1、2011届江西省湖口二中高三第一次统考数学试卷与答案 选择题 若集合 ， ，则 等于（ ） A B C D 1 答案： D 已知 是以 2为周期的偶函数，当 时， ，那么在区间内，关于 的方程 （其中 走为不等于 l的实数）有四个不同的实根，则 的取值范围是 ( ) A B C D 答案： C 若直线 （ ， ）被圆 截得的弦长为 4，则 的最小值为 ( ) A B C 2 D 4 答案： D 把函数 的图像向左平移 （其中 ）个单位，所得图像关于 y轴对称，则 的最小值是 ( ) A B C D 答案： C 锐角三角形 ABC中，若 ，则 的范围是（ ） A B C D 答案： C 在 的展
2、开式中， 的幂的指数是整数的项共有（ ） A 3项 B 4项 C 5项 D 6项 答案： C 函数 与 在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）答案： C 已知 与 为互相垂直的单位向量， ， 且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： A 若 是互不重合的直线， 是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（） A若 ， ， ，则 B若 ， ，则 C若 ， ，则 D若 ， ，则 答案： D 在等比数列 中，已知 ，那么 （ ） A 4 B 6 C 12 D 16 答案： A 填空题 设 ：方程 有两个不相等的正根； ：方程无实根则使 为真， 为假的实数 的取值范围是 答
3、案： 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为 答案： 如图，是一程 序框图，则输出结果为 答案： /11 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 2， 2， 3，则此球的表面积为 答案： 如果实数 、 满足条 件 ，那么 的最大值为 A 2 B 1 C D 答案： 解答题 （本小题满分 12分） 设向量 ， ，且 （ 1）求 ； （ 2）求 答案：（ 1） 3分 4分 6分 （ 2） 12分 （本小题满分 12分） 如图，四棱锥 PABCD 中， ABCD为矩形， PAD为等腰直角三角形， APD=90，面 PAD 面 ABCD，且 AB=1， A
4、D=2， E、 F分别为 PC和 BD的中点， （ 1）证明： EF 面 PAD； （ 2）证明：面 PDC 面 PAD； （ 3）求锐二面角 BPDC 的余弦值 答案：（ 1）如图，连接 AC， ABCD为矩形且 F是 BD的中点， AC必经过 F 1分 又 E是 PC的中点， 所以， EF AP 2分 EF在面 PAD外， PA在面内， EF 面 PAD 4分 （ 2） 面 PAD 面 ABCD， CD AD，面 PAD 面 ABCD=AD， CD 面PAD， 又 AP 面 PAD， AP CD 6分 又 AP PD， PD和 CD是相交直线， AP 面 PCD 7分 又 AD 面 PAD
5、，所以，面 PDC 面 PAD 8分 （ 3）由 P作 PO AD于 O，以 OA为 x轴，以 OF为 y轴，以 OP为 z轴，则 A（ 1， 0， 0）， P（ 0， 0， 1） 9分 由（ 2）知 是面 PCD的法向量， B（ 1， 1， 0）， D（一 1， 0， 0）， ， 10分 设面 BPD的法向量 ， 由 得 取 ，则 ， 向量 和 的夹角的余弦 11分 所以，锐二面角 BPDC 的余弦值 12分 （本小题满分 12分） 甲乙两个奥运会主办城市之间有 7条网线并联，这 7条网线能通过的信息量分别为 l， 1， 2， 2， 2， 3， 3，现从中任选三条网线，设可通过的信息量为 X
6、，当可通过的信息量 X6，则可保证信息通畅 （ 1）求线路信息通畅的概率； （ 2）求线路可通过的信息量 X的分布列及期望。 答案：（ 1） 3分 所以线路信息通畅的概率为 5分 （ 2） X的分布列为 X 4 5 6 7 8 9分 （ 3）由分布列知 12分 （本小题满分 12分） 已知定义在正实数集上的函数 ，其中 。设两曲线 有公共点，且在公共点处的切线相同。 （ 1）若 ，求 的值； （ 2）用 表示 ，并求 的最大值。 答案： （本小题满分 12分） 已知椭圆 的左、右两个焦点为 ，离心率为 ，又抛物线与椭圆 有公共焦点 （ 1）求椭圆和抛物线的方程； （ 2）设直线 经过椭圆的左焦
7、点 且与抛物线交于不同两点 P、 Q且满足，求实数 的取值范围 答案：（ 1）椭圆中 ，所以 ，椭圆方程为：抛物线中 ，所以 ，抛物线方程为： 4分 （ 2）设直线 的方程为： ，和抛物线方程联立得 消去 ，整理得 因为直线和抛物线有两个交点，所以 解得 且 7分 设 ，则 又 ，所以 又 ，由此得 ，即 9分 由 ，解得 又 ，所以， 11分 又因为 ，所以 ，解得 且 13分 （本小题满分 14分） 在数列 ， 中， a1=2， b1=4，且 成等差数列， 成等比数列（ ） （ ）求 a2， a3， a4及 b 2， b3， b4，由此猜测 ， 的通项公式，并证明你的结论； （ ）证明： 答案：由条件得 由此 可得 2分 猜测 4分 用数学归纳法证明： 当 n=1时，由上可得结论成立 假设当 n=k时，结论成立，即 ， 那么当 n=k+1时， 所以当 n=k+1时，结论也成立 由 ，可知 对一切正整数都成立 7分 （ ） n2时，由（ ）知 9分 故 综上，原不等式成立 14分
