1、2012-2013学年吉林省长春二中高二上学期期末考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 某实验中学共有职工 150人，其中高级职称的职工 15人，中级职称的职工45人，一般职员 90人，现采用分层抽样抽取容量为 30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为 A 5、 10、 15 B 3、 9、 18 C 3、 10、 17 D 5、 9、 16 答案： B 试题分析：高级职称应抽取 ；中级职称应抽取 ；一般职员应抽取 。 考点：分层抽样 点评：本题主要考查分层抽样的定义与步骤分层抽样：当总体是由差异明显的几个部分组成的，可将总体按差异分成几个部分（层），再按各部分在总体中
2、所占比例进行抽样。 以 为中心， ， 为两个焦点的椭圆上存在一点 ，满足，则该椭圆的离心率为 A B C D 答案： C 试题分析：不妨设椭圆方程为 ，因为点 满足 ，所以点 M的横坐标为 ，代入椭圆方程得 M的纵坐标为 。因为，所以根据椭圆的定义知： ，即，由 M点的坐标得方程： ，整理得：，两边同除以 得： ，解得。 考点：椭圆的简单性质；椭圆的定义；椭圆离心率的求法。 点评：求圆锥曲线的离心率是常见题型，常用方法： 直接利用公式 ； 利用变形公式： （椭圆）和（双曲线） 根据条件列出关于 a、 b、 c的关系式，两边同除以 a,利用方程的思想，解出 即 e。 双曲线 的离心率为 ，则它的
3、渐近线方程为 A B C D答案： D 试题分析：因为双曲线 的离心率为 ，所以 ，即，所以 ，所以它的渐近线方程为 。 考点：双曲线的离心率；双曲线的渐近线方程。 点评：双曲线 的渐近线方程为 ；双曲线 的渐近线方程为 。 函数 的图象大致是 答案： B 试题分析：因为 ，所以 ，因为函数的定义域为 ,所以由 得： ；由 得： 。所以 内单调递增，在 单调递减。所以 C、 D排除。又因为 的最大值为，所以 的函数值都为负，因此选 B。 考点：函数的图像。 点评：一般的，判断函数的图像我们要根据定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊值或特殊点来进行判断。 已知随机事件 A与 B，经计算得到 的范围
4、是 3.841 6.635，则（下表是 的临界值表，供参考） P( x0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A. 有 95% 把握说事件 A与 B有关 B. 有 95% 把握说事件 A与 B无关 C. 有 99% 把握说事件 A与 B有关 D. 有 99% 把握说事件 A与 B无关 答案： A 试题分析：因为 3.841 6.635，所以有 95% 把握说事件 A与 B有关。 考点：独立性检验。 点评：本题主要考查独立性检验的应用，解本题的关键是理解临界值对
5、应的概率的意义，注意题目最后要写清楚所得到的结论 已知命题 ， ，则 为 A ， B ， C , D , 答案： C 试题分析：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题 ，的否定为： , 。 考点：特称命题；全称命题。 点评：本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握全称命题的否定方法“ x A，非 p（ x） ”的否定是 “ x A， p（ x） ”，是解答本题的关键 设 ，则 是 的 A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：由 可以得到 ；但由 得不到 ，例如： a=-1. 考点：充分、必要、充要条件的判断。 点评：熟练掌握充分、必要
6、、充要条件的判断，要想说明不成立，只需举反例即可。属于基础题型。 如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为 A B C D 答案： A 试题分析：设圆的半径为 r，则正方形的周长为 ，所以投中正方形区域的概率 。 考点：几何概型。 点评：本题考查的知识点是几何概型，几何概型的概率计算公式中的 “几何度量 ”，可以为线段长度、面积、体积、角度等，而且这个 “几何度量 ”只与 “大小 ”有关，而与形状和位置无关。 某品牌产品，在男士中有 10%使用过，女士中有 40%的人使用过，若从男女人数相等的人群中任取一人，恰好使用过该产品，则此人是位女士的概率是 A B C
7、D 答案： D 试题分析：记 “从男女人数相等的人群中任取一人，此人使用过该产品， ”为事件 A，记 “从男女人数相等的人群中任取一人，此人是位女士 ”为事件 B，设男女人数均为 m人，则 P(A) =0.25， P(AB) ，所以 。 考点：随机事件的概率；条件概率。 点评：本题考查条件概率，是高中阶段见到的比较少的一种题目，针对于这道题同学们要好好分析，再用事件数表示的概率公式做一遍，有助于理解本题。 已知 、 取值如下表： 2 4 6 8 1 5 3 7 从所得的散点图分析可知： 与 线性相关，且 ，则 A. B. C. D. 答案： B 试题分析：易知： ，又因为 。 考点：线性回归直
8、线方程；散点图。 点评：回归直线方程一定过样本点的中心 。属于基础题型。 填空题 已知点 为抛物线 上一点，记点 到 轴距离 ，点 到直线的距离 ，则 的最小值为 _. 答案： 试题分析：设抛物线 的焦点为 F（ 1,0），由抛物线的定义知： =|PF|-1，所以 ，所以 的最小值为焦点 F到直线的距离 -1，所以 。 考点：抛物线的定义；点到直线的距离公式。 点评：做此题的关键是把 “ 的最小值 ”转化为 “焦点 F到直线的距离 -1”。 若曲线 表示双曲线，则 的取值范围是 _. 答案： 试题分析：要是曲线 表示双曲线，需满足 ，解得，所以 的取值范围是 。 考点：双曲线的标准方程。 点评
9、：椭圆与双曲线的标准方程都可以由二元二次方程表示，但要注意区分两者形式的不同；其次要注意焦点位置不同时，参数 a、 b大小的不同 过曲线 上的点 的切线 的方程为 ，那么 点坐标可能为 _. 答案： 试题分析：设 P ，因为 ，所以 。因为点 的切线 的方程为，所以 ，解得： ，所以 点坐标可能为 。 考点：导数的几何意义。 点评：在某点处的导数就是在此地处切线的斜率。 函数 在区间 的最大值是 _. 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，由，所以函数 在，所以函数 在区间 的最大值是 。 考点：利用导数研究函数的单调性。 点评：在用导数求函数的单调区间时，要注意函数的定义域。 解答题 （ 8分）
10、对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 名学生作为样本，得到这 名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 10 0.25 25 2 0.05 合计 M 1 求出表中 、 及图中 的值； 若该校高一学生有 720人，试估计他们参加社区服务的次数在区间 内的人数； 在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于 20次的学生中任选 2人，求至多一人参加社区服务次数在区间 内的概率 . 答案： ， =0.125， p=340； ； 试题分析： 由题可知 ， ， ， . 又 ，解得 ， ， ， . 则 组的频率与组距之比 为 0.125
11、. 参加在社区服务次数在区间 内的人数为 人 . 在样本中，处于 内的人数为 3，可分别记为 ，处于 内的人数为 2，可分别记为 . 从该 5名同学中取出 2人的取法有共 10种；至多一人在 内的情况有 共 7种，所以至多一人参加社区服务次数在区间 内的概率为 . 考点：频率分布直方图；频率分布表；用样本的频率分布估计总体分布；随机事件的概率。 点评：本题考查频率分布直方图，考查阅读图像，信息提取，处理数据的能力在频率分布直方图中，小长方形的面积就是这组数据的频率。属于基础题型。 （ 10分）已知 在 x=2时有极大值 6，在 x=1时有极小值 . 求 的值； 求 在区间 上的最大值和最小值
12、. 答案： ； ， 。 试题分析： 由条件知 ， ， 1 3 0 - 0 6 由上表知，在区间 上，当 时， ，当 时，. 考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值。 点评：极值点的导数为 0，但导数为 0的点不一定为极值点。此题为常见题型，也是基础题。 （ 10分）过直角坐标平面 中的抛物线 ，直线 过焦点且与抛物线相交于 ， 两点 . 当直线的倾斜角为 时，用 表示 的长度； 当 且三角形 的面积为 4时，求直线 的方程 . 答案： ； 。 试题分析： 焦点 ，过抛物线的焦点且倾斜角为 的直线方程是，由. . 考点：抛物线与直线的位置关系；直线方程的点
13、斜式。 点评：本题主要考查直线与圆锥曲线之间的关系，实际上这种问题在解题时的解题方法类似，都需要通过方程联立来解决问题，注意本题中抛物线还有本身的特点，注意使用 （ 10分）设函数 . 求 的极值点； 若关于 的方程 有 3个不同实根，求实数 a的取值范围 . 已知当 恒成立，求实数 k的取值范围 . 答案： ； ；（ 3） 。 试题分析： . 由（ ）的分析可知 图象的大致形状及走向（图略） 当 的图象有 3个不同交点， 即方程 有三解 上恒成立 令 ，由二次函数的性质， 上是增函数， 所求 k的取值范围是 . 考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性和最值；恒成立问题。 点评：解决恒成立问题常用变量分离法，变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题， 思路 1： 在 上恒成立 ；思路 2: 在 上恒成立 。注意恒成立问题与存在性问题的区别。
