1、2012-2013学年江苏省扬州中学高二 12月月考数学试卷与答案（带解析） 填空题 已知命题 ： ， 则 答案： 试题分析：根据全称命题的否定为特征命题及 “”的否定为 “”可知：考点：本题主要考查了全称命题的否定 点评：全称（特称）命题的否定是近年高考热点问题，难度较低，要注意分清命题的否定与否命题的区别 . 在平面直角坐标系 xOy中，设 A、 B、 C是圆 x2+y2=1上相异三点，若存在正实数 ，使得 ，则 的取值范围是 答案： 试题分析： A， B， C互异， -1 1，由 得2=1+2-2 ，则 f（ ） =（ -3） 2+2=22-6-22 +10 22-8+102又 f（ ）
2、 =（ -3） 2+2=22-6-22 +10 22-4+10，无最大值， （ -3） 2+2的取值范围是（ 2， +） 考点：本题主要考查了平面向量基本定理及其意义 点评：本题考查向量知识的运用，考查函数的最值，确定函数式是关键 已知 A、 B、 C是椭圆 上的三点，点 F（ 3， 0） ,若，则 答案： 试题分析： a=5,b=4,c=3, e= ,设 ，又 ， ， ， 。 考点：本题主要考查了椭圆的第二定义及向量的运算。 点评：椭圆上的点到焦点的距离问题往往用椭圆的第二定义解决非常简单。 已知抛物线 到抛物线的准线距离为 d1，到直线的距离为 d2，则 d1+d2的最小值是 答案： 试题
3、分析：点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点 F（ 1,0）的距离，从而 d1= ，设点 F到直线 的距离为 d，则 ，易知 d1+d2d，故d1+d2最小值为 考点：本题考查了抛物线的定义及点到直线距离公式。 点评：此类题解答策略主要有：一是根据题目条件适当选择未知量，建立目标函数，再求函数的最值；二是利用抛物线的几何性质进行转化；三是根据题目条件建立多元等式，根据特点选择适当的方法进行求解 设 AB是平面 的斜线段， A为斜足，若点 P在平面 内运动，使得 ABP的面积为定值，则动点 P的轨迹是 答案：椭圆 试题分析：本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题，因为三角形面积为定值，以 A
4、B为底，则底边长一定，从而可得 P到直线 AB的距离为定值，分析可得，点 P的轨迹为一以 AB为轴线的圆柱面，与平面 的交线，且 与圆柱的轴线 斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得 P的轨迹为椭圆 考点：本题主要考查了平面与圆柱面的截面性质的判断 点评：解决此类问题意截面与圆柱的轴线的不同位置时得到的截面形状也不同 将参加数学竞赛的 1000名学生编号如下： 0001， 0002， 0003， ， 1000，打算从中抽取一个容量为 50的样本，按系统抽样的办法分成 50个部分。如果第一部分编号为 0001， 0002， ， 0020，从中随机抽取一个号码为 0010，则第41个号码为 。
5、 答案： 试题分析： 系统抽样是先将总体按样本容量分成 段，再间隔 k取一个又 现在总体的个体数为 1000，样本容量为 50， k=20， 若第一个号码为 0015，则第 40个号码为 0015+2039=0795 考点：本题主要考查了系统抽样的运用。 点评：掌握系统抽样的规律是解决此类问题的关键 “a+b 6”是 “a 2或 b 4”成立的 条件 .(填 “充分不必要 ”、 “必要不充分 ”、“充要 ”、 “既不充分也不必要 ”中的一个 ) 答案：充分不必要 试题分析： 命题 “若 a+b 6，则 a 2或 b 4”为真命题，命题 “若 a 2或 b4，则 a+b 6”为假命题， “a+b
6、 6”可以推出 “a 2或 b 4”成立，反之不成立。 “a+b 6”是 “a 2或 b 4”成立的充分不必要条件。 考点：本题主要考查了充要条件的判定。 点评：掌握充要条件常见问题的方法是解决问题的关键 右图是 2008年 “隆力奇 ”杯第 13届 CCTV青年歌手电视大奖赛上某一位选手的部分得分的茎叶统计图，则该选手的所有得分数据的中位数与众数之和为 答案： 试题分析：由茎叶图可知该选手得分按照由小到大的顺序排列为 78、 84、 84、84、 86、 87、 92、 94、 97，故其中位数为 86，众数为 84， 该选手的所有得分数据的中位数与众数之和为 86+84=170. 考点：本
7、题主要考查了茎叶图的运用。 点评：弄清中位数和众数的概念是解决此类问题的关键。 用分层抽样方法从某校学生中抽取一个容量为 45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽 10人，已知该校高二年级共有 300人，则该学校这三个年级共有 人 答案： 试题分析：由题意样本中高二年级有 45-20-10=15人，故抽取比例为 15:300.故这三个年级有 4530015=900人。 考点：本题主要考查了分层抽样的实际运用。 点评：分层抽样的特点就是等比例，应用可根据比例相等求解。 在平面直角坐 标系 中，双曲线 的右焦点为 ，一条过原点 且倾斜角为锐角的直线 与双曲线 交于 两点 .若 的面积为，则直线
8、的斜率为 _. 答案： 试题分析：设直线 的斜率为 k（ k0），则其方程为 y=kx，联立消 x得， ， ， ，又点 F（ 4,0）， ，化简得 ， . 考点：本题主要考查了直线与双曲线的位置关系。 点评：圆锥曲线中三角形面积问题是重要题型，往往要换底求解。 如图所示的程序框图运行后，输出的结果是 63，则判断框中的整数 H的值是 答案： 试题分析：第一次循环后 S=3， A=2；第二次循环后 S=7， A=3; 第三次循环后 S=15， A=4；第四次循环后 S=31， A=5; 第五次循环后 S=63， A=6；由题意此时要输出，故 H6且 H为整数，故 H=5. 考点：本题主要考查循环
9、结构框图的运用。 点评：对于探求条件试题，先循环后检验即可。 平面上满足约束条件 的点（ x， y）形成的区域为 D，区域 D关于直线 y=2x对称的区域为 E，则区域 D和区域 E中距离最近的两点的距离为 答案： 试题分析：先根据约束条件画出可行域，如图，作出区域 D关于直线 y=2x对称的区域，它们呈蝴蝶形，由图可 知，可行域内点 A（ -2， 2）到 A的距离最小，最小值为 A到直线 y=2x的距离的两倍， 最小值 =2 故填考点：本题主要考查了线性规划的运用 点评：画出区域然后利用转化思想和数形结合的思想求解即可。 已知 则满足条件的查找的条数是 _。 答案： 试题分析： 两点 M（
10、1， 0）， N（ -3，）， |MN|=4，分别以 A， B 为圆心，1， 3 为半径作两个圆，则两圆外切，有三条公切线即符合条件的直线有 3 条。 考点：本题主要考查了两圆的位置关系。 点评：此类问题利用数形结合进行解答更形象直观 关于某设备的使用年限 与所支出的维修费用 （万元）有如下统计资料，若由资料知 对 呈线性相关关系，且线性回归方程为 ，则 = 2 3 4 5 6 2 4 6 6 7 答案： 试题分析：由表中数据可知 ， 线性回归方程恒过点（ ）， ， = 考点：本题主要考查了回归直线方程的性质。 点评：线性回归直线方程恒过点（ ）是常考知识点。 解答题 命题 p： ，其中 满足
11、条件：五个数 的平均数是 20，标准差是 ； 命题 q： mtn ，其中 m,n满足条件：点 M在椭圆上，定点 A(1,0)， m、 n分别为线段 AM长的最小值和最大值。若命题 “p或 q”为真且命题 “p且 q”为假，求实数 t的取值范围。 答案： 或 或 。 试题分析：根据题设可求得 ，命题 p等价于： 或 ； 4 分 命题 q等价于： ， 8 分 p真 q假 12 分 14 分 综上所述满足条件 t范围为 或 或 。 16 分 考点：本题考查了不等式的解法及点与椭圆的位置关系和真值表的运用。 点评：椭圆上的点到定点的距离问题，往往利用二次函数及点坐标的范围求解。 如图，已知圆 O的直径
12、 AB=4，定直线 L到圆心的距离为 4，且直线 L 直线 AB。点 P是圆 O上异于 A、 B的任意一点，直线 PA、 PB分别交 L与 M、 N点。试建立适当的直角坐标系，解决下列问题： （ 1）若 PAB=30，求以 MN为直径的圆方程； （ 2）当点 P变化时，求证：以 MN为直径的圆必过圆 O内的一定点。 答案：（ 1） ；（ 2）详见答案：。 试题分析：（ 1）建立如图所示的直角坐标系， O的方程为 ，直线L的方程为 。 2 分 （ 1） PAB=30， 点 P的坐标为 ， ， 。将 x=4代入， 得 4 分 。 MN的中点坐标为（ 4， 0）， MN= 。 6 分 以 MN为直径
13、的圆的方程为 。同理，当点 P在 x轴下方时，所求圆的方程仍是 。 8 分 （ 2）设点 P的坐标为 ， （ ）， 。 ，将 x=4代入，得 ，。 10 分 ， MN= 。 MN的中点坐标为。 12 分 以 MN为直径的圆 截 x轴的线段长度为 为定值。 必过 O 内定点 。 16 分 考点：本题考查了用法求圆的方程及性质。 点评：用待定系数法求圆的方程要注意两点：第一，究竟用标准方程还是一般方程要根据题设条件选择，选择得当，解法就简捷，选择不当，会增加解答的难度；第二，要注意适时运用几何知识列方程，这样可能大大减少运算量 已知抛物线 的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线 ： 的一个焦点 且垂
14、直于 的两个焦点所在的轴，若抛物线 与双曲线 的一个交点是 （ 1）求抛物线 的方程及其焦点 的坐标； （ 2）求双曲线 的方程及其离心率 答案：（ 1） ， 。（ 2） ， 试题分析：（ 1）由题意可设抛物线 的方程为 把 代入方程 ，得 因此，抛物线 的方程为 于是焦点6 分 （ 2）抛物线 的准线方程为 ，所以 ，而双曲线 的另一个焦点为 ，于是 因此 ， 10 分 又因为 ，所以 于是，双曲线 的方程为12 分 因此双曲线 的离心率 14 分 考点：本题考查了抛物线与双曲线的定义、方程及性质。 点评：掌握抛物线和双曲线的方程是解决此类问题的关键。 先后 2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分
15、别记为 a,b （ 1）求直线 ax by 5=0与圆 x2 y2=1相切的概率； （ 2）将 a,b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）先后 2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为 a,b,事件总数为 66=36 直线 ax by c=0与圆 x2 y2=1相切的充要条件是 即： a2b2=25， 2 分 由于 a,b 1， 2， 3， 4， 5， 6 满足条件的情况只有 a=3,b=4,c=5；或 a=4,b=3,c=5两种情况 4 分 直线 ax by c=0与圆 x2 y2=1相切的概率是 6 分 （ 2）先后
16、 2次抛掷一枚骰子，将得到的点数 分别记为 a,b,事件总数为 66=36 三角形的一边长为 5 当 a=1时， b=5，（ 1， 5， 5） 1种 当 a=2时， b=5，（ 2， 5， 5） 1种 当 a=3时， b=3， 5，（ 3， 3， 5），（ 3， 5， 5） 2种 当 a=4时， b=4， 5，（ 4， 4， 5），（ 4， 5， 5） 2种 当 a=5 时， b=1， 2， 3， 4， 5， 6， （ 5， 1， 5），（ 5， 2， 5），（ 5， 3， 5）， （ 5， 4， 5），（ 5， 5， 5），（ 5， 6， 5） 6种 当 a=6时， b=5， 6，（ 6，
17、5， 5），（ 6， 6， 5） 2种 故满足条件的不同情况共有 14种 12 分 答：三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为 14 分 考点：本题考查了古典概型的应用，考查了学生分析问题解决问题的能力。 点评：对于古典概型的概率的计算，首先要分清基本事件总数及事件 包含的基本事件数，分清的方法常用列表法、画图法、列举法、列式计算等方法。 从某校参加 2012年全国高中数学联赛预赛的 450名同学中，随机抽取若干名同学，将他们的成绩制成频率分布表，下面给出了此表中部分数据 （ 1）根据表中已知数据，你认为在 、 、 处的数值分别为 ， ， （ 2）补全在区间 70， 140 上的频率分布直方图
18、； （ 3）若成绩不低于 100分的同学能参加决赛，那么可以估计该校大约有多少学生能参加决赛？ 答案：（ 1） 50； 0.04； 0.10（ 2）如图 （ 3） 207 试题分析：（ 1） 50； 0.04； 0.10 6 分 （ 2）如图 10 分 （ 3）在随机抽取的 名同学中有 名出线 , 答：在参加的 名中大概有 207名同学出线 14 分 考点：本题考查了频率分布直方图的画法及运用。 点评：本题第 (1)利用了频率分布表的频率之和为 1，再根据比例关系即求得频数，根据此二数 据即可顺利补充完整图 . 已知曲线 所围成的封闭图形的面积为 ，曲线的内切圆半径为 记 为以曲线 与坐标轴的
19、交点为顶点的椭圆 （ 1）求椭圆 的标准方程； （ 2）设 是过椭圆 中心的任意弦， 是线段 的垂直平分线 是 上异于椭圆中心的点 （ i）若 （ 为坐标原点），当点 在椭圆 上运动时，求点 的轨迹方程； （ ii）若 是 与椭圆 的交点，求 的面积的最小值 答案： (1) ； (2) （ i） ,（ ii） 试题分析：（ 1）由题意得 又 ，解得 ，因此所求椭圆的标准方程为 4 分 （ 2）（ i）假设 所在的直线斜率存在且不为零，设 所在直线方程为， 解方程组 得 ， ， 所以 6 分 设 ，由题意知 ，所以 ，即，因为 是 的垂直平分线，所以直线 的方程为，即 ，因此 ， 8 分 又 ，所以 ，故 又当 或不存在时，上式仍然成立 综上所述， 的轨迹方程为 10 分 （ ii）当 存在且 时，由（ 1）得 ， ， 由 解得 ， ， 所以 ， ， 12 分 由于 ，当且仅当 时等号成立，即 时等号成立，此时 面积的最小值是 14分 当 ， 当 不存在时，综上所述， 的面积的最小值为 16 分 解法二： 因为 ， 又 ， ， 当且仅当 时等号成立，即 时等号成立， 此时 面积的最小值是 当 ， 当 不存在时， 相关试题 2012-2013学年江苏省扬州中学高二 12月月考数学试卷（带）
