1、2013届北京广安中学初三第一学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 下列函数中是二次函数的是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： 整理一般形式后，根据二次函数的定义判定即可 A是二次函数 B是一次函数 C是反比例函数 D不是二次函数 故选 A 考点：二次函数的定义 点评：二次函数的基本形式是考察点 函数 y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么关于 x的方程 ax2+bx+c-4=0的根的情况是 ( ) A有两个不相等的实数根 B有两个异号的实数根 C有两个相等的实数根 D没有实数根 答案： D 试题分析：二次函数 y=ax2+bx+c对应的方程为： ax2+bx+c=0，方
2、程 ax2+bx+c-4=0对于的二次函数为 y=ax2+bx+c-4则此第一方程对于的二次函数向下移动 4个单位即可得到第二个方程对于的函数图象根据函数图象与 x轴的交点数判断对应方程根的个数将二次函数 y=ax2+bx+c的图象向下移动 4个单位得方程ax2+bx+c-4=0对应的二次函数图象，分析题干中的图象可知：当其向下移动 4个单位时，图象与 x轴有无交点则方程没有实根故选 D 考点：二次函数图像的平移 点评：此类试题属于数形结合类题目，考生在解答时要注意图形的下移等基本知识 如图， A、 B、 C三点在正方形网格线的交点处，若将 ACB绕着点 A逆时针旋转得到 ACB，则 tanB
3、的值为 A B C D 答案： B 试题分析：因为 C到 AB的距离就是一个格子的距离 .设一个格子长度为 1（过C作 CD AB于 D）。 CD=1。 DB=3， tanB= 故选 B 考点：三角函数的值 点评：此类试题属于难度一般的试题，考生把格子的一段距离当做固定的一个单位长度就可以。 已知二次函数 的图象和 x轴有交点，则 k的取值范围是 （ ） A k B k C k 且 k0 D k 且 k0 答案： C 试题分析：二次函数和各轴的交点进而判断取值范围。 二次函数和 x轴有交点，所以 y=0时 和 x轴有根 故 故 k 且 k0 故选 C 考点：二次函数的根 点评：此类试题属于难度
4、一般的试题，只需考生把根的判别式求出判断即可 将抛物线 y=2x 向左平移 1个单位，再向上平移 3个单位得到的抛物线，其表达式为（ ） A y=2（ x 1） 3 B y=2（ x-1） -3 C y=2（ x 1） -3 D y=2（ x-1） 3 答案： A 试题分析：平移的基本规律是：上加下减 故抛物线左移得到的新图像是 图形上移得到的是 y=2（ x 1） 3 故选 A 考点：抛物线的平移 点评：平移的基本知识是考察的重点，平移的基本规律是：上加下减 已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图，则 a、 b、 c满足（ ） A a 0， b 0， c 0； B a 0， b 0，
5、c 0； C a 0， b 0， c 0； D a 0， b 0， c 0。 答案： A 试题分析：由题意知，二次函数图形分析 ，且当 x=0时 当 x= 时， 所以 故 a 0， b 0， c 0 故选 A 考点：二次函数图形分析 点评：二次函数图形的基本分析是常考点，考生要把握好二次函数的基本图形概括 如图 ,在 Rt ABC中 , C为直角 ,CD AB于 D,已知 AC=4,AB=5,则tan BCD等于 ( ). A B C D 答案： A 试题分析： 易证 BCD= A，则求 tan BCD的值就可以转化为求 A的三角函数值从而转化为求 ABC的边长的比由勾股定理得， BC=3由同
6、角的余角相等知， BCD= A， tan BCD=tan A= ，故选 A 考点：三角函数的定义，勾股定理 点评：勾股定理，三角函数的定义以及三角函数值与角的大小的关系 已知扇形的圆心角为 120，半径为 6cm，则扇形的面积为（ ） A 12cm2 B 36cm2 C cm2 D 36cm2 答案： C 试题分析：根据扇形的面积 S= 进行计算即可 r=6cm， n=120，根据扇形的面积公式 S= 得 S 扇 = =12（ cm2）故答案：为： 12故选 C 考点：扇形面积的计算 点评：本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题关键 把二次函数 配方成顶点式为（ ） A B C D
7、答案： B 试题分析： 化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式 故答案：是 y= 故选 B 考点：二次函数式的形式 点评：二次函数式的形式有三种， 一般式即： 顶点式： y=a（ x-h） 2+k； 交点式（与 x轴）： y=a（ x-x1）（ x-x2） 在 Rt ABC中 , C为直角 ,sinA= ,则 cosB的值是 ( ). A B C 1 D答案： D 试题分析：因为三角形 ABC是直角三角形且 的正弦值是 , 所以 =45 故 cosB= 考点：直角三角形特殊角的三角函数值 点评：直角三角形特殊角的三角函数值是常
8、考点，其中， 45， 60,30是需要牢记的 填空题 已知二次函数 与一次函数 的图像相交于点A(-2,4),B(8,2)。如图所示，则能使 成立的 x的取值范围是 。 答案： x -2或 x 8 试题分析：先观察图象确定抛物线 y1=ax2+bx+c和一次函数 y2=kx+m（ k0）的交点的横坐标，即可求出 y1 y2时， x的取值范围由图形可以看出：抛物线y1=ax2+bx+c和一次函数 y2=kx+m（ k0）的交点横坐标分别为 -2， 8，当 y1 y2时， x的取值范围正好在两交点之外，即 x -2或 x 8 考点：数图结合 点评：此类试题的解法就是通过图形分析得出所要求的未知数的
9、取值范围 如图，已知梯形 ABCD中， AD BC， B=30， C=60， AD=4， AB=，则下底 BC的长为 _ 答案： 试题分析：过 A,D分别作 于 E点， 于 F点 在三角形 AEB中， BE=AB cos30=4.5 在三角形 DFC中， CF= 所以 BC=CF+BE+AD=10 考点：特殊角三角函数 点评：此类试题的解答主要是图形的构造，进而利用特殊角的三角函数值求解计算 已知二次函数 的对称轴为 ，则 答案： -4 试题分析：二次函数的对称轴在其顶点坐标上，所以求出该二次函数的顶点就可以解答出本题。 该二次函数的顶点坐标的横轴坐标是： ，本题中， a=1， b=b 所以
10、故 考点：二次函数的顶点坐标 点评：此类试题的解答只需考生把二次函数的顶点坐标和题目中的已知条件结合即可求出 某人沿着坡度 i=1: 的山坡走了 50米，则他离地面 米高。 答案： 试题分析：利用相应的坡度求得坡角，然后运用三角函数求垂直高度 坡度i= 坡角 =30 他离地面的高度 =50sin30=25（米） 考点：三角函数的应用 点评：特殊角的三角函数是考生要牢记的基本知识，考生要学会常见角的三角函数 若弧长为的弧所对的圆心角为 60，则这条弧所在圆的半径为 。 答案： 试题分析：弧长的基本公式是： 因为弧长为 6 所以 ，所以 r=18 考点：弧长公式 点评：弧长的公式的应用和圆锥等图形
11、面积的求法是常考点，考生要熟记这几类基本公式 二次函数 y=2（ x-5） 2 +1图象的顶点是 。 答案：（ 5， 1） 试题分析：二次函数的顶点式： y=a（ x-h） 2+k 故该二次函数的顶点是（ 5,1） 考点：二次函数的式 点评：二次函数的式有三种形式：（ 1）一般式： y=ax2+bx+c（ a0， a、 b、 c为常数）；（ 2）顶点式： y=a（ x-h） 2+k；（ 3）交点式（与 x轴）： y=a（ x-x1）（ x-x2） 解答题 如图， ABC的高 AD=4， BC=8,MNPQ是 ABC中任意一个内接矩形 （ 1）设 MN=x， MQ=y,求 y关于 x的函数式；
12、（ 2）设 MN=x,矩形 MNPQ的面积为 s，求 s与 x的函数关系式，并求出当 MN为多大时，矩形 MNPQ面积 s有最大值，最大值为多少？ 答案：（ 1） y=- x+4 (2)s=- x2+4x,MN=4时，最大值为 8 试题分析： （ 1） MN/BC, 所以： 故， 故 y=- x+4 （ 2） S= 故， MN=4时，最大值为 8 考点：相似三角形，二次函数 点评：相似三角形的判定以及二次函数的应用是常考点，需要考生对次熟练把握 如图，在 Rt ABC 中， C=90， sinB= ， D在 BC 边上，且 ADC=45，AC=5。 求 BAD的正切值。 答案： 试题分析： C
13、=90, ADC=45, AC=5, AC=CD=5， AD= SinB= , AB=AC/(SinB)=13, C=90, CD=5, BC=12, BD=7, 过 B 作 BE AD交 AD的延长线于 E ， BDE= ADC=45, BE=DE= ， AE=AD+DE=7 ， tan = 考点：三角函数的值 点评：此类试题属于难度较小的试题，需要考生把各类知识点熟练把握即可 如图，已知 AB=CD, 对角线 平分 ， AD=5， .求： BC的长 . 答案： 试题分析： 由 AD/BC, 所以 所以， AD=CD 所以 AB=5 作， AE垂直 BC于 E,DF垂直 BC于 F 所以，
14、BC=BE+AD+CF BC=2BE+5 在 ABE中， 故 BE=3 故 BC=11 考点：特殊角的三角函数值 点评：此类试题只需转换即可求解作答，其中对下面线段的切割是考察的重点 如图，抛物线 经过点 A(1,0)，与 y轴交于点 B。 （ 1）求抛物线的式； （ 2） P是 y轴上一点，且 PAB是以 AB为腰的等腰三角形，请直接写出 P点坐标。 答案：（ 1） y=-x2+5x-4 (2)(0,4) (0, -4) (0, - -4) 试题分析： 抛物线 y=x2+5x+n经过 A(1， 0)， 得： -1+5+n=0, n=-4 抛物线的式： y=x2+5x-4 由抛物线式得： B(
15、0， -4)， OA=1， OB=4， 由勾股定理得： AB= ， 若 PAB是以 AB为腰的等腰三角形，且 P在 y轴的正半轴， 若 AP=AB， 则 OP=OB=4， P1（ 0， 4） 若 PB=BA， 则 PB= ， OP=PB-OB= -4， P2（ 0， -4）， 综上所述： P1(0， 4)， P2(0， -4) 考点：函数式 点评：二次函数的式有三种形式：（ 1）一般式： y=ax2+bx+c（ a0， a、 b、 c为常数）；（ 2）顶点式： y=a（ x-h） 2+k；（ 3）交点式（与 x轴）： y=a（ x-x1）（ x-x2） 如图，在气象站台 A的正西方向 的 B处
16、有一台风中心，该台风中心以每小时 的速度沿北偏东 的 BD方向移动，在距离台风中心 内的地方都要受到其影响。 台风中心在移动过程中，与气象台 A的最短距离是多少？ 台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台多长时间？ 答案：（ 1） 120km (2)5小时 试题分析： （ 1）如图，过 A作 AE DB于 E，由题意知， ABE=30，又因为AB=240km，故 AE= AB=120（ km），故台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是 120km （ 2）连接 AC， AD，则 AC=AD=130km，由勾股定理得： CE= 由垂经定理得： CE=DE，故 CD=10
17、0km， 10020=5（小时） 答：台风影响气象台的时间会持续 5小时 考点：勾股定理，垂径定 理 点评：勾股定理和垂径定理的混合运用是常考点 已知：如图，二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x轴交于 A、 B两点，其中 A点坐标为 (-1， 0)，点 C(0， 5)，另抛物线经过点 (1， 8)， M为它的顶点 . (1)求抛物线的式； (2)求 MCB的面积 S MCB. 答案：（ 1） y=-x2+4x+5 (2) S MCB.=15 试题分析： （ 1）将 A ， C ， D点带入方程得到 a-b+c=0,c=5,a+b+c=8得到 a=-1 b=4 c=5 故 y=-x2+4x
18、+5 （ 2）该二次函数的顶点式是故 M（ 2,9） 当 y=0时， x=-1,5 故 B（ 5,0） 设过 M,C点的一次函数式 y=ax+b 带入分析可知 y=2x+5 所以点 B到该直线的距离是： 故 S=15 考点：二次函数式和点到直线的距离 点评：二次函数的式有三种形式：（ 1）一般式： y=ax2+bx+c（ a0， a、 b、 c为常数）；（ 2）顶点式： y=a（ x-h） 2+k；（ 3）交点式（与 x轴）： y=a（ x-x1）（ x-x2） 已知二次函数 的图象过点（ -1， 15）， 求 m的值； 若二次函数图象上有一点 C，图象与 x轴交于 A、 B两点，且 =3，求
19、点 C的 坐标。 答案：（ 1） m=8 (2) (1,3) (5,3) 试题分析： 该二次函数过点（ -1， 15），故当 x=-1时， y=1+m-2+m=15 故 m=8 由题知 y= ，当 y=0时， x=3,4 由于 =3，故 C点的纵坐标是 3 故 y=3时， 故 C的坐标是 (1,3) (5,3) 考点：二次函数的求法 点评：二次函数的求法和二次函数图形的分析 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 BC=10米，坝高 BE=CF=30米，斜坡 AB的坡角 A=30，斜坡 CD的坡度 =1:3，求坝底宽 AD的长 .（结果保留根号） 答案： +30 试题分析： 由图形和题意分析得知
20、 AD=AE+EF+DF 其中， BC=EF 在直角 ,tan30= = 故 AE= 在直角 中 =90 故 AD=100+30 考点：特殊三角函数的值 点评：此类试题属于难度较大的试题，牵涉到角的化简和运用 已知函数图象如图所示，根据图象可得： （ 1）抛物线顶点坐标 ； （ 2）对称轴为 ； （ 3）当 x= 时， y有最大值是 ； （ 4）当 时， y随着 x得增大而增大。 （ 5）当 时， y 0. 答案： (1) (-3,2) (2) x=-3 (3)-3, 2 (4) x -3 (5) -5 x -1 试题分析： 有图可知该二次函数的顶点坐标是： (-3,2) 二次函数的对称轴经过
21、该二次函数顶点的横坐标，所以 x=-3 由于该图像开口向下，所以在顶点时有最大值，此时 x=-3 有图形分析可知，当 x -3符合题意 有图形知， -5 x -1时，符合题意 考点：图形的分析 点评：此类试题的解答需要考生对二次函数的基本知识熟练把握，才可以很好的分析解答 已知：在 ABC中， B=45， C =60， BC=8 求 AC的长 (结果保留根号 ). 答案： AC=8 -8 试题分析： 过 A作 交 BC于 D 则有直角 和 其中，直角 中， AD=BD， 故 AD+CD=8 设 AD=X 所以： AD= 故 AC=2CD=8 -8 考点：特殊三角函数的值 点评：此类试题属于难度
22、较大的试题，牵涉到角的化简和运用 在 Rt ABC中， C=90， a=30,c=30 ,解这个三角形。 答案： b=30, A=45, B=45 试题分析： 有题分析可知： C是直角边，且 sinA= 所以 = 故该三角形为等腰直角三角形，所以 b=30 即： b=30, A=45, B=45 考点：三角形的判定 点评：此类试题属于难度一般的试题，只需考生把该直角三角形的基本角度判别出来 计算： 答案： + 试题分析： 考点：代数式的运算 点评：此类试题中主要是分析图形中各个特殊角三角函数的值以及特殊代数式值的直接答案： 抛物线 经过 、 两点，与 轴交于另一点 （ 1）求抛物线的式； （
23、2）已知点 在第二象限的抛物线上，求点 关于直线 的对称点的坐标； （ 3）在（ 2）的条件下，连接 ，点 为 y轴 上一点，且 ，求出点 的坐标 答案： (1) y=-x2-3x+4(2)(0,1)(3) (0, ) （ 1） 因为抛物线 ，经过 A（ 1,0） C（ 0,4） 把各点代入抛物线得出 a+b-4a=0 -4a=4 解得： a=1， b=-3 故式是： （ 2） 因为点 D（ m， m+1）在该抛物线上，故 故 m=3， 故 D（ 3,4） 因为抛物线与 x轴交与另一点 B 故 B（ 4,0） 所以直线 BC的方程是： y=-x+4 故点 D关于直线的对称点的坐标是（ 1,0） （ 3） 由上解知，直线 BD的方程是 y=-4x+16 由图分析得出，直线 BD的倾斜角是 故 BP直线的方程为： 故 P（ 0， ） 考点：二次函数，一次函数的求法 点评：此类试题属于难度较小的试题，需要考生对此类试题熟练把握，进而学会分析各类函数的式的解法
