1、2012-2013学年吉林省吉林市普通中学高一上学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 设全集 ， ， ，则 A B C D 答案： A 试题分析：因为 ， ，所以 = ,= = ，故选 A。 考点：本题主要考查集合的运算。 点评：简单题，理解并掌握集合的运算关系是关键。 已知函数 ，正实数 满足 且 ，若 在区间 上的最大值为 2，则 的值分别为 A ， 2 B ， C ， 2 D ， 4 答案： A 试题分析：画出函数图像，因为正实数 满足 且 ，且在区间 上的最大值为 2，所以 =2，由 解得，即 的值分别为 ， 2。故选 A。 考点：本题主要考查对数函数的图象和性质。 点评：基础
2、题，数形结合，画出函数图像，分析建立 m,n的方程。 已知两点 ，直线 l： ， P为直线 l上一点 .则最小值为 A B C D 答案： B 试题分析：因为点 位于直线 l： 的同侧，所以作出点 A关于直线 l的对称点 B（ x,y），连接 BO 与 l的交点即为所求点 P。由得 B（ ， ），所以 最小值为= ，故选 B。 考点：本题主要考查直线与直线的位置关系。 点评：典型题，通过确定对称点，转化成两点间距离计算问题，正确求得对称点坐标是关键。 如图长方体中， ，则二面角 的大小为 A 300 B 450 C 600 D 900 答案： A 试题分析：因为 ，所以取 BD的中点 O，连
3、，则 即为二面角 的一个平面角，由 = ， tan = 知= 300，故选 A。 考点：本题主要考查长方体的几何特征，二面角的计算。 点评：基础题，计算二面角 的大小，要遵循 “一作，二证，三计算 ”的步骤，作为选择题，重在作图、计算。 已知函数 是上的偶函数，当 x 0时 ，则 的解集是 A（ -1， 0） B（ 0， 1） C（ -1， 1） D 答案： C 试题分析：当 x 0时，由 0,x-1，即函数定义域为 ，选 C。 考点：本题主要考查对数函数的性质。 点评：简单题，利用对数的真数大于 0. 关于空间两条直线 、 和平面 ，下列命题正确的是 A若 ， ，则 B若 ， ，则 C若 ，
4、 ，则 D若 ， ，则 答案： D 试题分析：逐一分析： A若 ， ，则 错，有可能 ； B若， ，则 错，有可能 a,b相交或互为异面直线； C若 ，则 错， 有可能 a,b相交或互为异面直线；或由垂直于同一平面的两直线平行，迅速得解。 故选 D 考点：本题主要考查立体几何中线线平行与垂直。 点评：简单题，牢记立体几何中的定理是关键。由垂直于同一平面的两直线平行，可迅速得解。 若直线经过 两点，则直线 的倾斜角为 A B C D 答案： A 试题分析：由 ，且 ，所以直线 的倾斜角为 ，选 A。 考点：本题主要考查直线的斜率与倾斜角，特殊角的函数值。 点评：简单题，理解直线的斜率与倾斜角，牢
5、记特殊角的函数值。 填空题 将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得平面 平面 ，在折起后形成的三棱锥 中，给出下列三个命题： 是等边三角形； ； 三棱锥 的体积是 .其中正确的命题是 _.（写出所有正确命题的序号） 答案： . 试题分析：设正方形中点为 O，因为平面 平面 ，所以 ,斜边 BD=BC=CD,所以 是等边三角形；由 ,所以 ；三棱锥 的高即 DO，所以三棱锥 的体积为 = ，综上知正确的命题是 . 考点：本题主要考查几何体的特征，线面关系及体积计算。 点评：小综合题，折叠问题中要注意观察折叠前后那些 “不变量 ”，往往是解题不可缺少的条件。 已知 ,则 AB
6、C中 AB边上的高所在的直线 方程为 答案： ; 试题分析：因为 ，所以高线的斜率为 -2，由直线方程的点斜式可得 ABC中 AB边上的高所在的直线方程为 。 考点：本题主要考查直线方程、直线与直线的位置关系。 点评：基础题，利用高与 AB 垂直，确定直线 AB 的斜率后，求得高线的斜率，利用点斜式得解。 棱长为 2的正方体的顶点都在一个球的表面上，则这个球的表面积为 答案： ; 试题分析：正方体的对角线长 就是其外接球的直径，所以球的表面积为= 。 考点：本题主要考查几何体的几何特征。 点评：基础题，认识到正方体的对角线就是其外接球的直径是关键。 函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围
7、为 答案： ; 试题分析：因为函数 在区间 上是增函数，所以图象的对称轴 ，所以 。 考点：本题主要考查二次函数图象和性质。 点评：基础题，二次函数图象和性质为必考点，此类问题主要研究对称轴与区间界的相对位置。 解答题 （本题满分 10分） 已知直线 过点 与圆 相切， （ 1）求该圆的圆心坐标及半径长 （ 2）求直线 的方程 答案：（ 1） 圆心坐标为（， -），半径 （ 2）。 试题分析：（ 1） 圆心坐标为（， -），半径 -4分 （ 2）当直线 垂直于 x轴时，直线不与圆相切，所以直线的斜率存在， - 5分 设直线 的方程为 ，即 则圆心到此直线的距离为 由此解得 或 ， -8分 直线
8、 l的方程为： -10分 考点：本题主要考查圆的方程，直线方程及点到直线的距离公式。 点评：典型题，涉及直线与圆的位置关系问题，可根据题目特点选用 “代数法 ”、“几何法 ”，本解法选用的是几何法。 （本题满分 10分） 如图，在三棱柱 中， 平面 , ，点 是 的中点 . 求证：（ 1） ；（ 2） 平 面 . 答案：证明：（ 1）先证明 再证 平面 ，推出. （ 2）设 与 的交点为 ，连结 ，推出 是三角形 的中位线进一步推出 平面 . 试题分析：证明：（ 1） 平面 ， 平面 ， ， ， 平面 ， 平面 . -5分 （ 2）设 与 的交点为 ，连结 ， 为平行四边形，所以 为中点，又
9、是 的中点，所以 是三角形 的中位线， ，又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 . -10分 考点：本题主要考查立体几何中线面垂直、线面平行。 点评：典型题，立体几何中线面关系与线线关系的相互转化是高考重点考查内容，证明过程中要特别重要表达的准确性与完整性。 （本题满分 12分）已知： 且 ， （ 1）求 的取值范围； （ 2）求函数 的最大值和最小值及对应的 x值。 答案：（ 1） ； （ 2）当 ， ，此时 ；当 ， , 此时 。 试题分析：（ 1）由 得 ， -2分 由 得 -5分 （ 2）由（ 1） 得 。 -10分 当 ， ，此时 当 ， , 此时 -12分 考点：本题主要考查对数函
10、数的性质及其应用，二次函数图象和性质。 点评：典型题，复合对数函数问题，应特别注意其自身定义域。本题首先化成关于对数函数的二次函数，利用二次函数图象和性质得到最值。 （本题满分 12分） 如图， 是 的直径， 垂直于 所在的平面， 是圆周上不同于的一动点 （ 1）证明：面 PAC 面 PBC； （ 2）若 ，则当直线 与平面 所成角正切值为 时，求直线与平面 所成角的正弦值 答案： (1) 证明见；（ 2） 与平面 所成角正弦值为 。 试题分析： (1) 证明略 -6分 （ 2）如图，过 作 , , ,则 即是要求的角。 .8 分 即是 与平面 所成角， .9 分 ，又 .10 分 在 中，
11、,.11 分 在 中， ，即 与平面 所成角正弦值为。 .12分 考点：本题主要考查立体几何中线面垂直、直线与平面所成的角。 点评：典型题，立体几何中线面关系与线线关系的相互转化是高考重点考查内容，角的计算问题，要注意 “一作、二证、三计算 ”。 （ 本题满分 12分） 已知关于 的方程 : . （ 1）当 为何值时，方程 C表示圆。 （ 2）若圆 C与直线 相交于 M,N 两点，且 MN = ,求 的值。 （ 3）在（ 2）条件下，是否存在直线 ，使得圆上有四点到直线的距离为 ，若存在，求出 的范围，若不存在，说明理由。 答案：（ 1） 时方程 C表示圆。（ 2） ；（ 3）。 试题分析：（ 1）方程 C可化为 2 分 显然 时方程 C表示圆。 4 分 （ 2）圆的方程化为 圆心 C（ 1， 2），半径 则圆心 C（ 1， 2）到直线 l:x+2y-4=0的距离为 6 分 ，有 得 8 分 （ 3）设存在这样的直线 圆心 C（ 1， 2），半径 ， 则圆心 C（ 1， 2）到直线 的距离为 解得 -12分 考点：本题主要考查圆的方程及点到直线的距离公式。 点评：典型题，涉及直线与圆的位置关系问题，要关注弦长、半径、圆心到直线的距离三者关系。
