1、2011届甘肃省兰州一中高三上学期期末考试数学理卷 选择题 设全集 是实数集 则图中阴影部分所表示的集合是 A B C D 答案： C 解： N=x|1 x3， 由图可知，图中阴影部分所表示的集合是 NCUM， 又 CUM=x|x24=x|-2x2， NCUM=x|1 x2 故选 C 已知 a0且 a1，若函数 f （ x） = loga（ ax2 x）在 3， 4是增函数，则 a的取值范围是 （ ） A（ 1， +） B C D 答案： A 已知 是三条不重合的直线， 是三个不重合的平面，下列四个命题正确的个数为 （ ） 若 , m 若直线 m， n与平面 所成的角相等，则 m n； 存在异
2、面直线 m， n，使得 m ， m/ ， n ，则 / ; 若 ,则 m n A 1 B 2 C 3 D 4 答案： B 设函数 y=f（ x）存在反函数 y= ,且函数 的图象过点（ 1,2），则函数 的图象一定过点 （ ） A（ -1,2） B（ 2,0） C（ 1,2） D（ 2,1） 答案： A 如图所示，在棱长为 1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E、 F分别为棱 AA1、BB1的中点， G为棱 A1B1上的一点，且 A1G=（ 01）则点 G到平面 D1EF的距离为（ ） A B C D 答案： D 已知 ，点 在 内，且 30，设 ,则 等于 （ ） A B 3 C D
3、 答案： B 设函数 的图像关于直线 对称，且它的最小正周期为 ，则 （ ） A 的图像经过点 B 在区间 上是减函数 C 的图像的一个对称中心是D 的最大值为 A 答案： C 考点：由 y=Asin（ x+）的部分图象确定其式；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的图像与性质 分析：根据周期求出 ，根据函数图象关于直线 x= 对称求出 ，可得函数的式，根据函数的式判断各个选项是否正确 解答：解：由题意可得 =， =2，可得 f（ x） =Asin（ 2x+） 再由函数图象关于直线 x= 对称，故 f（ ） =Asin（ +） =A，故可取= 故函数 f（ x） =Asin（ 2x+ ）令
4、 2k+ 2x+ 2k+ ， k z，求得 k+xk+ ， k z，故函数的减区间为 k+ ， k+ ， k z，故选项 B不正确 由于 A不确定，故选项 A不正确 令 2x+ =k， k z，可得 x= - ， k z， 故函数的对称中心为 （ - ， 0）， k z，故选项 C正确 由于 A的值的符号不确定，故选项 D不正确 故选 C 点评：本题主要考查由函数 y=Asin（ x+ ）的部分图象求函数的式，正弦函数的对称性，属于中档题 设双曲线 的离心率为 ，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为 （ ） A B C D 答案： A 若直线 按向量 平移后与圆 相切，则 的值
5、为（ ） A 8或 -2 B 6或 -4 C 4或 -6 D 2或 -8 答案： A “a=3”是 “直线 ax-2y-1=0”与 “直线 6x-4y+c=0平行 ”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 D充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 解：若 “a=3”成立，则两直线的方程分别是 3x-2y-1=0 与 6x-4y+c=0，当 c=-1 时，两直线重合， 所以两直线不一定平行； ;所以 “a=3”是 “直线 ax-2y-1=0与直线 6x-4y+c=0平行 ”的必要不充分条件， 故选 B 已知正项数列 为等比数列，且 是 与 的等差中项，若 ，则该数列的前 5项的和为
6、 （ ） A B C D以上都不正确 答案： B 下列结论正确的是 （ ） A当 B C 的最小值为 2 D当 时，的最小值是 4 答案： B 填空题 若球 O的球面上共有三点 A、 B、 C，其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的 经过 A、 B、 C这三点的小圆周长为 ，则球 O的体积为 答案： 若直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 k的取值范围是 _ 答案： 已知 ， 为原点，点 的坐标满足 ，则的最大值是 答案： ， 1+i + i2 + i3+ i 2011= 答案： 解答题 （本小题满分 10分） 已知向量 （ 1）若 ,求 的值； （ 2）记 ，在 ABC中，角 的对边分别
7、是 且满足 ，求函数 f（ A）的取值范围 答案： (1) (2) (1， 3/2) （本小题满分 12分） 已知三棱柱 的侧棱垂直于底面， ， ， ， 分别是 ， 的中点 （ 1）证明： ； （ 2）证明： 平面 ； （ 3）求二面角 的余弦值 答案：略 （本小题满分 12分） 已知圆 ： （ 1）直线 过点 ，且与圆 交于 、 两点，若 ，求直线 的方程 ; （ 2）过圆 上一动点 作平行于 轴的直线 ，设 与 轴的交点为 ，若向量 ，求动点 的轨迹方程 答案： (1)3x-4y+5=0,x=1 (2) 解（ ） 当直线 垂直于 轴时，则此时直线方程为 ， 与圆的两个交点坐标为 和 ，其距
8、离为 ，满足题意 2 分 （本小题满分 12分）已知函数 （ 1）当 时，证明函数 只有一个零点； （ 2）若函数 在区间 上是减函数，求实数 的取值范围 答案： (1) 略 (2) （本小题满分 12分） 设数列 的前 项和为 已知 （ 1）设 ，证明数列 是等比数列 ; （ 2）求数列 的通项公式 ; （ 3）若 , 为 的前 n项和，求证： 答案： (1) (2)略 （本小题满分 12分） 椭圆 G: 的左、右焦点分别为 ， M是椭圆上的一点 ,且满足 =0 （ 1）求离心率 e的取值范围； （ 1）当离心率 e取得最小值时，点 N（ 0， 3）到椭圆上的点的最远距离为 5 求此时椭圆 G的方程； 设斜率为 的直线 l与椭圆 G相交于不同的两点 A、 B， Q为 AB的中点， 问： A、 B两点能否关于过点 、 Q的直线对称？若能，求出 k的取值范 围；若不能，请说明理由 答案：略 4分 8分 12分
