1、2010年黄冈市初中语、数、英三科联赛九年级数学模拟试题 C卷 解答题 （本小题满分 8分）如图，一次函数 的图象分别交 x轴、 y轴于A、 B两点， P为 AB上一点且 PC为 AOB的中位线， PC的延长线交反比例函数的图象于 Q， . （ 1）求 P点坐标； （ 2）求 Q点坐标； （ 3）求出反比例函数式。 答案：解：（ 1）令 y=0时， =0，解得： x=4, A（ 4， 0）， OA=4 PC为 AOB的中位线， OC=2，即 P点横坐标为 2.-2分 令 x=0时， y=-2, B(0,-2),OB=2,即 P点纵坐标为 -1， P（ 2， -1） -3分 （ 2） PQ y轴
2、， Q点横坐标为 2， -4分 ， ， CQ= ， Q（ 2， ） -6分 （ 3）将 Q（ 2， ）代入 中， = ， k=3 y= -8分 （本小题满分 9分）如图已知 AB是 的切线，切点为 交 于点过点 作 交 于点 （ 1）求证： ； （ 2）若 的半径为 4，求 CD的长； （ 3）求阴影部分的面积。 答案：解：（ 1） 切 于点 即 又 -1分 在 与 中 -2分 -3分 （ 2）在 中， -4分 -5分 在 中， 又 -6分 （ 3）由（ 2）知 AC=OC=4， DC OA， DC为 OA的垂直平分线 DO=DA， DOC= A=30 由（ 1）知 ， BOC=2 DOC=6
3、0， -7分 在 Rt AOB中， tan A= ， ， OB=4， AB= =4 -8分 -9分 （本小题满分 9 分）阅读对人成长的影响是很大的，某中学共 1500 名学生。为了了解学生课外阅读的情况，就 “你最喜欢的图书类别 ”（只选一项）随机调查了部分学生，并将调查结果统计后绘成如下统计表和统计图（如图） .请你根据统计图表提供的信息解答下列问题： （ 1）这次随机调查了 名学生 ; (2)把统计表和条形统计图补充完整； （ 3）随机调查一名学生，估计恰好是喜欢其他类图书的概率是 ； （ 4）此学校想为校图书馆增加书籍，请根据调查结果，为学校选择一种学生最喜欢的书籍 充实校图书馆，并说
4、明理由； 答案：（ 1） 300-1分（ 2）表： 45； 96； 0.26 图：（略）（ 1+1+1+1+1） （ 3） -7分 （ 4）应增加文学类书籍 -8分 96 81 78 45， 最喜欢的书籍是文学类书籍 -9分 （本小题满分 10分） （ 1）如果 ABC的面积是 S， E是 BC的中点，连接 AE（如图 1），则 AEC的面积是 ； （ 2）在 ABC的外部作 ACD， F是 AD的中点，连接 CF（如图 2），若四边形 ABCD的面积是 S，则四边形 AECF的面积是 ； （ 3）若任意四边形 ABCD的面积是 S， E、 F分别是一组对边 AB、 CD的中点，连接 AF，
5、CE（如图 3），则四边形 AECF的面积是 ； 图 1 图 2 图 3 拓展与应用 （ 1）若八边形 ABCDEFGH的面积是 100， K、 M、 N、 O、 P、 Q分别是 AB、BC、 CD、 EF、 FG、 GH的中点，连接 KH、 MG、 NF、 OD、 PC、 QB、（如图4），则图中阴影部分的面积是 ； （ 2）四边形 ABCD的面积是 100， E、 F分别是一组对边 AB、 CD上的点，且AE= AB， CF= CD，连接 AF， CE（如图 5），则四边形 AECF的面积是 ； （ 3）（如图 6） ABCD的面积是 2， AB=a,BC=b,点 E从点 A出发沿 AB以
6、每秒 v个单位长的速度向点 B运动，点 F从点 B出发沿 BC以每秒 个单位长的速度向点 C运动 .E、 F分别从点 A、 B同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动 .请问四边形 DEBF的面积的值是否随着时间 t的变化而变化？若不变，请写出这个值 ，并写出理由；若变化，说明是怎样变化的 . 图 4 图 5 图 6 答 案：（ 1） （ 2） （ 3） （ 1分 +1分 +1分） 拓展应用（ 1） 50 （ 2） （ 1分 +1分） （ 3）四边形 DEBF的面积的值不随时间 t的变化而变化； 1；（ 1分 +1分） 证明： AE=vt,AB=a , BF= ,BC=b 8分 A
7、ED与 ABD同底， ， DBF与 DBC同底， = ， = ， = ， -9分 -10分 （本小题满分 10分） 如图 1，正方形 ABCD和正方形 QMNP， M = B， M是正方形 ABCD的对称中心， MN交 AB于 F， QM交 AD于 E 求证： ME = MF 如图 2，若将原题中的 “正方形 ”改为 “菱形 ”，其他条件不变，探索线段 ME与线段 MF的关系，并加以证明 如图 3，若将原题中的 “正方形 ”改为 “矩形 ”，且 AB = mBC，其他条件不变，探索线段 ME与线段 MF的关系，并说明理由 根据前面的探索和图 4，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写
8、出推广命题；若不能，请说明理由答案：（ 1）证明：过点作 于， 于 ，连接 是正方形的对称中心， 是正方形对角线的交点， 平分 ， 在正方形中， =90， MHA= MGA=90 =90， 在正方形， =90 EMF= HMG. EMH= FMG， MHE= MGF， MHE MGF， ME=MF.-3分 (2) ME=MF。证明：过点 M作 MH A于 H， MG A于 G，连接 AM， M是菱形 ABCD的对称中心， M是菱形 ABCD对角线的交点， AM平分 BAD， MH=MG， BC AD， B+ BAD=180， M= B， M+ BAD=180 又 MHA= MGF=90，在四边
9、形 HMGA中， HMG+ BAD=180， EMF= HMG. EMH= FMG, MHE= MGF, MHE MGF, ME=MF。 -6分 （ 3） ME=mMF.证明：过点作 于， 于， 在矩形 ABCD中， =90 E F =90， 又 ，在四边形 HMGA中， ， ， ， ， ， 又 是矩形的对称中心， M是矩形对角线的中点 ， 同理可得 ， AB = mBC 。 -9分 （）平行四边形和平行四边形中， ， 是平行四边形的对称中心，交于，交于。 则 -10分 （本小题满分 12分） 为把产品打入国际市场，某企业决定从下面两个投资方案中选择一个进行投资生产 .方案一：生产甲产品，每件
10、产品成本为 a万美元（ a为常数，且 3 a 8），每件产品销售价为 10万美元，每年最多可生产 200件；方案二：生产乙产品，每件产品成本为 8万美元，每件产品销售价为 18万美元，每年最多可生产 120件 .另外，年销售 x件乙产品时需上交 万美元的特别关税 .在不考虑其它因素的情况下： （ 1）分别写出该企业两个投资方案的年利润 、 与相应生产件数 x（ x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围； （ 2）分别求 出这两个投资方案的最大年利润； （ 3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？ 答案：解：（ 1） （ 1x200,x为正整数） 2 分 （
11、1x120,x为正整数） 4 分 （ 2） 3 a 8， 10-a 0， 是 x的正比例函数即 随 x的增大而增大 5 分 当 x=200时， 最大值 =（ 10-a)200=2000-200a（万美元） 6 分 7 分 -0.05 0, x=100时 , 最大值 =500（万美元） 8 分 （ 3）由 2000-200a 500,得 a 7.5, 当 3 a 7.5时 ,选择方案一； 9 分 由 ,得 , 当 a=7.5时 ,选择方案一或方案二均可； 10 分 由 ,得 , 当 7.5 a 8时 ,选择方案二 . 12 分 （本小题满分 12分） 如图（ 1）在 Rt ACB中， C=90A
12、C=4cm,BC=3cm,点 P由 B出发沿 BA方向向点 A匀速运动，速度为 1 cm s；点 Q由 A出发沿 AC方向向点 C匀速运动，速度为 2cm s;连接 PQ。若设运动的时间为 t(s)(0 t 2).根据以上信息，解答下列 问题： （ 1）当 t为何值时，以 A、 P、 Q为顶点的三角形与 ABC相似？ （ 2）设四边形 PQCB 的面积为 y（ ），直接写出 y与 t 之间的函数关系式； （ 3）在点 P、点 Q的移动过程中，如果将 APQ沿其一边所在直线翻折，翻折后的三角形与 APQ组成一个四边形，那么是否存在某一时刻 t，使组成的四边形为菱形？若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由 . 图（ 1） 备用图 备用图 答案： -2分 -4分 -5分 （ 2） -6分 -8分 -10分 当沿 AQ翻折时， PQ=AP，过 P点作 PH AC于 H，则点 H必为 AQ的中点， Rt AHP Rt ACB， 即 ，解得： 2（不合题意应舍去） 综上所述，当 时，所形成的四边形为菱形 .-12分
