1、2011届湖北省天门市高三天 5月模拟文科数学试题 选择题 已知全集 U R，集合 A x | 1 x3， B x | x 2，则 ACUB等于 A x | 1 x2 B x | 1x 2 C x | 1x2 D x | 1x3 答案： A 设变量 a， b满足约束条件： 的最小值为 m，则函数 的极小值等于 A - B - C 2 D 答案： A 考点：简单线性规划；利用导数研究函数的极值 分析：先根据约束条件画出可行域，设 z=a-3b，再利用 z的几何意义求最值，只需求出直线 z=a-3b过可行域内的点 A时，从而得到 z=a-3b的最小值 m，最后将 m的值代入函数表达式利用导数求出它
2、的极小值即可 解：先根据约束条件画出可行域，设 z=a-3b， 将 z的值转化为直线 z=a-3b在 y轴上的截距， 当直线 z=a-3b经过点 A（ -2， 2）时， z最小， 最小值为： m=-8 f(x)= x3- x2-2x+2 f（ x） =x2-x-2 f（ x）极值点是： x=2或 -1 f（ x）的极小值等于 f（ 2） =- 故选 A 函数 （其中 A 0， | ）的图象如图所示，为得到的图象，则只要将 的图象 A向右平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度 答案： B 在抛物线 y2 4x上有两点 A， B，点 F是抛物线的焦
3、点， O为坐标原点，若 2 3 0，则直线 AB与 x轴的交点的横坐标为 A B 1 C 6 D 答案： D 考点：直线与圆锥曲线的关系 分析：先根据题意：求出焦点坐标，设 A（ a2， 2a）， B（ b2， 2b），由 2 3 0，求出 a， b，分别求得 A， B，求得直线 AB的方程，令 y=0求解即可 解：据题意： F（ 1， 0），设 A（ a2， 2a）， B（ b2， 2b） 又 2 3 0 A( ， - ) ， B( ， ) kAB=- 直线 AB的方程： y= （ x- ） - 令 y=0得： x= 故选 D 函数 的图象与 x轴交点的个数是 A 2 B 3 C 4 D 5
4、 答案： D 分析：先把研究函数零点个数问题转化为对应的函数 与 的交点个数，再利用函数的周期以及函数的最值以及单调性画出函数图象，由图即可得出结论 解：因为函数 的零点个数就是对应的函数 与的交点个数 又因为函数 的周期 而 在同一坐标系中画图得： 由图得：交点有 5个 故函数 的零点个数是 5 故选 D F1， F2是 的左、右焦点，点 P在椭圆上运动，则 的最大值是 A 4 B 5 C 2 D 1 答案： A 考点：椭圆的应用 分析： =（ a-ex）（ a+ex） =a2-e2x2，由此可求出 的最大值 解：由焦半径公式 =a-ex， =a+ex =（ a-ex）（ a+ex） =a2
5、-e2x2 则 的最大值是 a2=4 答案： A 已知直线 m、 l和平面 、 ，则 的充分条件是 A m l， m /， l/ B m l， m， l C m / l， m ， l D m / l， l ， m 答案： D 设 Sn为等差数列 an 的前 n项和，若 S8 30， S4 7，则 a4的值等于 A B C D 、 答案： C 考点：等差数列的性质 分析：利用等差数列的首项 a1及公差 d表示已知 S8=30， S4=7，则，解方程可得首项 a1及公差 d，代入等差数列的通项公式可求 解： S8=8a1+ d=30 ， S4=4a1+ d=7 联立可得 a1= ， d=1 a4=
6、a1+3d= 故选 C 已知向量 a（ 1， 2）， a b 5， | a-b | ，则 | b |等于 A B C 5 D 25 答案： C 已知角 的终边经过点 P（ m， -3），且 cos=- ，则 m等于 A - B C -4 D 4 答案： C 考点：任意角的三角函数的定义 分析：由已知中已知角 的终边经过点 P(m， -3)，且 cos=- ，我们易根据三角函数的定义确定 m的符号，并构造关于 m的方程，解方程即可求出满足条件的 m的值 解： cos=- 0 为第 II象限或第 III象限的角 又由角 的终边经过点 P（ m， -3）， 故 为第 III象限的角，即 m 0， 则
7、 cos=- = 解得 m=-4，或 m=4（舍去） 故选 C 填空题 已知函数 f(x) ax2 bx c(a0)，且 f(x) x无实根，下列命题中： （ 1）方程 f f (x) x一定无实根； （ 2）若 a 0，则不等式 f f (x) x对一切实数 x都成立； （ 3）若 a 0，则必存在实数 x0，使 f f (x0) x0； （ 4）若 a b c 0，则不等式 f f (x) x对一切 x都成立； 正确的序号有 答案：（ 1）（ 2）（ 4） 设 a是从集合 1， 2， 3， 4中随机取出的一个数， b是从集合 1， 2， 3中随机取出的一个数，构成一个基本事件（ a， b）
8、。记 “在这些基本事件中，满足logba1为事件 A，则 A发生的概率是 答案： 一个与球心距离为 1的平面截球所得截面的面积为 ，则球的体积为 答案： 已知函数 ，若 ，则 a的取值范围是 答案： -1 a 3 的展开式中，常数项为 （用数字作答） 答案： 解答题 某工厂 2010年第三季度生产的 A， B， C， D四 种型号的产品产量用条形图形表示如图，现用分层抽样的方法从中选 取 50件样品参加 2011年 4月份的一个展销会。 （ 1） A， B， C， D型号的产品各抽取多少件？ （ 2）从 50 件样品随机地抽取 2 件，求这 2 件产品恰好是不同型号产品的概率。 答案：解：（
9、1）从条形图上可知，共生产产品有 50+100+150+200=500（件） 样品比为 = ， 所以 A， B， C， D四种型号的产品分别取 100=10， 200=20， 50=5， 150=15， 即样本中应抽取 A产品 10件， B产品 20件， C产品 5件， D产品 15件 6分 （ 2）从 50件产品中任取 2件共有 =1225种方法， 2件恰为同一产品的方法为 + + + =350种， 所以 2件恰好为不同型号的产品的概率为 12 分 已知 ABC的周长为 6，角 A， B， C所对的边 a， b， c成等比数列 （ ）求角 B及边 b的最大值； （ ）设 ABC的面积为 S，
10、求 S 最大值 答案：解：（ 1） a b c 6， b2 ac， ， a c时取等号，故 B有最大值 （ 3分） 又 ，从而 b有最大值 2， 时取等号（ 6分） （ 2） S acsinB b2sinB， 由（ 1）知 B ， b 2时它有最大值 （ 8分） -(b 3)2 27 ，即当 b 2时有最大值 （ 11分） 的最大值为 （ 12分） 如图，四棱锥 P-ABCD的底面为矩形，侧棱 PD垂直于底面， PD DC2BC， E为棱 PC上的点，且平面 BDE 平面 PBC （ 1）求证： E为 PC的中点； （ 2）求二面角 A-BD-E的大小 答案：解法一：（ 1）证明：如图，作 C
11、F BE，垂足为 F， 由平面 BD E 平面 PBC， 则 CF 平面 BDE，知 CF DE 因为 PD 平面 ABCD， BC CD， CD为 DE在平面 ABCD内的射影， 所以 BC DE，所以 DE 平面 PBC 于是 DE PC，又 PD PC，所以 E为 PC的中点 6 分 （ 2）作 EG DC，垂足为 G，则 EG PD，从而 EG 平面 ABCD 作 GH BD，垂足为 H，连接 EH，则 BD EH， 故 EHG为二面角 A-BD-E的平面角的补角 9 分 不妨设 BC 1，则 PD DC 2， 在 Rt EGH中， EG PD 1， GH ， tan EHC 因此二面
12、角 A-BD-E的大小为 -arctan 解法二：不妨设 BC 1，则 PD DC 2 建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz， 则 D(0， 0， 0)， B(1， 2， 0)， C(0， 2， 0)， P(0， 0， 2) （ 1）证明：设 ，则 E(0， ， ) 设 a (x1， y1， z1)为面 PBC的法向量， 则 a ， a ， 又 (1， 0， 0)， (0， -2， 2)， a x1 0， a -2y1 2z1 0， 取 a (0， 1， 1) 设 b (x2， y2， z2)为面 BDE的法向量， 则 b ， b ， 又 (1， 2， 0)， (0， ， )， b x2
13、2y2 0， b 0， 取 b ( ， ， 1) 平面 BDE 平面 PBC， a b 1 0， 1 所以 E为 PC的中点 6 分 （ 2）由（ ）知， b (2， -1， 1)为面 BDE的法 向量， 又 c (0， 0， 1)为面 ADB的法向量， cos ， 所以二面角 A-BD-E的大小为 -arccos 12 分 已知函数 （ 1）求函数 的单调区间； （ 2）若 在区间 -1， 1上的最大值为 6，求 在该区间上的最小值 答案：解：（ 1） 2分 由 0，得 -1 x 0或 x 3； 由 0，得 x -1或 0 x 3 所以函数 的单调递增区间为（ -1， 0）和（ 3， +）；
14、 单调递减区间为（ -， -1）和（ 0， 3） 6 分 （ 2）由（ 1）知 在 -1， 0单调递增，在 0， 1单调递减 在区间 -1， 1上的最大值为 ， 由已知 a=68 分 于是 ， 由于 ， ， 故 在区间 -1， 1上的最小值为 -1712 分 已知椭圆 （ a b 0）的焦距为 4，且与椭圆 有相同的离心率，斜率为 k的直线 l经过点 M（ 0， 1），与椭圆 C交于不同两点 A、 B （ 1）求椭圆 C的标准方程； （ 2）当椭圆 C的右焦点 F在以 AB为直径的圆内时，求 k的取值范围 答案：解：（ 1） 焦距为 4， c=21 分 又 的离心率为 2 分 ， a= ， b
15、=2 4 分 标准方程为 6 分 （ 2）设直线 l方程： y=kx+1， A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， 由 得 7 分 x1+x2= ， x1x2= 由（ 1）知右焦点 F坐标为（ 2， 0）， 右焦点 F在圆内部， 08 分 （ x1 -2）（ x2-2） + y1y2 0 即 x1x2-2（ x1+x2） +4+k2 x1x2+k（ x1+x2） +1 0 9 分 0 11 分 k 12 分 经检验得 k 时，直线 l与椭圆相交， 直线 l的斜率 k的范围为（ -， ） 13 定义：已知函数 在 m， n（ m n）上的最小值为 t，若 tm恒成立，则称函数 在 m，
16、n （ m n）上具有 “DK”性质 （ 1）判断函数 在 1， 2上是否具有 “DK”性质，说明理由； （ 2）若 在 a， a 1上具有 “DK”性质，求 a的取值范围 答案：解：（ 1） ， x 1， 2， 1， 函数 在 1， 2上具有 “DK”性质 6 分 （ 2） ， x a， a 1，其对称轴为 当 a时，即 a0时，函 数 若函数 具有 “DK”性质，则有 2a总成立，即 a2 8 分 当 a a+1，即 -2 a 0时， 若函数 具有 “DK”性质，则有 a总成立， 解得 a 10 分 当 a+1，即 a-2时，函数 的最小值为 若函数 具有 “DK”性质， 则有 a+3a，解得 a 12 分 综上所述，若 在 a， a 1上具有 “DK”性质，则 a2 14 分
