1、2013届北京市昌平区九年级上学期期末考试数学试卷与答案(带解析) 选择题 在 RtABC中, , , ,则 sin 的值为 A B C D 答案: B 试题分析:先根据勾股定理求得 AB的长,再根据正弦的定义即可求得结果 . , , 故选 B. 考点:勾股定理,正弦 点评:本题属于基础应用题,只需学生熟练掌握正弦的定义,即可完成 . 如图,在边长为 2的等边三角形 ABC中,以 B为圆心, AB为半径作 ,在扇形 BAC内作 O与 AB、 BC、 都相切,则 O的周长等于 A. B. C. D. 答案: C 试题分析:设切点为 M,连接 BO、 MO,则 OMB=90,根据切线的性质结合等边
2、三角形的性质可得 OBM=30,根据含 30的直角三角形的性质可得 BO=2OM,设 O的半径为 r,根据两圆 内切即可求得结果 . 设切点为 M,连接 BO、 MO,则 OMB=90 等边三角形 ABC, O与 AB、 BC、 都相切 OBM=30 BO=2OM 设 O的半径为 r,则 BO=2-r 2-r=2r,解得 则 O的周长等于 故选 C. 考点:圆和圆的位置关系,切线的性质,等边三角形的性质,含 30的直角三角形的性质 点评:设两圆的半径分 别为 R和 r,且 ,圆心距为 d:外离,则 ;外切,则 ;相交:则;内切,则 ;内含,则 如图,这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线
3、照射到圆桌后在地面上形成圆形的示意图 . 已知桌面直径为 1.2m,桌面离地面 1m. 若灯泡离地面 3m,则地面上阴影部分的面积为 A m2 B m2 C m2 D m2 答案: B 试题分析:设地面上阴影部分的半径为 xm,先根据相似三角形的性质求得 x的值,再根据圆的面积公式即可求得结果 . 设地面上阴影部分的半径为 xm,由题意得 解得 则地面上阴影部分的面积为 故选 B. 考点:相似三角形的 应用 点评:解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质:相似三角形的对应边成比例 . 将二次函数 化为 的形式,结果为 A B C D 答案: D 试题分析:化 ,再根据完全平方公式分解因式即可
4、. 故选 D. 考点: 二次函数的性质 点评:解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式: ,注意当二次项系数为 1时,常数项等于一次项系数一半的平方 . 若一个三角形三边之比为 3:5:7,与它相似的三角形的最长边的长为 21,则最短边的长为 A 15 B 10 C 9 D 3 答案: C 试题分析:设最短边的长为 x,根据相似三角形的性质即可列方程求解 . 设最短边的长为 x,由题意得 解得 故选 C. 考点:相似三角形的性质 点评:解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质:相似三角形的对应边成比例 . O1和 O2的半径分别为 3cm和 5cm,若 O1O2=8cm,则 O1和 O2的位置关系
5、是 A外切 B相交 C内切 D内含 答案: A 试题分析:设两圆的半径分别为 R和 r,且 ,圆心距为 d:外离,则 ;外切,则 ;相交:则;内切,则 ;内含,则 O1和 O2的位置关系是外切 故选 A. 考点:圆和圆的位置关系 点评:本题属于基础应用题,只需学生熟练掌握圆和圆的位置关系,即可完成 . 在不透明的布袋中装有 1个红球, 2个白球, 3个黑球,它们除颜色外完全相同,从袋中任意摸出一个球,摸出的球是红球的概率是 A B C D 答案: A 试题分析:根据红球的个数占总个数的比例即可求得结果 . 由题意得,摸出的球是红球的概率是 故选 A. 考点:概率的求法 点评:本题属于基础应用题
6、,只需学生熟练掌握概率的求法,即可完成 . 如图, O是 ABC的外接圆, A=50,则 BOC的度数为 A 40 B 50 C 80 D 100 答案: D 试题分析:圆周角定理:同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于所对圆心角的一半 . 由图可得 BOC=2 A=100 故选 D. 考点:圆周角定理 点评:本题属于基础应用题,只需学生熟练掌握圆周角定理,即可完成 . 填空题 如图,已知正方形 ABCD的边长为 8cm,点 E、 F分别在边 BC、 CD上, EAF=45. 当EF=8cm时, AEF的面积是 cm2; 当 EF=7cm时, EFC的面积是 cm2 答案:, 8 试题分析:延长
7、EB至 G,使 BG=DF,连接 AG根据正方形的性质,证得 ABG ADF, FAE GAE,即可求得 AEF的面积,从而求得 EFC的面积 . 延长 EB至 G,使 BG=DF,连接 AG 正方形 ABCD, AB=AD, ABG= ADF= BAD=90, BG=DF, ABG ADF, AG=AF, BAG= DAF EAF=45 FAE= GAE=45, AE=AE, FAE GAE, EF=EG 当 EF=8cm时, EF=EG=8cm AEF的面积 =GAE的面积 = 当 EF=7cm时, EF=EG=7cm EFC的面积 =正方形 ABCD的面积 -2AEF的面积 = 考点:旋
8、转的性质,正方形的性质,全等三角形的判定和性质,三角形的面积公式 点评:解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质:旋转前后的两个图形全等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角,对应点到旋转中心的距离相等 如图,在 ABC中, ACB= ADC=90,若 sinA= ,则 cos BCD的值为 答案: 试题分析:先根据同角的余角相等可得,再根据三角函数的定义即可求得结果 . ACB= ADC=90 A+ ACD= ACD+ BCD=90 BCD= A sin BCD=sinA= ,即 cos BCD 考点:同角的余角相等,三角函数 点评:解答本题的关键是熟练掌握正弦 ,余弦 ,同时注意三角函数值的
9、大小只与角的大小有关,与所在的三角形无关 . 当 时,二次函数 有最小值 答案: 试题分析:先配方 ,即可得到二次函数的顶点坐标,再根据抛物线的开口方向即可判断结果 . 当 时,二次函数 有最小值 考点:二次函数的性质 点评:解答本题的关键是熟练掌握二次函数 的顶点坐标为( , ) . 已知圆锥的底面半径为 3,母线长为 4,则圆锥的侧面积为 . 答案: 试题分析:圆锥形的侧面积公式:圆锥形的侧面积 底面半径 母线 . 由题意得圆锥形的侧面积 考点:圆锥形的侧面积公式 点评:本题属于基础应用题,只需学生熟练掌握圆锥形的侧面积公式,即可完成 . 解答题 如图,菱形 ABCD的边长为 48cm,
10、A=60,动点 P从点 A出发,沿着线路 AB BD做匀速运动,动点 Q从点 D同时出发,沿着线路 DC CB BA做匀速运动 . ( 1)求 BD的长; ( 2)已知动点 P、 Q运动的速度分别为 8cm/s、 10cm/s. 经过 12秒后, P、 Q分别到达M、 N两点,若按角的大小进行分类,请问 AMN是哪一类三角形,并说明理由; ( 3)设问题( 2)中的动点 P、 Q分别从 M、 N同时沿原路返回,动点 P的速度不变,动点 Q的速度改变为 cm/s,经过 3秒后, P、 Q分别到达 E、 F两点,若 BEF与问题( 2)中的 AMN相似,试求 的值 . 答案:( 1) 48cm;(
11、 2)直角三角形;( 3) 4或 12或 24 试题分析:( 1)根据菱形的性质结合 可得 ABD是等边三角形,即可求得结果; ( 2)先分别求得 12秒后点 P和点 Q到达的位置,连结 MN,由( 1)知 ABD( M)是等边三角形,根据等边三角形即可得到结果; ( 3)依题意得, 3秒时点 P走过的路程为 24cm,点 Q走过的路程为 3 cm,分当点 Q在 NB上时,当点 Q在 BC上时,当点 Q与点 C重合时,三种情况,结合菱形的性质进行分析即可 . ( 1) 四边形 ABCD是菱形 AB=BC=CD=AD=48 又 ABD是等边三角形 BD=AB=48 BD的长为 48cm; ( 2
12、)如图 1, 12秒后,点 P走过的路程为 812=96 12秒后点 P到达点 D( M) 又 12秒后,点 Q走过的路程为 1012=120 12秒后点 Q到达 AB的中点 N 连结 MN,由( 1)知 ABD( M)是等边三角形 MN AB于点 N AMN是直角三角形; ( 3)依题意得, 3秒时点 P走过的路程为 24cm,点 Q走过的路程为 3 cm 点 E是 BD的中点 DE=BE=24 当点 Q在 NB上时(如图 1), 点 E是 BD的中点 若 EF1 DB,则点 F1与点 A重合,这种情况不成立 EF1 AB时, EF1B= ANM = 90 由( 1)知 ABD = A =
13、60 EF1B MAN , 如图 2,由菱形的轴对称性,当点 Q在 BC上时, 点 Q走过的路程为 36cm 如图 3,当点 Q与点 C重合时,即点 F与点 C重合 由( 1)知, BCD是等边三角形 EF3 BD于点 E, EBF3= A=60 F3EB MNA 此时 BF3=48 点 Q走过的路程为 72cm 综上所述,若 BEF ANM ,则 的值为 4cm/s或 12cm/s或 24cm/s. 考点:菱形的性质,等边三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质 点评:解答本题的关键是熟练掌握菱形的四条边均相等;相似三角形的对应边成比例,注意对应字母在对应位置上 . 如图,小明在一次高尔夫
14、球训练中,从山坡下 P点打出一球向球洞 A点飞去,球的飞行路线为抛物线,如果不考虑空气阻力,当球 达到最大高度 BD为 12米时,球移动的水平距离 PD为 9米 已知山坡 PA与水平方向 PC的夹角为 30o, AC PC于点 C, P、A两点相距 米请你建立适当的平面直角坐标系解决下列问题 . ( 1)求水平距离 PC的长; ( 2)求出球的飞行路线所在抛物线的式; ( 3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从 P点直接打入球洞 A 答案:( 1) 12m;( 2) ;( 3)不能 试题分析:( 1)由题意得 ,由 即可求得结果; ( 2)以 P为原点, PC所在直线为 x轴建立如图所示的平面直角
15、坐标系,可知:顶点B(9, 12),抛物线经过原点,则设抛物线的式为 ,再把原点坐标代入即可求得结果; ( 3)由( 1)知 C( 12, 0),易求得 ,从而得到点 A的坐标,再代入( 2)中的函数关系式即可判断 . ( 1)由题意得 PC的长为 12m; ( 2)以 P为原点, PC所在直线为 x轴建立如图所示的平面直角坐标系, 可知:顶点 B(9, 12),抛物线经过原点 设抛物线的式为 ,解得 ; ( 3)由( 1)知 C( 12, 0),易求得 当 x=12时, 小明不能一杆把高尔夫球从 P点直接打入球洞 A. 考点:二次函数的应用 点评:解答本题的关键是读懂题意,正确画出图形,注意
16、当明确了图象的顶点时,二次函数关系式一半设成顶点式 . 阅读下面材料: 小伟遇到这样一个问题:如图 1,在正三角形 ABC内有一点 P,且 PA=3 , PB=4,PC=5,求 APB的度数 . 小伟是这样思考的:如图 2,利用旋转和全等的知 识构造 ,连接 ,得到两个特殊的三角形,从而将问题解决 请你回答:图 1中 APB的度数等于 . 参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题: ( 1)如图 3,在正方形 ABCD内有一点 P,且 PA= , PB=1, PD= ,则 APB的度数等于 ,正方形的边长为 ; ( 2)如图 4,在正六边形 ABCDEF内有一点 P,且 PA= , PB=1,
17、 PF= ,则 APB的度数等于 ,正六边形的边长为 答案: ;( 1) 135, ;( 2) 120, 试题分析:根据旋转的性质结合勾股定理的逆定理,等边三角形的判定和性质即可得到结果; ( 1)参照题目给出的解题思路,可将 ABP绕点 A逆时针旋转 90,得到 A DP,根据旋转的性质知: ABP A DP,进而可判断出 APP是等腰直角三角形,可得 A PP=45;然后得到 DPP是直角三角形,即可求得结果; ( 2)方法同( 2),再结合正六边形的性质即可求得结果 由题意得 APP是等边三角形,则 A PC=60 CPP是直角三角形 CPP=90 APC=150 APB=150; (
18、1)将 ABP绕点 A逆时针旋转 90,得到 A DP, 由题得 ABP A DP, APP是等腰直角三角形, APP=45 DPP是直角三角形, DPP=90 DPA=135 APB=135,正方形的边长为 ; ( 2)方法同( 2), APB的度数等于 120,正六边形的边长为 考点:勾股定理,正方形的性质,旋转的性质 点评:解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质:旋转前后的两个图形全等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角,对应点到旋转中心的距离相等 在矩形 ABCD中,点 O在对角线 BD上,以 OD为半径的 O与 AD、 BD分别交于点 E、F,且 ABE= DBC. ( 1)求证:
19、 BE与 O相切; ( 2)若 , CD=2,求 O的半径 . 答案:( 1)连接 OE,根据矩形的性质可得 AD BC, C= A=90,即可得到 3= DBC, ABE+ 1=90,再结合 OD=OE, ABE= DBC可得 2= 3= ABE,从而可以证得结论;( 2) 试题分析:( 1)连接 OE,根据矩形的性质可得 AD BC, C= A=90,即可得到 3= DBC, ABE+ 1=90,再结合 OD=OE, ABE= DBC可得 2= 3=ABE,从而可以证得结论; ( 2)由 ABE = DBC可得 ,即可求得 DB的长,再根据勾股定理求得 DE的长, 连接 EF,根据圆周角定
20、理可得 DEF= A=90, 再证得 ,根据相似三角形的性质即可求得结果 . ( 1)连接 OE 四边形 ABCD是矩形 AD BC, C= A=90 3= DBC, ABE+ 1=90 OD=OE, ABE= DBC 2= 3= ABE 2+ 1=90 BEO=90 点 E在 O上 BE与 O相切; ( 2) ABE = DBC DC=2, C=90 DB=6 A=90 BE=3AE AB=CD=2 利用勾股定理,得 , 连接 EF DF是 O的直径, DEF= A=90 AB EF O的半径为 . 考点:矩形的性质,切线的判定,正弦,勾股定理,圆周角定理,相似三角形的判定和性质 点评:解答
21、本题的关键是熟练掌握切线垂直于 经过切点的半径;相似三角形的对应边成比例,注意对应字母在对应位置上 . 如图,在 RtABC中, CAB=90, AD是 CAB的平分线, tanB= ,求 的值 答案: 试题分析:过点 D作 .先根据角平分线的性质求得 1的度数,再结合可得 DE AC, 2=45 ,即可得到 DE=AE, ,再根据三角函数的定义即可求得结果 . 过点 D作 . BAC=90, AD平分 CAB 1= CAB=45 DE AC, 2=45 DE=AE, . 考点:角平分线的性质,等腰三角形的判定,平行线的判定和性质,三角函数的定义 点评:本题知识点较多,读懂题意,正确作出辅助线
22、是解题的关键 . 如图, AB为 O的直径,直线 DT切 O于 T, AD DT于 D,交 O于点 C, AC=2,DT = ,求 ABT的度数 . 答案: 试题分析:连接 OT、 BC,相交于点 E,根据切线的性质可得 OTD=90,再根据圆周角定理结合 AD DT可证得四边形 CDTE是矩形,即可得到 CET=90,根据垂径定理可得 ,从而可得 ABC=30,再结合OB=OT可得 OBT为等边三角形,从而可以求得结果 连接 OT、 BC,相交于点 E 直线 DT切 O于 T OTD = 90 AD DT于 D ADT = 90 AB为 O的直径 ACB = 90 DCB = 90 四边形
23、CDTE是矩形 CET=90, . ABC=30 BOT=60 OB=OT OBT为等边三角形 ABT=60 考点:切线的性质,圆周角定理,矩形的判定和性质,垂径定理,等边三角形的判定和性质 点评:解答本题的关键是熟练掌握切线垂直于经过切点的半径,直径所对是圆周角是直角,有一个角是 60的等腰三角形的等边三角形 . 二次函数 的图象与 轴的一个交点为 A ,另一个交点为 B,与轴交于点 C. ( 1)求 的值及点 B、点 C的坐标; ( 2)直接写出当 时, 的取值范围; ( 3)直接写出当 时, 的取值范围 答案:( 1) B(-1, 0), C(0, 3);( 2) ;( 3) 0y4 试
24、题分析:( 1)由题意把 A 代入二次函数 即可求得 m的值,从而可以求得结果; ( 2)根据二次函数的图象的开口方向及与 轴的交点坐标即可判断; ( 3)分别求出 与 时对应的 y值,再结合函数图象的顶点坐标即可得到结果 . ( 1)由题意得: 0=-9+6+m,解得 m=3 当 时, ,解得 或 ;当 时, 抛物线与 x轴的另一交点 B(-1, 0),与 y轴交点 C(0, 3); ( 2)当 时, ; ( 3)当 -1x2时, 0y4. 考点:二次函数的性质 点评:解答本题的关键是熟练掌握 x轴上的点的纵坐标为 0, y轴上的点的横坐标为 0. 如图,甲、乙用 4张扑克牌玩游戏,他俩将扑
25、克牌洗匀后背面朝上,放置在桌面上,每人抽一张,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回 .甲、乙约定:只有甲抽到的牌面数字比乙大时甲胜;否则乙胜 . 请你用树状图或列表法说明甲、乙获胜的机会是否 相同 . 答案:不相同 试题分析:先画出树状图列举出所有情况,再分别算出甲、乙获胜的概率,比较即可判断 . 甲、乙获胜的机会不相同 . 考点:可能性大小的判断 点评:本题属于基础应用题,只需学生熟练掌握概率的求法,即可完成 . 如图, ABC的顶点在格点上,且点 A( -5, -1),点 C( -1, -2) . ( 1)以原点 O为旋转中心,将 ABC绕点 O逆时针旋转 90得到 . 请在图中画出 ,并写出点
26、 A的对称点 的坐标; ( 2)以原点 O为位似中心,位似比为 2,在第一象限内将 ABC放大,画出放大后的图形 . 答案:( 1)点 坐标为( 1, -5);( 2)如图所示: 试题分析:( 1)分别作出 OAB的各个顶点绕点 O逆时针旋转 90的对应点,再顺次连接即可; ( 2)根据位似图形的作法即可得到结果 . ( 1)如图所示,点 坐标为 ( 1, -5); ( 2)如图所示: 考点:基本作图 点评:解答本题的关键是熟练掌握几种基本变换的作图方法,找准关键点的对应点 . 已知二次函 数 的图象与 x轴有交点,求 k的取值范围 . 答案: 且 试题分析:由题意可得 ,再结合二次项系数不为
27、 0即可求得结果 . 由题意得 ,解得 且 考 点:二次函数的性质 点评:解答本题的关键是熟练掌握当 时,二次函数的图象与 x轴有两个交点;当 时,二次函数的图象与 x轴只有一个交点;当时,二次函数的图象与 x轴没有交点。 如图,小聪用一块有一个锐角为 的直角三角板测量树高,已知小聪和树都与地面垂直,且相距 米,小聪身高 AB为 1.7米,求这棵树的高度 . 答案: 米 试题分析:先根据 CAD的正切函数求得 CD的长,再加上小聪的身高即可得到结果 . 由题意得 答:这棵树的高度为 米 考点:解直角三角形的应用 点评:本题属于基础 应用题,只需学生熟练掌握特殊角的锐角三角函数值,即可完成 .
28、计算: 答案: 试题分析:根据特殊角的锐角三角函数值计算即可 . 原式 = 考点:实数的运算 点评:本题属于基础应用题,只需学生熟练掌握特殊角的锐角三角函数值,即可完成 . 如图,在平面直角坐标系 xOy中,二次函数图象的顶点坐标为 C( -4, ),且在 x轴上截得的线段 AB的长为 6. ( 1)求二次函数的式; ( 2)在 y轴上确定一点 M,使 MA+MC的值最小,求出点 M的坐标; ( 3)在 x轴下方的抛物线上,是否存在点 N,使得以 N、 A、 B三点为顶点的三角形与 ABC相似?如果存在,求出点 N的坐标;如果不存在,请说明理由 . 答案:( 1) ;( 2) (0, );(
29、3)( 2, )或( -10, ) 试题分析:( 1)先由抛物线的顶点坐标得到抛物线的对称轴,再根据抛物线在 x轴上截得的线段 AB的长为 6,即可得到 A、 B两点的坐标,从而求得结果; ( 2)作点 A关于 轴的对称点 ,可得 ( 1, 0),连接 C交 轴于一点即点 M,此时 MC+MA的值最小,设直线 C 的式为 (k0),根据待定系数法求得函数关系式,即可得到结果; ( 3)由( 1)可知, C(-4, ),设对称轴交 x轴于点 D,分 AB=AN1=6, AB=BN2, N3A=N3B,三种 情况讨论即可 . ( 1) 抛物线的顶点坐标为, 抛物线的对称轴为直线 . 抛物线在 x轴
30、上截得的线段 AB的长为 6, A(-1, 0), B( -7, 0) 设抛物线式为 解得 二次函数的式为 ; ( 2)作点 A关于 轴的对称点 ,可得 ( 1, 0),连接 C交 轴于一点即点 M,此时 MC+MA的值最小 由作法可知, MA=M MC+MA=MC+M = C 当点 M在线段 C上时, MA+MC取得最小值 线段 C与 轴的交点即为所求点 M 设直线 C 的式为 (k0) 解得 直线 C 的式为 点 M的坐标为 (0, ); ( 3)由( 1)可知, C(-4, ),设对称轴交 x轴于点 D AD=3 在 RtADC中, CAD=30o AC=BC ABC= CAB=30o
31、ACB=120 如果 AB=AN1=6,过 N1作 EN1 x轴于 E 由 ABC BAN1得 BAN1=120o 则 EAN1 = 60o N1E=3 , AE=3 A(-1, 0) OE=2 点 N在 x轴下方 点 N2(2, ) 如果 AB=BN2,由对称性可知 N2(-10, ) 如果 N3A=N3B,那么点 N必在线段 AB的中垂线即抛物线的对称轴上,在 x轴下方的抛物线上不存在这样的点 N 经检验,点 N1(2, )与 N2(-10, )都在抛物线上 综上所述,存在这样的点 N,使 NAB ABC,点 N的坐标为( 2, )或( -10,). 考点:二次函数的综合题 点评:解答本题的关键是读懂题意,正确画出图形,注意当明确了图象的顶点时,二次函数关系式一 半设成顶点式 .