1、2013届北京市昌平区九年级上学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 在 RtABC中， ， ， ，则 sin 的值为 A B C D 答案： B 试题分析：先根据勾股定理求得 AB的长，再根据正弦的定义即可求得结果 . ， ， 故选 B. 考点：勾股定理，正弦 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握正弦的定义，即可完成 . 如图，在边长为 2的等边三角形 ABC中，以 B为圆心， AB为半径作 ，在扇形 BAC内作 O与 AB、 BC、 都相切，则 O的周长等于 A. B. C. D. 答案： C 试题分析：设切点为 M，连接 BO、 MO，则 OMB=90，根据切线的性质结合等边
2、三角形的性质可得 OBM=30，根据含 30的直角三角形的性质可得 BO=2OM，设 O的半径为 r，根据两圆 内切即可求得结果 . 设切点为 M，连接 BO、 MO，则 OMB=90 等边三角形 ABC， O与 AB、 BC、 都相切 OBM=30 BO=2OM 设 O的半径为 r，则 BO=2-r 2-r=2r，解得 则 O的周长等于 故选 C. 考点：圆和圆的位置关系，切线的性质，等边三角形的性质，含 30的直角三角形的性质 点评：设两圆的半径分 别为 R和 r，且 ，圆心距为 d：外离，则 ；外切，则 ；相交：则；内切，则 ；内含，则 如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线
3、照射到圆桌后在地面上形成圆形的示意图 . 已知桌面直径为 1.2m，桌面离地面 1m. 若灯泡离地面 3m，则地面上阴影部分的面积为 A m2 B m2 C m2 D m2 答案： B 试题分析：设地面上阴影部分的半径为 xm，先根据相似三角形的性质求得 x的值，再根据圆的面积公式即可求得结果 . 设地面上阴影部分的半径为 xm，由题意得 解得 则地面上阴影部分的面积为 故选 B. 考点：相似三角形的 应用 点评：解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例 . 将二次函数 化为 的形式，结果为 A B C D 答案： D 试题分析：化 ，再根据完全平方公式分解因式即可
4、. 故选 D. 考点： 二次函数的性质 点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式： ，注意当二次项系数为 1时，常数项等于一次项系数一半的平方 . 若一个三角形三边之比为 3:5:7，与它相似的三角形的最长边的长为 21，则最短边的长为 A 15 B 10 C 9 D 3 答案： C 试题分析：设最短边的长为 x，根据相似三角形的性质即可列方程求解 . 设最短边的长为 x，由题意得 解得 故选 C. 考点：相似三角形的性质 点评：解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例 . O1和 O2的半径分别为 3cm和 5cm，若 O1O2=8cm，则 O1和 O2的位置关系
5、是 A外切 B相交 C内切 D内含 答案： A 试题分析：设两圆的半径分别为 R和 r，且 ，圆心距为 d：外离，则 ；外切，则 ；相交：则；内切，则 ；内含，则 O1和 O2的位置关系是外切 故选 A. 考点：圆和圆的位置关系 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握圆和圆的位置关系，即可完成 . 在不透明的布袋中装有 1个红球， 2个白球， 3个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是红球的概率是 A B C D 答案： A 试题分析：根据红球的个数占总个数的比例即可求得结果 . 由题意得，摸出的球是红球的概率是 故选 A. 考点：概率的求法 点评：本题属于基础应用题
6、，只需学生熟练掌握概率的求法，即可完成 . 如图， O是 ABC的外接圆， A=50，则 BOC的度数为 A 40 B 50 C 80 D 100 答案： D 试题分析：圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于所对圆心角的一半 . 由图可得 BOC=2 A=100 故选 D. 考点：圆周角定理 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握圆周角定理，即可完成 . 填空题 如图，已知正方形 ABCD的边长为 8cm，点 E、 F分别在边 BC、 CD上， EAF=45. 当EF=8cm时， AEF的面积是 cm2； 当 EF=7cm时， EFC的面积是 cm2 答案：， 8 试题分析：延长
7、EB至 G，使 BG=DF，连接 AG根据正方形的性质，证得 ABG ADF， FAE GAE，即可求得 AEF的面积，从而求得 EFC的面积 . 延长 EB至 G，使 BG=DF，连接 AG 正方形 ABCD， AB=AD， ABG= ADF= BAD=90， BG=DF， ABG ADF， AG=AF， BAG= DAF EAF=45 FAE= GAE=45， AE=AE， FAE GAE， EF=EG 当 EF=8cm时， EF=EG=8cm AEF的面积 =GAE的面积 = 当 EF=7cm时， EF=EG=7cm EFC的面积 =正方形 ABCD的面积 -2AEF的面积 = 考点：旋
8、转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式 点评：解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等 如图，在 ABC中， ACB= ADC=90，若 sinA= ，则 cos BCD的值为 答案： 试题分析：先根据同角的余角相等可得，再根据三角函数的定义即可求得结果 . ACB= ADC=90 A+ ACD= ACD+ BCD=90 BCD= A sin BCD=sinA= ，即 cos BCD 考点：同角的余角相等，三角函数 点评：解答本题的关键是熟练掌握正弦 ，余弦 ，同时注意三角函数值的
9、大小只与角的大小有关，与所在的三角形无关 . 当 时，二次函数 有最小值 答案： 试题分析：先配方 ，即可得到二次函数的顶点坐标，再根据抛物线的开口方向即可判断结果 . 当 时，二次函数 有最小值 考点：二次函数的性质 点评：解答本题的关键是熟练掌握二次函数 的顶点坐标为（ ， ） . 已知圆锥的底面半径为 3，母线长为 4，则圆锥的侧面积为 . 答案： 试题分析：圆锥形的侧面积公式：圆锥形的侧面积 底面半径 母线 . 由题意得圆锥形的侧面积 考点：圆锥形的侧面积公式 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握圆锥形的侧面积公式，即可完成 . 解答题 如图，菱形 ABCD的边长为 48cm，
10、A=60，动点 P从点 A出发，沿着线路 AB BD做匀速运动，动点 Q从点 D同时出发，沿着线路 DC CB BA做匀速运动 . （ 1）求 BD的长； （ 2）已知动点 P、 Q运动的速度分别为 8cm/s、 10cm/s. 经过 12秒后， P、 Q分别到达M、 N两点，若按角的大小进行分类，请问 AMN是哪一类三角形，并说明理由； （ 3）设问题（ 2）中的动点 P、 Q分别从 M、 N同时沿原路返回，动点 P的速度不变，动点 Q的速度改变为 cm/s，经过 3秒后， P、 Q分别到达 E、 F两点，若 BEF与问题（ 2）中的 AMN相似，试求 的值 . 答案：（ 1） 48cm；（
11、 2）直角三角形；（ 3） 4或 12或 24 试题分析：（ 1）根据菱形的性质结合 可得 ABD是等边三角形，即可求得结果； （ 2）先分别求得 12秒后点 P和点 Q到达的位置，连结 MN，由（ 1）知 ABD（ M）是等边三角形，根据等边三角形即可得到结果； （ 3）依题意得， 3秒时点 P走过的路程为 24cm，点 Q走过的路程为 3 cm，分当点 Q在 NB上时，当点 Q在 BC上时，当点 Q与点 C重合时，三种情况，结合菱形的性质进行分析即可 . （ 1） 四边形 ABCD是菱形 AB=BC=CD=AD=48 又 ABD是等边三角形 BD=AB=48 BD的长为 48cm； （ 2
12、）如图 1， 12秒后，点 P走过的路程为 812=96 12秒后点 P到达点 D（ M） 又 12秒后，点 Q走过的路程为 1012=120 12秒后点 Q到达 AB的中点 N 连结 MN，由（ 1）知 ABD（ M）是等边三角形 MN AB于点 N AMN是直角三角形； （ 3）依题意得， 3秒时点 P走过的路程为 24cm，点 Q走过的路程为 3 cm 点 E是 BD的中点 DE=BE=24 当点 Q在 NB上时（如图 1）， 点 E是 BD的中点 若 EF1 DB，则点 F1与点 A重合，这种情况不成立 EF1 AB时， EF1B= ANM = 90 由（ 1）知 ABD = A =
13、60 EF1B MAN ， 如图 2，由菱形的轴对称性，当点 Q在 BC上时， 点 Q走过的路程为 36cm 如图 3，当点 Q与点 C重合时，即点 F与点 C重合 由（ 1）知， BCD是等边三角形 EF3 BD于点 E， EBF3= A=60 F3EB MNA 此时 BF3=48 点 Q走过的路程为 72cm 综上所述，若 BEF ANM ，则 的值为 4cm/s或 12cm/s或 24cm/s. 考点：菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质 点评：解答本题的关键是熟练掌握菱形的四条边均相等；相似三角形的对应边成比例，注意对应字母在对应位置上 . 如图，小明在一次高尔夫
14、球训练中，从山坡下 P点打出一球向球洞 A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球 达到最大高度 BD为 12米时，球移动的水平距离 PD为 9米 已知山坡 PA与水平方向 PC的夹角为 30o， AC PC于点 C， P、A两点相距 米请你建立适当的平面直角坐标系解决下列问题 . （ 1）求水平距离 PC的长； （ 2）求出球的飞行路线所在抛物线的式； （ 3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从 P点直接打入球洞 A 答案：（ 1） 12m；（ 2） ；（ 3）不能 试题分析：（ 1）由题意得 ，由 即可求得结果； （ 2）以 P为原点， PC所在直线为 x轴建立如图所示的平面直角
15、坐标系，可知：顶点B(9， 12)，抛物线经过原点，则设抛物线的式为 ，再把原点坐标代入即可求得结果； （ 3）由（ 1）知 C（ 12， 0），易求得 ，从而得到点 A的坐标，再代入（ 2）中的函数关系式即可判断 . （ 1）由题意得 PC的长为 12m； （ 2）以 P为原点， PC所在直线为 x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 可知：顶点 B(9， 12)，抛物线经过原点 设抛物线的式为 ，解得 ； （ 3）由（ 1）知 C（ 12， 0），易求得 当 x=12时， 小明不能一杆把高尔夫球从 P点直接打入球洞 A. 考点：二次函数的应用 点评：解答本题的关键是读懂题意，正确画出图形，注意
16、当明确了图象的顶点时，二次函数关系式一半设成顶点式 . 阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图 1，在正三角形 ABC内有一点 P，且 PA=3 ， PB=4，PC=5，求 APB的度数 . 小伟是这样思考的：如图 2，利用旋转和全等的知 识构造 ，连接 ，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决 请你回答：图 1中 APB的度数等于 . 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： （ 1）如图 3，在正方形 ABCD内有一点 P，且 PA= ， PB=1， PD= ，则 APB的度数等于 ，正方形的边长为 ； （ 2）如图 4，在正六边形 ABCDEF内有一点 P，且 PA= ， PB=1，
17、 PF= ，则 APB的度数等于 ，正六边形的边长为 答案： ；（ 1） 135， ；（ 2） 120， 试题分析：根据旋转的性质结合勾股定理的逆定理，等边三角形的判定和性质即可得到结果； （ 1）参照题目给出的解题思路，可将 ABP绕点 A逆时针旋转 90，得到 A DP，根据旋转的性质知： ABP A DP，进而可判断出 APP是等腰直角三角形，可得 A PP=45；然后得到 DPP是直角三角形，即可求得结果； （ 2）方法同（ 2），再结合正六边形的性质即可求得结果 由题意得 APP是等边三角形，则 A PC=60 CPP是直角三角形 CPP=90 APC=150 APB=150； （
18、1）将 ABP绕点 A逆时针旋转 90，得到 A DP， 由题得 ABP A DP， APP是等腰直角三角形， APP=45 DPP是直角三角形， DPP=90 DPA=135 APB=135，正方形的边长为 ； （ 2）方法同（ 2）， APB的度数等于 120，正六边形的边长为 考点：勾股定理，正方形的性质，旋转的性质 点评：解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等 在矩形 ABCD中，点 O在对角线 BD上，以 OD为半径的 O与 AD、 BD分别交于点 E、F，且 ABE= DBC. （ 1）求证：
19、 BE与 O相切； （ 2）若 ， CD=2，求 O的半径 . 答案：（ 1）连接 OE，根据矩形的性质可得 AD BC， C= A=90，即可得到 3= DBC， ABE+ 1=90，再结合 OD=OE， ABE= DBC可得 2= 3= ABE，从而可以证得结论；（ 2） 试题分析：（ 1）连接 OE，根据矩形的性质可得 AD BC， C= A=90，即可得到 3= DBC， ABE+ 1=90，再结合 OD=OE， ABE= DBC可得 2= 3=ABE，从而可以证得结论； （ 2）由 ABE = DBC可得 ，即可求得 DB的长，再根据勾股定理求得 DE的长， 连接 EF，根据圆周角定
20、理可得 DEF= A=90， 再证得 ，根据相似三角形的性质即可求得结果 . （ 1）连接 OE 四边形 ABCD是矩形 AD BC， C= A=90 3= DBC， ABE+ 1=90 OD=OE， ABE= DBC 2= 3= ABE 2+ 1=90 BEO=90 点 E在 O上 BE与 O相切； （ 2） ABE = DBC DC=2， C=90 DB=6 A=90 BE=3AE AB=CD=2 利用勾股定理，得 ， 连接 EF DF是 O的直径， DEF= A=90 AB EF O的半径为 . 考点：矩形的性质，切线的判定，正弦，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质 点评：解答
21、本题的关键是熟练掌握切线垂直于 经过切点的半径；相似三角形的对应边成比例，注意对应字母在对应位置上 . 如图，在 RtABC中， CAB=90， AD是 CAB的平分线， tanB= ，求 的值 答案： 试题分析：过点 D作 .先根据角平分线的性质求得 1的度数，再结合可得 DE AC， 2=45 ，即可得到 DE=AE， ，再根据三角函数的定义即可求得结果 . 过点 D作 . BAC=90， AD平分 CAB 1= CAB=45 DE AC， 2=45 DE=AE， . 考点：角平分线的性质，等腰三角形的判定，平行线的判定和性质，三角函数的定义 点评：本题知识点较多，读懂题意，正确作出辅助线
22、是解题的关键 . 如图， AB为 O的直径，直线 DT切 O于 T， AD DT于 D，交 O于点 C， AC=2，DT = ，求 ABT的度数 . 答案： 试题分析：连接 OT、 BC，相交于点 E，根据切线的性质可得 OTD=90，再根据圆周角定理结合 AD DT可证得四边形 CDTE是矩形，即可得到 CET=90，根据垂径定理可得 ，从而可得 ABC=30，再结合OB=OT可得 OBT为等边三角形，从而可以求得结果 连接 OT、 BC，相交于点 E 直线 DT切 O于 T OTD = 90 AD DT于 D ADT = 90 AB为 O的直径 ACB = 90 DCB = 90 四边形
23、CDTE是矩形 CET=90， . ABC=30 BOT=60 OB=OT OBT为等边三角形 ABT=60 考点：切线的性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质 点评：解答本题的关键是熟练掌握切线垂直于经过切点的半径，直径所对是圆周角是直角，有一个角是 60的等腰三角形的等边三角形 . 二次函数 的图象与 轴的一个交点为 A ，另一个交点为 B，与轴交于点 C. （ 1）求 的值及点 B、点 C的坐标； （ 2）直接写出当 时， 的取值范围； （ 3）直接写出当 时， 的取值范围 答案：（ 1） B(-1， 0)， C(0， 3)；（ 2） ；（ 3） 0y4 试
24、题分析：（ 1）由题意把 A 代入二次函数 即可求得 m的值，从而可以求得结果； （ 2）根据二次函数的图象的开口方向及与 轴的交点坐标即可判断； （ 3）分别求出 与 时对应的 y值，再结合函数图象的顶点坐标即可得到结果 . （ 1）由题意得： 0=-9+6+m，解得 m=3 当 时， ，解得 或 ；当 时， 抛物线与 x轴的另一交点 B(-1， 0)，与 y轴交点 C(0， 3)； （ 2）当 时， ； （ 3）当 -1x2时， 0y4. 考点：二次函数的性质 点评：解答本题的关键是熟练掌握 x轴上的点的纵坐标为 0， y轴上的点的横坐标为 0. 如图，甲、乙用 4张扑克牌玩游戏，他俩将扑
25、克牌洗匀后背面朝上，放置在桌面上，每人抽一张，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回 .甲、乙约定：只有甲抽到的牌面数字比乙大时甲胜；否则乙胜 . 请你用树状图或列表法说明甲、乙获胜的机会是否 相同 . 答案：不相同 试题分析：先画出树状图列举出所有情况，再分别算出甲、乙获胜的概率，比较即可判断 . 甲、乙获胜的机会不相同 . 考点：可能性大小的判断 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握概率的求法，即可完成 . 如图， ABC的顶点在格点上，且点 A（ -5， -1），点 C（ -1， -2） . （ 1）以原点 O为旋转中心，将 ABC绕点 O逆时针旋转 90得到 . 请在图中画出 ，并写出点
26、 A的对称点 的坐标； （ 2）以原点 O为位似中心，位似比为 2，在第一象限内将 ABC放大，画出放大后的图形 . 答案：（ 1）点 坐标为（ 1， -5）；（ 2）如图所示： 试题分析：（ 1）分别作出 OAB的各个顶点绕点 O逆时针旋转 90的对应点，再顺次连接即可； （ 2）根据位似图形的作法即可得到结果 . （ 1）如图所示，点 坐标为 （ 1， -5）； （ 2）如图所示： 考点：基本作图 点评：解答本题的关键是熟练掌握几种基本变换的作图方法，找准关键点的对应点 . 已知二次函 数 的图象与 x轴有交点，求 k的取值范围 . 答案： 且 试题分析：由题意可得 ，再结合二次项系数不为
27、 0即可求得结果 . 由题意得 ，解得 且 考 点：二次函数的性质 点评：解答本题的关键是熟练掌握当 时，二次函数的图象与 x轴有两个交点；当 时，二次函数的图象与 x轴只有一个交点；当时，二次函数的图象与 x轴没有交点。 如图，小聪用一块有一个锐角为 的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距 米，小聪身高 AB为 1.7米，求这棵树的高度 . 答案： 米 试题分析：先根据 CAD的正切函数求得 CD的长，再加上小聪的身高即可得到结果 . 由题意得 答：这棵树的高度为 米 考点：解直角三角形的应用 点评：本题属于基础 应用题，只需学生熟练掌握特殊角的锐角三角函数值，即可完成 .
28、计算： 答案： 试题分析：根据特殊角的锐角三角函数值计算即可 . 原式 = 考点：实数的运算 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握特殊角的锐角三角函数值，即可完成 . 如图，在平面直角坐标系 xOy中，二次函数图象的顶点坐标为 C（ -4， ），且在 x轴上截得的线段 AB的长为 6. （ 1）求二次函数的式； （ 2）在 y轴上确定一点 M，使 MA+MC的值最小，求出点 M的坐标； （ 3）在 x轴下方的抛物线上，是否存在点 N，使得以 N、 A、 B三点为顶点的三角形与 ABC相似？如果存在，求出点 N的坐标；如果不存在，请说明理由 . 答案：（ 1） ；（ 2） (0， )；（
29、3）（ 2， ）或（ -10， ) 试题分析：（ 1）先由抛物线的顶点坐标得到抛物线的对称轴，再根据抛物线在 x轴上截得的线段 AB的长为 6，即可得到 A、 B两点的坐标，从而求得结果； （ 2）作点 A关于 轴的对称点 ，可得 （ 1， 0），连接 C交 轴于一点即点 M，此时 MC+MA的值最小，设直线 C 的式为 (k0)，根据待定系数法求得函数关系式，即可得到结果； （ 3）由（ 1）可知， C(-4， )，设对称轴交 x轴于点 D，分 AB=AN1=6， AB=BN2， N3A=N3B，三种 情况讨论即可 . （ 1） 抛物线的顶点坐标为， 抛物线的对称轴为直线 . 抛物线在 x轴
30、上截得的线段 AB的长为 6， A(-1， 0)， B( -7， 0) 设抛物线式为 解得 二次函数的式为 ； （ 2）作点 A关于 轴的对称点 ，可得 （ 1， 0），连接 C交 轴于一点即点 M，此时 MC+MA的值最小 由作法可知， MA=M MC+MA=MC+M = C 当点 M在线段 C上时， MA+MC取得最小值 线段 C与 轴的交点即为所求点 M 设直线 C 的式为 (k0) 解得 直线 C 的式为 点 M的坐标为 (0， )； （ 3）由（ 1）可知， C(-4， )，设对称轴交 x轴于点 D AD=3 在 RtADC中， CAD=30o AC=BC ABC= CAB=30o
31、ACB=120 如果 AB=AN1=6，过 N1作 EN1 x轴于 E 由 ABC BAN1得 BAN1=120o 则 EAN1 = 60o N1E=3 ， AE=3 A(-1， 0) OE=2 点 N在 x轴下方 点 N2(2， ) 如果 AB=BN2，由对称性可知 N2(-10， ) 如果 N3A=N3B，那么点 N必在线段 AB的中垂线即抛物线的对称轴上，在 x轴下方的抛物线上不存在这样的点 N 经检验，点 N1(2， )与 N2(-10， )都在抛物线上 综上所述，存在这样的点 N，使 NAB ABC，点 N的坐标为（ 2， ）或（ -10，). 考点：二次函数的综合题 点评：解答本题的关键是读懂题意，正确画出图形，注意当明确了图象的顶点时，二次函数关系式一 半设成顶点式 .
