1、2010-2011学年山西大学附中高二年级五月月考数学试题（理科） 选择题 已知复数 ，若 是纯虚数，则实数 等于 A B C D 高 答案： B 已知函数 ， ( )，若 ， ，使得 ，则实数 的取值范围是 A B C D 答案： D 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，抛物线的顶点在原点，它的准线与双曲线 的左准线重合，若双曲线 与抛物线的交点 满足 ，则双曲线 的离心率为 A B C D 2 答案： B 已知函数 ，若 则实数 的取值范围是 A B C D 答案： A 如图 3所示的程序框图，其输出结果是 A 341 B 1364 C 1365 D 1366 答案： C 若一个三位数的
2、十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为 “伞数，现从 1， 2， 3， 4， 5， 6这六个数中任取 3个，组成无重复数字的三位数，其中“伞数 ”有 A 120个 B 80个 C 40个 D 20个 答案： C 函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线上，其中 均大于 0，则 的最小值为 A 2 B 4 C 8 D 16 答案： C 定积分 等于 A B C D 答案： A 方程 所表示的曲线为 A焦点在 轴上的椭圆 B焦点在 轴上的椭圆 C焦点在 轴上的双曲线 D焦点在 轴上的双曲线 答案： D 如下图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水， 容器中水面的高度 随时间 变化的可能图象
3、是（ ） A B C D. 答案： B 设 ， ，若 ，则 的取值范围是 A B C D 答案： A 若直线 平面 ，则条件甲：直线 是条件乙： 的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： D 填空题 已知点 ， 是坐标原点，点 的坐标满足 ，则的取值范围是 _. 答案： 在 中，若 ，则 外接圆半径运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 ，则其外接球的半径 = 答案： 直线 过点（ 4 ， 0）且与圆 交于 两点，如果，那么直线 的方程为 答案： 或 函数 的单调递增区间是 答案： 解答题 设函数 （ I）解不等式 ； （ II）求函
4、数 的最小值 答案：（ ）令 ，则 作出函数 的图象，它与直线 的交点为 和 所以 的解集为 （ ）由函数 的图像可知，当 时， 取得最小值 已知向量 ， （ I）若 ,求 的值； （ II）在 中，角 的对边分别是 ，且满足 ，求函数 的取值范围 答案：解：（ I） = = = （ II） ， 由正弦定理得 - ，且 已知等比数列 的公比 ， 是 和 的一个等比中项， 和 的等差中项为 ，若数列 满足 （ ） （ ）求数列 的通项公式； （ ）求数列 的前 项和 答案：解：（ ）因为 是 和 的一个等比中项， 所以 由题意可得 因为 ，所以 解得 所以 故数列 的通项公式 （ ）由于 （ ）
5、，所以 - 得 所以 如图，在三棱柱 中， ，顶点 在底面 上的射影恰为点 ，且 （ ）证明：平面 平面 ； （ ）求棱 与 所成的角的大小； （ ）若点 为 的中点，并求出二面角 的平面角的余弦值 答案：证明：（ ） 面 , 又 ， 面 ， 面 ， 平面 平面 ； （ ）以 A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， 故 与棱 BC所成的角是 （ ）因为 P为棱 的中点，故易求得 设平面 的法向量为 ， 则 ,由 得 令 ，则 而平面 的法向量 =(1,0,0)，则 由图可知二面角 为锐角，故二面角 的平面角的余弦值是已知椭圆 过点 ，且离心率为 . （ 1）求椭圆 的方程；
6、（ 2） 为椭圆 的左右顶点，点 是椭圆 上异于 的动点，直线分别交直线 于 两点 .证明：以线段 为直径的圆恒过 轴上的定点 . 答案：解：（ 1）由题意可知， ， 而 ， 且 . 解得， 所以，椭圆的方程为 . （ 2）由题可得 .设 ， 直线 的方程为 ， 令 ，则 ，即 ； 直线 的方程为 ， 令 ，则 ，即 ； 证法一：设点 在以线段 为直径的圆上，则 ， 即 ， ， 而 ，即 ， ， 或 . 所以以线段 为直径的圆必过 轴上的定点 或 . 证法二：以线段 为直径的圆为 令 ，得 ， ，而 ，即 ， ， 或 . 所以以线段 为直径的圆必过 轴上的定点 或 . 解法 3：令 ，则 ，令
7、 ，得 设函数 （ ）当 时，判断函数 的零点的个数，并且说明理由； （ ）若对所有 ，都有 ，求正数 的取值范围 答案：（ ）当 时， 的定义域是 求导，得 所以， 在 上为减函数，在 上为增函数，. 又 根据 在 上为减函数，则 在 上恰有一个零点； 又 ，则 ，所以 在 上恰有一个零点， 再根据 在 上为增函数， 在 上恰有一个零点 . 综上所述，函数 的零点的个数为 2. （ ）令 ， 求导，再令 ，则 （ ）若 ，当 时， ，故 在 上为减函数， 所以当 时， ，即 ，则 在 上为减函数， 所以当 时， ,即 成立； （ ）若 ， 方程 的解为 ， 则当 时， ，故 在 上为增函数， 所以 时， ，即 ，则 在 上为增函数， 所以当 时， , 即 成立，此时不合题意 . 综上，满足条件的正数 的取值范围是
