分析：轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转 180，旋转后的图形能和原
7、图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形 A、只是中心对称图形， B、 D只是轴对称图形， C既是中心对称图形又是轴对称图形， 故选 A. 考点：本题考查的是中心对称图形和轴对称图形 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义，即可完成 填空题 如图所示，在 ABC中， BC=6， E， F分别是 AB， AC的中点，点P在射线 EF上， BP交 CE于 D，点 Q在 CE上且 BQ平分 CBP，设BP= ， PE= .当 CQ= CE时， 与 之间的函数关系式是 ；当 CQ=CE（ 为不小于 2的常数）时， 与 之间的函数关系式是 . 答案： y=x+6；
8、y=x+6(n1) 试题分析：设 CQ=a， DE=b， BD=c，则 DP=y-c；设 EQ=kCQ=ka（ k0），则 DQ=ka-b， CD=（ k+1） a-b过 Q点作 QM BC于点 M，作QN BP于点 N，由 BQ平分 CBP，根据角平分线的性质可得QM=QN，再结 合三角形的面积公式及平行线的性质即可得到结果 . 如图，设 CQ=a， DE=b， BD=c，则 DP=y-c； 不妨设 EQ=kCQ=ka（ k 0），则 DQ=ka-b， CD=（ k+1） a-b 过 Q点作 QM BC于点 M，作 QN BP于点 N， BQ平分 CBP， QM=QN 由 式联立解得： y=
9、6k-x 当 CQ= CE时， k=1， 故 y与 x之间的函数关系式为： y=6-x 当 CQ= CE（ 为不小于 2的常数）时， k=n-1， 由（ 2）中 式可知， y与 x之间的函数关系式为： y=6（ n-1） -x 考点：三角形的面积公式，角平分线性质 点评：本题采用了从一般到特殊的解题思想，简化了解答过程；同学们亦可尝试从特殊到一般的解题思路 . 两块大小一样斜边为 4且含有 30角的三角板如图水平放置 .将 CDE绕 C点按逆时针方向旋转，当 E点恰好落在 AB边上的 点时， 的长度为 答案： 试题分析：先根据含 30的直角三角形的性质得到 BC、 C的长，再求得 BC 的度数
10、，即可得到 EC 的度数，再根据弧长公式即可求得结果 . 由题意得 BC= C=2， B=60 BC =60 EC =30 的长度 考点：含 30的直角三角形的性质，旋转的性质，弧长公式 点评：解答本题的关键是熟练掌握旋转对应边的夹角是旋转角，弧长公式： 点 A（ ， ）、 B（ ， ）在二次函数 的图象上，若 1，则 与 的大小关系是 （用 “ ”、 “ ”、 “=”填空） 答案： 试题分析：先求得二次函数 的对称轴，再根据二次函数的性质即可得到结果 . 二次函数 的对称轴为 ， 1 . 考点：二次函数的性质 点评：解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质：当 时，在对称轴 左边，函数值 y随
11、 x的增大而减小；在对称轴 右边，函数值 y随 x的增大而增大 . 已知 x=1是方程 x2+bx-2=0的一个根，则 b的值是 ；方程的另一个根是 答案：； -2 试题分析：由题意把 代入方程 ，即可求得 b的值，再解方程即可求得另一个根 . 由题意得 ，解得 则原方程可化为 解得 ， 则方程的另一个根是 考点：方程的根的定义，解一元二次方程 点评：解答本题的关键是熟练掌握方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值 . 解答题 如图 1，在等腰直角 ABC中， BAC=90， AB=AC=2，点 E是BC边上一点， DEF=45且角的两边分别与边 AB，射线 CA交于点 P，
12、Q. （ 1）如图 2，若点 E为 BC中点，将 DEF绕着点 E逆时针旋转， DE与边 AB交于点 P， EF与 CA的延长线交于点 Q.设 BP为 x， CQ为 y，试求 y与 x的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围； （ 2）如图 3，点 E在边 BC上沿 B到 C的方向运动（不与 B， C重合），且 DE始终经过点 A， EF与边 AC交于 Q点探究：在 DEF运动过程中， AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出 BE的长；若不能，请说明理由 答案：（ 1） ， 0 x 1；（ 2）能，此时 BE的长为 或试题分析：（ 1）先根据等腰三角形的性质及勾股定理得到 B= C，再由 ， 可
13、证得 BPE CEQ，根据相似三角形的性质可得 ，设 BP为x， CQ为 y，即得 ，从而可以求得结果； （ 2）由 AEF= B= C且 AQE C可得 AEAQ ，当 AE=EQ时，可证 ABE ECQ，即可得到 CE=AB=2，从而可以求得 BE的长；当AQ=EQ时，可知 QAE= QEA=45，则可得 AE BC ，即得点 E是BC的中点，从而可以求得 BE的长 . （ 1） BAC=90， AB=AC=2 B= C， 又 ， DEB= EQC BPE CEQ 设 BP为 x， CQ为 y ，自变量 x的取值范围是 0 x 1； （ 2） AEF= B= C且 AQE C AQE AE
14、F AEAQ 当 AE=EQ时，可证 ABE ECQ CE=AB=2 BE=BC-EC= 当 AQ=EQ时，可知 QAE= QEA=45 AE BC 点 E是 BC的中点 . BE= 综上，在 DEF运动过程中， AEQ能成等腰三角形，此时 BE的长为或 . 考点：相似三角形的判定和性质 ，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质 点评：解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的对应边成比例，注意对应字母在对应位置上 . 已知，二次函数 的图象如图所示 . （ 1）若二次函数的对称轴方程为 ，求二次函数的式； （ 2）已知一次函数 ，点 是 x轴上的一个动点若在（ 1）的条件下，过点 P垂直于
15、 x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数 的图象于点 N若只有当 1 m 时，点 M位于点 N的上方，求这个一次函数的式； （ 3）若一元二次方程 有实数根，请你构造恰当的函数，根据图象直接写出 的最大值 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） . 试题分析：（ 1）根据二次函数的对称轴可知二次函数的顶点坐标为（ 1， -3），二次函数与 轴的交点坐标为 ，即可根据待定系数法求得结果； （ 2）由题意得一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为 1和 ，即可得交点坐标为 和 ，再根据待定系数法即可求得结果； （ 3）先构造恰当的函数，在根据图象的性质即可得到结果 . （ 1）
16、二次函数的对称轴方程为 ，由二次函数的图象可知二次函数的顶点坐标为（ 1， -3），二次函数与 轴的交点坐标为 ， 于是得到方程组 解方程得 二次函数 的式为 ； （ 2）由（ 1）得二次函数式为 依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为 1和 由此可得交点坐标为 和 将交点坐标分别代入一次函数式 中 得 解得 一次函数的式为 ； （ 3） . 考点：二次函数的应用 点评：解答本题的关键是熟练掌握抛物线的对称性，同时正确运用待定系数法求函数关系式 . “十八大 ”报告一大亮点就是关注民生问题，交通问题已经成了全社会关注的热点 .为了解新建道路的通行能力，某研究表明
17、，某种情况下，车流速度 (单位：千米时 )是车流密度 (单位：辆千米 )的函数，函数图象如图所示 . （ 1）求 关于 的函数表达式； （ 2）车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度 车流密度 .若车流速度 低于 80千米时，求当车流密度为多少时，车流量 (单位：辆时 )达到最大，并求出这一最大值 答案：（ 1）当 时， ，当 时，； （ 2）当车流密度 x为 94辆 /千米时，车流量 P最大，为 4418辆 /时 . 试题分析：（ 1）分 ， 两种情况，根据待定系数法求解即可； （ 2）先根据计算公式：车流量 =车流速度 车流密度 得到函数关系式，再根据二次函数的
18、性质即可求得结果 . （ 1）当 时， 当 时，设 由图象可知 解得 当 时， ； （ 2）由题意得 = 答：当车流密度 x为 94辆 /千米时，车流量 P最大，为 4418辆 /时 . 考点：二次函数的应用 点评：解答本题的关键是熟练掌握二次函数的顶点坐标的实际意义，正确求得函数的极值 . 某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为 ， ， ，并且设置了相应的垃圾箱， “厨余垃圾 ”箱、 “可回收物 ”箱和 “其他垃圾 ”箱，分别记为 A， B， C. （ 1）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率； （ 2）为调查居民生
19、活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总 1 000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）： A B C 400 100 100 30 240 30 20 20 60 试估计 “厨余垃圾 ”投放正确的概率 . 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：先画出树状图列举出所有的情况，再根据概率公式即可求得结果 . （ 1）三类垃圾随机投入三类垃圾箱的树状图如下： 由树状图可知垃圾投放正确的概率为 ； （ 2） “厨余垃圾 ”投放正确的概率为 . 考点：概率的求法 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握概率的求法，即可完成 如图， PB切 O于 B点，直线 PO交 O于点 E， F，过点
20、 B作 PO的垂线 BA，垂足为点 D，交 O于点 A，延长 AO交 O于点 C，连结BC， AF （ 1）求证：直线 PA为 O的切线； （ 2）若 BC 6， =1 2，求 O的半径的长 答案：（ 1）连接 OB，根据切线的性质可得 PBO 90，再有 OA OB， BA PO于 D，公共边 PO可证得 PAO PBO，即得 PAO PBO 90，从而可以证得结论；（ 2） 5 试题分析：（ 1）连接 OB，根据切线的性质可得 PBO 90，再有 OA OB， BA PO于 D，公共边 PO可证得 PAO PBO，即得 PAO PBO 90，从而可以证得结论； （ 2）设 AD x，根据
21、=1 2，即可表示出 FD 2x， OA OF 2x-3，在 Rt AOD中，根据勾股定理即可列方程求解 （ 1）如图，连接 OB PB是 O的切线 PBO 90 OA OB， BA PO于 D AD BD， POA POB 又 PO PO PAO PBO PAO PBO 90 直线 PA为 O的切线； （ 2） OA OC， AD BD， BC 6 OD BC 3 设 AD x =1 2 FD 2x， OA OF 2x-3 在 Rt AOD中，由勾股定理得 (2x-3)2 x2 32 解得 x1 4， x2 0（不合题意，舍去） AD 4， OA 2x-3 5 即 O的半径的长 5 考点：切
22、线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理 点评：解答本题的关键是熟练掌握切线垂直于经过切点的半径，注意勾股定理在圆中的灵活应用 . 随着我国经济的发展，越来越多的人愿意走出国门旅游 . 据有关报道，我国 2010年和 2012年公民出境旅游总人数分别约为 6000万人次，8640万人次， 求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率 . 答案： % 试题分析：设年平均增长率 x，根据增长后的价格 =增长前的价格 （ 1-增长率），则第一次增长后的价格是 ，那么第二次增长后的价格是 ，即可列出方程求解 设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 x，由题意得 解得 ， （不合题意，舍去）
23、答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 20% 考 点：本题考查的是百分数的应用 点评：解答本题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍 如图，点 A， B， C， D在 O上， O点在 D的内部，四边形OABC为平行四边形，求 OAD+ OCD的度数 答案： 试题分析：先根据圆内接四边形的性质可得 B+ D=180，再根据平行四边形的性质可得 AOC= B，根据圆周角定理可得 AOC=2 D，即可求得 D的度数，连结 OD，即可得到 OAD= ODA， OCD= ODC，从而求得结果 四边形 ABCD是圆内接四边形 B+ D=180 四边形 OABC为平行
24、四边形 AOC= B 又由题意可知 AOC=2 D 可求 D=60 连结 OD， AO=OD， CO=OD OAD= ODA， OCD= ODC OAD+ OCD= ODA+ ODC= D=60 考点：圆内接四边形的性质，平行四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质 点评：解答本题的关键是熟练掌握圆内接四边形的对角互补；平行四边形的对角相等；圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于所对圆心角的一半 . 已知关于 x的一元二次方程 (m-2)x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根 . （ 1）求 m的取值范围； （ 2）当 m取满足条件的最大整数时，求方程的根 . 答案：（ 1）
25、且 m 1-2；（ 2） ， 试题分析：（ 1）根据方程有两个不相等的实数根可得 ，即可得到关于 m的不等式，解出即可； （ 2）先根据题意取得合适的 m的值，再代入原方程，解出即可得到结果 . （ 1） 关于 x的一元二次方程 (m-2)x2+2mx+m+3=0 有两个不相等的实数根， ，即 又 ， 即 解得 m的取值范围是 且 m 1-2； （ 2）在 且 m1-2的范围 内，最大整数 m为 5 此时方程化为 方程的根为 ， 考点：一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程 点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程 ，当时，方程有两个不相等实数根；当 时，方程的两个相等的实数根；当 时，方
26、程没有实数根。 画图： （ 1）如图，在边长为 1的小正方形组成的网格中， OAB的顶点都在格点上，请将 OAB绕点 O顺时针旋转 90，画出旋转后的 OAB； （ 2）在 44的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个中心对称图形 .在图 1，图 2中分别画出两种符合题意的图形 . 答案：（ 1）如图所示： （ 2）如图所示： 试题分析：（ 1）分别作出 OAB的各个顶点绕点 O顺时针旋转 90的对应点，再顺次连接即可； （ 2）根据中心对称图形的性质即可得到结果 . （ 1）如图所示： （ 2）如图所示： 考点：基本作图 点评
27、：解答本题的关键是熟练掌握几种基本变换的作图方法，找准关键点的对应点 . 如图，在边长为 1的小正方 形组成的网格中， ABC和 DEF的顶点都在格点上，判断 ABC和 DEF是否相似，并说明理由 答案： ABC和 DEF相似 试题分析：先根据勾股定理求得各条边的长，再根据相似三角形的判定方法即可判断 . 由勾股定理得 ， ， BC=5， DE=4， DF=2， ABC DEF 考点：勾股定理，相似三角形的判定 点评：解答本题的关键是熟练掌握格点的特征根据勾股定理求得各条边的长，同时熟记三组边对应成比例的两个三角形相似 . 小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径 OB=
28、3cm，高 OC=4cm，求这个圆锥形漏斗的侧面积 答案： 试题分析：先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再根据圆锥形的侧面积公式即可求得结果 . 由题意得 cm 圆锥形漏斗的侧面积 = cm2 考点：勾股定理，圆锥形的侧面积公式 点评：解答本题的关键是熟练掌握圆锥形的侧面积 底面半径 母线 . 解方程： 答案： ， . 试题分析：先移项，再化系数为 1，方程两边同时加上一次项系数的一半，再根据完全平方公式分解因式，即可根据配方法解方程 . 解得 ， . 考点：解一元二次方程 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握配方法解一元二次方程的方法，即可完成 . 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 交
29、 x轴负半轴于点 A，交 y轴正半轴于点 B（ 0， 3），顶点 C位于第二象限，连结 AB， AC， BC （ 1）求抛物线的式； （ 2）点 D是 y轴正半轴上一点，且在 B点上方，若 DCB= CAB，请你猜想并证明 CD与 AC的位置关系； （ 3）设与 AOB重合的 EFG从 AOB的位置出发，沿 x轴负方向平移 t个单位长度 (0 t3)时， EFG与 ABC重叠部分的面积为 S，求 S与 t之间的函数关系式 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） S试题分析：（ 1）先根据抛物线 与 y轴交于点 B（ 0， 3）求得 m的值，再由抛物线的顶点在第二象限，即可得到结果； （ 2）由
30、 A（ -3， 0）， B（ 0， 3）， C（ -1， 4）根据勾股定理可求得，根据勾股定理的逆定理可得，再结合 DCB= CAB，即可证得结果； （ 3）当 0 t 时，如图， EF交 AB于点 Q， GF交 AC于点 N，过 N做MP/FE交 x轴于 P点，交 BF的延长线点 M， BF的延长线交 AC于点K，由 AGN KFN根据相似三角形的性质可得 ，即可表示出 PN，即可得到结果；当 t3时，如图， EF交 AB于点 N，交AC于点 M， BF交 AC于点 P，由 AME PMF根据相似三角形的性质可得 ，即可表示出 ME，从而可以求得结果 . （ 1） 抛物线 与 y轴交于点 B
31、（ 0， 3） 抛物线的顶点在第二象限， 抛物线的式为 ； （ 2） A（ -3， 0）， B（ 0， 3）， C（ -1， 4） 又 ； （ 3）当 0 t 时，如图， EF交 AB于点 Q， GF交 AC于点 N，过 N做MP/FE交 x轴于 P点，交 BF的延长线点 M， BF的延长线交 AC于点 K 由 AGN KFN 得 即 解得 PN 2t 当 t3时，如图， EF交 AB于点 N，交 AC于点 M， BF交 AC于点P 由 AME PMF 得 即 解得 ME 2(3-t) 综上所述： S 考点：二次函数的综合题 点评：解答本题的关键是读懂题意，画出图形，正确作出辅助线，熟练运用相似三角形的性质及三角形的面积公式解决问题 .
