1、2012-2013学年吉林省吉林市十二中高二 3月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 函数的导数是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：根据题意，由于函数是复合函数，因此利用复合函数的导数公式求出函数的导数。因为，则可知 ，故答案：为 D. 考点：函数的导函 数 点评：求一个函数的导函数，应该先判断出函数的形式，然后选择合适的导数运算法则及基本初等函数的导数公式进行求值 已知函数 y x3-3x c的图像与 x轴恰有两个公共点，则 c ( ) A -2或 2 B -9或 3 C -1或 1 D -3或 1 答案： A 试题分析：求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函
2、数 y=x3-3x+c的图象与 x轴恰有两个公共点，可得极大值等于 0或极小值等于 0，由此可求 c的值解：求导函数可得 y=3（ x+1）（ x-1），令 y 0，可得 x 1或 x -1；令 y 0，可得 -1 x 1；， 函数在（ -， -1），（ 1， +）上单调增，（ -1， 1）上单调减， 函数在 x=-1处取得极大值，在 x=1处取得极小值， 函数 y=x3-3x+c的图象与 x轴恰有两个公共点， 极大值等于 0或极小值等于 0， 1-3+c=0或 -1+3+c=0， c=-2或 2，故选 A 考点：导数的运用 点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利
3、用极大值等于 0或极小值等于 0 如果函数 y=f(x)的图象如右图，那么导函数 的 图象可能是（ ） 答案： A 试题分析：由 y=f（ x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负 .解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正 负 正 负，故选 A 考点：导数的运用 点评 :导数的正负决定函数的单调性 ,属于基础题。 用数学归纳法证明不等式 “ ”时的过程中，由 到时，不等式的左边（ ） A增加了一项 B增加了两项 C增加了两项 ，又减少了一项 D增加了一项 ，又减少了一项 答案： C 试题分析：求出 当 n=k时，左边的代数式，当 n=k+1时，左边的代数式，相减可得结 果。解
4、：当 n=k时，左边的代数式为 ，当 n=k+1时，则左边 ，两式作差可知增加了两项 ，又减少了一项 ，故选 C. 考点：数学归纳法 点评：本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从 n=k到 n=k+1项的变化 若从 1,2,3， ， 9这 9个整数中同时取 4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A 60种 B 63种 C 65种 D 66种 答案： D 试题分析：本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得 4个偶数时，当取得 4个奇数时，当取得 2奇 2偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法
5、解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得 4个偶数时，有 =1种结果，当取得 4个奇数时，有 =5种结果，当取得 2奇 2偶时有 =610=60, 共有 1+5+60=66种结果，故选 D 考点：计数原理的应用 点评：本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是根据题意把符合条件的取法分成三种情况，利用组合数表示出结果，本题是一个基础题 对于 R上可导的任意函数 f（ x），若满足（ x-1） 30，则必有（ ） A f（ 0） f（ 2） 2f（ 1） 答案： C 试题分析：解：依题意，当 x1时， f（ x） 0，函数 f（ x）在（ 1，
6、+）上是增函数 ,当 x 1时， f（ x） 0， f（ x）在（ -， 1）上是减函数，故当 x=1时 f（ x）取得最小值，即有 ,f（ 0） f（ 1）， f（ 2） f（ 1）， f（ 0） +f（ 2） 2f（ 1）故选 C 考点：导数，函数极值 点评：本题以解不等式的形式，考查了利用导数求函数极值的方法 ，同时灵活应用了分类讨论的思想，是一道好题 在复平面内，复数 对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： B 试题分析：根据题意可知，复平面内，复数= ，故可知点位于第二象限，故选B. 考点：复数的几何意义 点评：本题考查复数代数形式的运算，复数和复平
7、面内的点的对应关系，是基础题 张不同的电影票全部分给 个人 ,每人至多一张 ,则有不同分法的种数是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：本题是一个分步计数问题， 3张不同的电影票全部分给 10个人，每人至多一张，第一张有 10种结果，第二种有 9种结果，第三种有 8种结果，根据分步计数原理得到结果。解：由题意知本题是一个分步计数问题， 3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张， 第一张有 10种结果，第 二种有 9种结果，第三种有 8种结果，根据分步计数原理有 1098=720种结果，故选 D 考点：分步计数问题 点评：本题考查分步计数问题，是一个典型的分步计数问题，题目包含三
8、个环节，看出三个环节的结果数，再根据分步乘法原理得到结果 在区间 上的最大值是（ ） A -2 B 0 C 2 D 4 答案： C 试题分析：由题意先对函数 y进行求导，解出极值点，然后再根据函数 的定义域，把极值点和区间端点值代入已知函数，判断函数在区间上的增减性，比较函数值的大小，求出最大值，从而求解 解： f（ x） =3x2-6x=3x（ x-2），令 f（ x） =0可得 x=0或 2（ 2舍去），当 -1 x 0时，f（ x） 0，当 0 x 1时， f（ x） 0， 当 x=0时， f（ x）取得最大值为 f（ 0） =2故选 C 考点：函数的最值 点评：解决的关键是利用导数的符
9、号判定函数单调性，并能结合极值得到最值，属于基础题。 曲线 与坐标轴围成的 面积是（ ） A 4 B C 3 D 2 答案： C 试题分析：根据图形的对称性，可得曲线 y=cosx， x 0， 与坐标轴围成的面积等于曲线 y=cosx， x 0， 与坐标轴围成的面积的 3倍，故可得结论。，故答案：为 3，选 C. 考点：定积分求面积 点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题的关键是利用余弦函数的对称性，属于基础题 i( )=（ ） A B C D 答案： B 试题分析：根据题意 ，由于 i =-1,则可知 i( )=i- = ,故可知答案：为B. 考点：复数的运算 点评：解决的关键是利用复数
10、的运算法则来求解，属 于基础题。 将 个不同的小球放入 个盒子中，则不同放法种数有（ ） A B C D 答案： B 试题分析：一个小球有 4种不同的方法，第二个小球也有 4种 不同的方法，第三个小球也有 4种不同的放法，即每个小球都有 4种可能的放法，根据分步乘法原理得到结果。解：本题是一个分步计数问题 对于第一个小球有 4众不同的方法，第二个小球也有 4众不同的方法，第三个小球也有 4众不同的放法，即每个小球都有 4种可能的放法，根据分步计数原理知共有即444=64，故选 B 考点：分步计数原理 点评：本题考查分步计数原理，是一个典型的分步计数问题，本题对于盒子和小球没有任何限制条件，可以
11、把小球随便放置，注意与有限制条件的元素的问题的解法 填空题 现有 5种不同颜色的染料 ,要对如图中的四 个不同区域进行着色 ,要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色 ,则不同的着色方法的种数是 种 答案： 试题分析：可分步研究涂色的种数，从 A处开始，再涂 B处， C处时进行分类，分 A，C相同，与不同两类，由计数原理计算出不同的着色结果数选出正确选项。解：由题意，先涂 A处，有 5种涂法，再涂 B处 4种涂法，第三步涂 C，若 C与 A同，则 D有四种涂法，若 C与 A不同，则 D有三种涂法，由此得不同的着色方案有 54（ 14+33）=260种，故 填写 260 考点：计数原理的应用 点
12、评：本题考查计数原理的应用，解题的关键是理解 “公共边的两块区域不能使用同一种颜色， ”根据情况对 C处涂色进行分类，这是正确计数，不重不漏的保证 仔细观察下面 4个数字所表示的图形： 请问：数字 100所代表的图形中有 个 小方格 . 答案： 试题分析：根据 4个数字所表示的图形，即可得出数字 n所代表的方格的个数是2n2+2n+1，即可得出数字 100所代表的图形中方格的个数 数字 0所代表的图形中方格的个 数是： 1，数字 1所代表的图形中方格的个数是： 5，数字 2所代表的图形中方格的个数是： 13，数字 3所代表的图形中方格的个数是： 25， 数字 n所代表的方格的个数是 2n2+2
13、n+1， 数字 100所代表的图形中方格的个数是：21002+2100+1=20201，故答案：为 20201。 考点：归纳推理 点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字 n所代表的方格的个数是2n2+2n+1是解题关键 曲线 y x3-x 3在点 (1,3)处的切线方程为 _ 答案： Y=2X-1 试题分析：先求出导函数，然 后将 x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，最后化成一般式即可。解： y=3x2-1，令 x=1得切线斜率 2，所以切线方程为y-3=2（ x-1）即 2x-y+1=0，故答案：为： 2x-y+1=0 考点：导数的几何意义 点评：本题主要考查导数
14、的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式，属于基础题 若复数 为纯虚数，则实数 的值等于 答 案： 试题分析：根据题意，结合复数的概念可知，复数 为纯虚数则有， ，这样解得 a=0,故答案：为 0. 考点：纯虚数的概念 点评：考查了复数的概念的运用，理解纯虚数的定义，是解题的关键，属于基础题。 解答题 个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？ （ 1）甲排头，（ 2）甲不排头，也不排尾，（ 3）甲、乙、丙三人必须在一起， （ 4）甲、乙之间有且只有 两人，（ 5）甲、乙、丙三人两两不相邻。 答案： (1) (2) (3) (4) (5) 试题分析：（ 1）甲固定不动，其
15、余有 ，即共有 种； （ 2）甲有中间 个位置供选择，有 ，其余有 ，即共有 种； （ 3）先排甲、乙、丙三人，有 ，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当于 人的全排列，即 ，则共有 种； （ 4）从甲、乙之外的 人中选个人排甲、乙之间，有 ，甲、乙可以交换有， 把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于 人的全排列， 则共有 种； （ 5）先排甲、乙、丙之外的四人，有 ，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排 这五个空位，有 ，则共有 种； 考点：排列组合的运用 点评： 运用排列组合的知识进行分步乘法计数原理的来求解，属于基础题。 设 f(x) a ln x x 1，其中 a R，曲线 y
16、 f(x)在点 (1， f(1)处的切线垂直于 y轴 (1)求 a的值； (2)求函数 f(x)的极值 答案：（ 1） a -1. （ 2） f(x)在 x 1处取得极小值 f(1) 3，无极大值 试题分析：解： (1)因 f(x) a ln x x 1， 故 . (2分 ) 由于曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线垂直于 y轴，故该切线斜率为 0，即 f(1) 0，从而 a- 0，解得 a -1. （ 4分） (2)由 (1)知 f(x) -ln x x 1 (x 0)， 令 f(x) 0，解得 x1 1， x2 - (因 x2 - 不在定义域内，舍去 )（ 6分） 当 x (0
17、,1)时， f(x) 0，故 f(x)在 (0,1)上为减函数； 当 x (1， )时， f(x) 0，故 f(x)在 (1， )上为增函数 故 f(x)在 x 1处取得极小值 f(1) 3，无极大值 (10分 ) 考点：导数的几何意义的运用，以及极值 点评：运用导数的符号判定函数的单调性，求解极值，属于基础题。 已知 设 ，求 . 如果 ，求实数 的值 . 答案：（ 1） 1 （ 2） 试题分析：解： （ 5分） （ 10分） 考点：复数的模的运算 点评：利用复数的除法法则和复数的概念来求解，属于基础题。 已知函数 有三个极值点。 （ I）证明： ； （ II）若存在实数 c，使函数 在区间
18、 上单调递减，求 的取值范围。 答案： (1)利用导数的符号判定函数单调性，以及桉树的极值，进而证明。 (2) 当 时， 所以 且 即 故 或 反之 , 当 或 时， 总可找到 使函数 在区间 上单调递减 . 试题分析：解：（ I）因为函数 有三个极值点 , 所以 有三个互异的实根 . 设 则 当 时， 在 上为增函数 ; 当 时， 在 上为减函数 ; 当 时， 在 上为增函数 ; 所以函数 在 时取极大值 ,在 时取极小值 . （ 3分） 当 或 时 , 最多只有两个不同实根 . 因为 有三个不同实根 , 所以 且 . 即 ,且 , 解得 且故 . （ 5分） （ II）由（ I）的证明可知，当 时 , 有三个极值点 . 不 妨设为 （ ），则 所以 的单调递减区间是 , 若 在区间 上单调递减， 则 , 或 , 若 ,则 .由（ I）知， ,于是 若 ,则 且 .由（ I）知， 又当 时， ; 因此 , 当 时， 所以 且 即 故 或 反之 , 当 或 时， 总可找到 使函数 在区间 上单调递减 . （ 10分） 考点：导数的运用 点评：解决的关键是利用导数的符号判定函数的单调性，以及函数的极值，属于基础题。
