1、2012-2013学年云南省玉溪一中高二上学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设 a,b ， ，则 A,B的大小关系是（ ） A AB B AB C A B D A B 答案： D 试题分析：取 a=1,b=1知 AB,由 得 与已知矛盾，故选D。 考点：本题主要考查不等式的基本性质。 点评：简单题，比较大小问题，往往有多种思路，一是直接运用不等式的性质，二是应用 “比较法 ”，还可以利用特殊值检验的方法。 已知 , 是椭圆的两个焦点，若满足 的点 M 总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A（ 0, 1) BC D 答案： B 试题分析：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距
2、分别为 a， b， c， 因为 ， M点的轨迹是以原点 O 为圆心，半焦距 c为半径的圆 又 M点总在椭圆内部， 该圆内含于椭圆，即 c b， c2 b2=a2-c2 e2= ， 0 e ，故选 C 考点：本题主要考查椭圆的几何性质，圆的定义。 点评：典型题，本题突出考查椭圆的几何性质，圆的定义，有较浓的 “几何味 ”。 已知 F是抛物线 y2=x的焦点， A, B是该抛物线上的两点，且 |AF| |BF|=3，则线段 AB的中点到 y轴的距离为（ ） A B 1 CD 答案： C 试题分析：因为 y2=x，所以 P= ，由抛物线定义得 A， B到准线 x=- 距离之和为 |AF| |BF|=
3、3，由 AB的中点到 y轴的距离就是梯形的中位线，所以 AB的中点到 y轴的距离是 ， 故选 C。 考点：本题主要考查抛物线的定义、几何性质，梯形的性质。 点评：小综合题，抛物线的过焦点弦问题，一般要利用抛物线定义，实施转化。 若 0 x1 x2, 0 y1 y2，且 x1 x2=y1 y2=1，则下列代数式中值最大的是（ ） A x1y1 x2y2 B x1x2 y1y2 C x1y2 x2y1 D答案： A 试题分析：依题意取 x1= ， x2= ， y1= ， y2= 。计算 x1y1 x2y2= ， x1x2y1y2= ， x1y2 x2y1= ，故选 A。 考点：本题主要考查不等式的
4、性质，选择题的灵活解法。 点评：简单题，本题可利用 “特殊值法 ”解答，体现选择题解法的灵活性。 设 .分别是双曲线 的左 ,右焦点，若在双曲线右支上存在点 P，满足 ,且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：依题意 |PF2|=|F1F2|，可知三角形 PF2F1是一个等腰三角形， F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理可知 |PF1|=2 =4b 根据双曲定义可知 4b-2c=2a，整理得 c=2b-a，代入 c2=a2+b2整理得 3b2-4ab=0，求得 = ； 该双曲线的渐近线方程为 ，故选 D 考点：本题主要考
5、查双曲线的标准方程，几何性质。 点评：典型题，涉及双曲线焦点的问题，注意运用双曲线定义。 运行如图所示的程序框图，则输出的数是 5的倍数的概率为（ ） Y 答案： A 试题分析：由程序框图知，运行 50次，输出 50个数；输出的 k为 1,3,5， ， 99.其中为 5的倍数的有 5,15,25， ， 95共 10个数，所以输出的数是 5的倍数的概率为 = 考点：本题主要考查程序框图，古典概型概率的计算。 点评：基础题，古典概型概率的计算方法明确，关键是读懂程序框图，看输出的数有多少，其中输出的数是 5的倍数的有多少，进一步计算概率。 某产品的广告费用 x与销售额 y的统计数据如下表： 广告费
6、用 x（万元） 4 2 3 5 销售额 y（万元） 49 26 39 54 根据上表可得回归方程 为 9.4，据此模型预报广告费用为 6万元时销售额为（ ） A、 63.6万元 B、 65.5万元 C、 67.7万元 D、 72.0万元 答案： B 试题分析：将 3.5， 42代入 得 =9.1，即 ，将 x=6代入得销售额约为 65.5万元，故选 B。 考点：本题主要考查回归直线方程及其应用。 点评：典型题，在线性回归问题中，此类题型考查较为多见，注意 “预报广告费用为 6万元时销售额 ”是估计值。 已知 x 2y 3z=6，则 2x 4y 8z的最小值为（ ） A B C 12 D 答案：
7、 C 试题分析：因为 ，所以 2x 4y 8z的最小值为 12，选C。 考点：本题主要考查基本不等式的应用。 点评：简单题，基本不等式的应用中， “一正、二定、三相等 ”缺一不可。 命题 “对 ”的否定是（ ） A不存在 x R,x3-x2 10 B C D 答案： C 试题分析：因为全称命题的否定是特称命题。所以 “对 ”的否定是：，故选 C 考点：本题主要考查全称命题与特称命题的之间的关系的应用。 点评：基础题，全称命题的否定是特称命题。 若 a,b R，则 a b 0是 a2 b2的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：由不
8、等式的性质，由 a b 0可推出 a2 b2，但，由 a2 b2无法推出 a b 0，如a,b小于 0时，故选 a。 考点：本题主要考查不等式的性质，充要条件的概念。 点评：简单题，充要条件的判断，可利用定义法，也可利用 “集合关系法 ”。 口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是 0.42，摸出白球的概率是 0.28，则摸出黑球的概率是（ ） A 0.42 B 0.28 C 0.7 D 0.3 答案： D 试题分析：从中摸出一个球，摸出红球、摸出白球、摸出黑球是互斥的，所以由互斥事件概率的加法公式知摸出黑球的概率是 1-0.42-0.28=0.3，故选 D。 考
9、点：本题主要考查互斥事件概率的加法公式。 点评：简单题，因为只摸出一个球，所以摸出红球、摸出白球、摸出黑球是互斥的。 设抛物线的顶点在原点，焦点与椭圆 的右焦点重合，则此抛物线的方程是（ ） A y2=-8x B y2=-4x C y2=8x D y2=4x 答案： C 试题分析： 的右焦点为 F（ 2,0），所以抛物线中 =2， =4，抛物线的方程是y2=8x，故选 C。 考点：本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程及几何性质。 点评：简单题，利用椭圆的几何性质可得抛物线焦点坐标。 填空题 椭圆 的左焦点为 F，直线 x=m与椭圆相交于 A,B两点，当 FAB的周长最大时， FAB的面积是 .
10、答案： 3 试题分析：椭圆 中， ，即 m=c=1，代人椭圆方程，得，所以， FAB的面积等于 3. 考点：本题主要考查椭圆的定义、几何性质。 点评：基础题，涉及椭圆的 “焦点三角形 ”问题，往往要运用椭圆的定义。本题特殊可通过计算直角三角形面积计算。 已知函数 f(x)=-x2 ax-b，若 a,b都是区间 0,4内的数，则 f(1) 0成立的概率是 . 答案： 试题分析：设 “a,b都是从区间 0,4任取的一个数 ”为事件 ,则 ()=44=16, 记 “f(1) 0”为事件 A,则 f(1)=a-b-1 0.画出可行域为如图所示的 Rt ABC. (A)= 33= .由几何概型得 P(A
11、)= = = . 考点：本题主要考查几何概型概率的计算。 点评：简单题，几何概型概率的计算，首先应明确几何图形，其次注意准确计算几何图形的度量。 集合 A=x|x 3| |x-4|9， Bx|x=4t+ -6,t (0, ) ，则集合 AB= . 答案： 试题分析：先解 |x+3|+|x-4|9。将 -3、 4看成两个分界点， 则分别在 x-3、 -3-3 当 x4时， x+3+x-49 化简得： x5 则， 4x5 综上知： -4x5 故： A=x|-4x5 再确定 x=4t+ -6,t (0, )的值域，由均值定理得 4t+ ，所以 x ： B=x|x 故 AB= 。 考点：本题主要考查集
12、合的运算，均值不等式的应用，绝对值不等式的解法。 点评：综合题，利用绝对值的几何意义解不等式，形象直观，易懂。 “对号函数 ”的值域，可应用单调性讨论，也可利用均值定理。 从一堆苹果中任取 20个，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下： 分组 90,100) 100,110) 110,120) 120,130) 130,140) 140,150) 频数 1 2 3 10 3 1 则这堆苹果中，质量不小于 120克的苹果数占苹果总数的 %. 答案： 试题分析：因为质量不小于 120克的苹果数为 14，基本事件总数为 20，所以质量不小于 120克的苹果数约占苹果总数的 70%. 考点：本题
13、主要考查频率的概念及其计算。 点评：简单题，计算事件数 基本事件总数。 解答题 （本题 10分）某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔 30min抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下： 甲： 102, 101, 99, 98, 103, 98, 99； 乙： 110, 115, 90, 85, 75, 115, 110。 （ ）这种抽样方法是哪一种？ （ ）将这两组数据用茎叶图表示出来； （ ）将两组数据比较：说明哪个车间的产品较稳定。 答案：（ ）因间隔时间相同，故是系统抽样。 （ ）茎叶图如下： （ ） 。 试题分析：（ ）因间隔时间相同，故是系统抽样。 分 （ ）
14、茎叶图如下： 分 （ ）甲车间： 平均值： （ 102+101+99+98+103+98+99） =100 方差： 乙车间： 平均值： （ 100+115+90+85+75+115+110） =100 方差： , 。 10 分 考点：本题主要考查抽样方法，茎叶图，平均数，方差的计算。 点评：基础题，茎叶图形象直观，易于操作，原始数据保留完好。确定产品的稳定性优劣，一般先计算平均数，相同情况下，计算方差，根据离散程度确定。 （本题 12分）已知集合 （ ）在区间（ -4,4）上任取一个实数 x，求 “x AB”的概率； （ ）设（ a,b）为有序实数对，其中 a是从集合 A中任取的一个整数， b
15、是从集合 B中任取的一个整数，求 “b-a A B”的概率 . 答案：（ ） （ ） 试题分析：（ ）由已知 ,设事件 “x AB”的概率为 ，则 （ ） 基本事件共 12个，（ -2,-1） ,（ -2,0），（ -2,1），（ -2,2），（ -1,-1），（ -1,0），（ -1,1），（ -1,2），（ 0, -1），（ 0,0），（ 0,1），（ 0,2） 设事件 E为 “b-a A B”，则事件 E中包含 9个基本事件 . 考点：本题主要考查集合的运算，简单不等式解法，几何概型、古典概型概率的计算。 点评：综合题，古典概型概率的计算，公式明确，关键是计算基本事件数要准确，可借助于“
16、树图法 ”“坐标法 ”。 （本题 12分）如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中， E, F分别是棱 BC,CC1上的点，CF=AB=2CE, AB:AD:AA1=1:2:4. （ ）求异面直线 EF 与 A1D所成角的余弦值； （ ）证明 AF 平面 A1ED； （ ）求二面角 A1-ED-F的正弦值。 答案：（ ） （ ）证明：利用向量证明 AF EA1,AF ED.又 EA1ED=E，推出 AF 平面 A1ED. （ ） 试题分析：如图所示，建立空间直角坐标系，点 A为坐标原点 .设 AB=1，依题意得 D（ 0,2,0）， F（ 1,2,1）， A1（ 0,0,4）， E（ 1,
17、 ,0） （ ）易得 于是 所以异面直线 EF 与 A1D所成角的余弦值为 （ ）证明：易知 于是 因此， AF EA1,AF ED. 又 EA1ED=E，所以 AF 平面 A1ED. （ ）设平面 EFD的法向量 u=(x,y,z)，则 即 不妨令 x=1，可得 u=（ 1,2,-1） . 由（ ）可知， 为平面 A1ED的一个法向量 . 于是 从而 所以二面角 A1-ED-F的正弦值为 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，二面角的计算。 点评：典型题，立体几何中的垂直、平行关系，是高考常常考查的内容。关于角的计算通常有两种思路，一是几何法，注意 “一作、二证、三计算 ”；二一种思路，是
18、利用空间向量，简化证明过程。 （本题 12分）如图，设 P是圆 x2+y2=25上的动点，点 D是 P在 x轴上的投影， M为 PD上一点，且 |MD|= |PD|. （ ）当 P在圆上运动时，求点 M的轨迹 C的方程； （ ）求过点（ 3,0）且斜率为 的直线被曲线 C所截线段的长度 . 答案：（ ） ； ( ) 。 试题分析：（ ）设 M(x,y)， P(xp,yp),由已知得 ，即 C的方程为： ( ) 过点（ 3， 0）且斜率为 的直线 l为 设直线 l与 C的交点为 A( ), B( ) 由 考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系。 点评：容易题，涉及直线与圆锥曲线的
19、位置关系问题，往往要利用韦达定理。弦长公式要清楚。 （本题 12分）已知实数 a,b,c,d满足 a b c d=3， a2 2b2 3c2 6d2=5， 求证：（ ） ； （ ） . 答案：（ ）应用柯西不等式 ， 。 （ ）由（ ）得（ 3-a） 2 5-a2，推出 。 试题分析：（ ） （ ）由（ ）得（ 3-a） 2 5-a2 考点：本题主要考查柯西不等式的应用，不等式的证明。 点评：中档题，关键是根据已知条件，构造柯西不等式，对考查考生创新思维，有较好的作用。 （本题 12分）直线 l:y=kx 1与双曲线 C: 的右支交于不同的两点 A,B （ ）求实数 k的取值范围； （ ）是否
20、存在实数 k，使得以线段 AB为直径的圆经过双曲线 C的右焦点 F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由 . 答案：（ ） -2 k （ ） k - 时，使得以线段 AB为直径的圆经过的双曲线 C的右焦点。 试题分析：（ ）由 据题意： 解得 -2 k （ ）设 A,B两点的坐标分别为（ x1,y1），（ x2,y2） 则由 式得： 假设存在实数 k，使得以线段 AB为直径的圆过双曲线 C的右焦点 F（ ， 0），则 FA FB. 0 即：（ x1- ）（ x2- ） y1y2 0 （ x1- ）（ x2- ）（ kx1 1）（ kx2 1） 0 （ 1 k2） x1 x2（ k- ）（ x1 x2） 0 （ 1 k2） （ k- ） 0 5k2 2 -6 0 k - 或 k （ -2， - ）（舍去） k - 时，使得以线段 AB为直径的圆经过的双曲线 C的右焦点。 考点：本题主要考查直线与双曲线的位置关系。 点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往要利用韦达定理。存在性问题，往往从假设存在出发，运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备。
