1、2012-2013学年江西省吉安二中高二月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 如果命题 “ ”为假命题，则 A 均为真命题 B 均为假命题 C 至少有一个为真命题 D 中至多有一个为真命题 答案： C 试题分析： 为假命题 是真命题， 中至少一个为真命题 考点：复合命题的真假判定 点评： 为真，则 为假； 为真，则 同时为真； 为真，则至少有一个为真 已知圆的方程为 ，若抛物线过点 ， 且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是 A B C D 答案： B 试题分析：抛物线上 ， 到准线的距离 即到圆的切线的距离，由图形结合梯形中位线可得 ，由抛物线定义可知 到抛物线焦点的距离之和等于
2、 4，即动点（焦点）到两定点的距离之和为 4，大于间距离，符合椭圆定义，所以抛物线焦点的轨迹是以 为焦点的椭圆（除去长轴端点），长轴为 4，焦距为 2， ，方程为考点：抛物线定义，椭圆定义，直线与圆相切得位置关系 点评：此题难度较大，综合应用了椭圆，抛物线定义及直线和圆相切的性质 已知点 P是抛物线 上的动点，点 P在 y轴上的射影是 M，点 A的坐标是 ，则 的最小值是 A B 4 CD 5 答案： C 试题分析：抛物线 焦点 ，准线 ，依据抛物线定义可知,所以当 三点共线时，距离和最小，此时最小距离为 考点：利用抛物线定义求距离最值 点评：利用抛物线定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线
3、的距离可实现线段的转化 已知动点 M的坐标满足 ，则动点 M的轨迹方程是 A椭圆 B双曲线 C抛物线 D以上都不对 答案： A 试题分析： 变形为 ，该式表示动点到定点 的距离与到定直线 的距离比为常数 ，根据椭圆的第二定义可知动点的轨迹是椭圆 考点：定义法判定动点的轨迹轨迹方程 点评：椭圆的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数（小于 1）的动点的轨迹是椭圆 如图，在平面直角坐标系 中， 为椭圆的四个顶点， F为其右焦点，直线 与直线 B1F相交于点 T，线段 OT与椭圆的交点 M恰为线段 OT的中点，则该椭圆的离心率为 A B C D 答案： A 试题分析：直线 方程为 ，直线
4、方程为 ，联立方程得 代入椭圆整理的即 考点：椭圆离心率 点评：求离心率的值需找到关于 的齐次方程，本题思路简单，计算量较大 设 是 三个内角 所对应的边，且 ，那么直线与直线 的位置关系 A平行 B垂直 C相交但不垂直 D重合 答案： B 试题分析：直线 的斜率 ，直线的斜率 ，所以两直线垂直 考点：正弦定理及直线垂直的判定 点评：正弦定理 ,两直线斜率相乘等于 -1，则两线垂直 ； ； 抛物线 过原点； 其中满足 p是 q的充要条件的命题个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 答案： C 试题分析： ， p是 q的充分不必要条件； 或 ， p是 q必要不充分条件； 抛物线过原点， p是 q
5、的充要条件； ， p是 q的充要条件 考点：充分条件与必要条件 点评：若 则 是 的充分条件， 是 的必要条件 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1的球面上，其底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积为 A B C D 答案： C 试题分析：球的大圆半径为 1，所以正三棱锥底面三角形是半径为 1的圆的内接正三角形，边长为 ，底面积为 ，顶点到底面的距离等于半径 1，所以体积为 考点：球内接正三棱锥的体积 点评：求解本题的关键在于分析清球与正三棱锥的联系，从而由球的半径得到正三棱锥中的边的长度 已知 ， O是坐标原点，则 等于 A B C D 答案： A 试题分析： 考点：向量加法的
6、坐标运算及向量的模 点评：向量加法的坐标运算只需将向量对应坐标相加，若 ，则方程 表示的图形 A是一个点 B是一个圆 C是一条直线 D不存在 答案： D 试题分析： 中，因为 所以方程不表示任何图形 考点：圆的一般方程 点评：方程 表示圆的充要条件是 填空题 下面关于四棱柱的四个命题： 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； 若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； 若四个侧面面面全等，则该四棱柱为直四棱柱； 若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱。 其中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）。 答案： 试题分析： 中只有两侧面相交且都垂直于底面时该四
7、棱柱为直四棱柱 四个侧面还可能都是全等的平行四边形，此时棱柱不是直棱柱 由线面垂直的判定定理可知棱柱为直棱柱 考点：直四棱柱的判定 点评：直四棱柱是侧棱与底面垂直的四棱柱，四个侧面，对角面都是矩形 若正三角形的一个顶点在原点，另两个顶点在抛物线 上，则这个三角形的面积为 。 答案： 试题分析：设正三角形在第一象限的点为 ，由正三角形性质可得 ，点在抛物线上得 考点：抛物线与直线相交问题 点评：本题利用抛物线的对称性可知正三角形两顶点关于 x轴对称，因此求得即可得到三角形的边长 设命题 ，命题 ，若 是 的必要而不充分条件，则实数 a的取值范围是 。 答案： 试题分析：命题 化简得 ，命题化简得
8、 ，因为 是 的必要而不充分条件考点：绝对值不等式一元二次不等式及充分条件与必要条件 点评：一元二次不等式中两根的大小关系要确定。若 则 是 的充分条件， 是 的必要条件 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为 。 正视图 侧视图 俯视图 答案：正四棱台 试题分析：由俯视图可知几何体底面为正方形，侧面为等腰梯形，所以该几何体是正四棱台 考点：棱台的三视图 点评：熟练掌握常见几何体：棱柱棱锥棱台圆柱圆锥圆台球的三视图，与题目给定的图形比较确定几何体的形状 若直线 与曲线 有公共点，则b的取值范围为 。 答案： 试题分析：曲线 表示以原点为圆心，半径为 2的圆在 x轴以上的部分，结合图形可知当直
9、线过点 时， b最小为 -2，当直线与曲线相切时， b最大，此时 考点：数 形结合法求参数范围 点评：本题中曲线 表示的是 x轴上方半圆，这一点容易忽略 解答题 (12分 )已知 有两个不等的负根， 无实数根，若 p或 q为真， p且 q为假，求 m的取值范围。 答案： 试题分析： 有两个不等的负根，即 2 分 无实数根 ，即4 分 p或 q为真， p且 q为假， p、 q只有一个为真 p真 q假时 p假 q真时综上所述， m的取值范围为12 分 考点：一元二次方程的根的判定及复合命题真假 点评：方程两个相等的实根 ，方程两个不等的实根 ，方程无实根 为真，则 为假； 为真，则 同时为真；为真
10、，则 至少有一个为真 (12分 ) 已知四棱锥 ， 底面ABCD，其三视图如下，若 M是 PD的中点 求证： PB/平面 MAC； 求直线 PC与平面 MAC所成角的正弦值。 答案： 以 A为原点，分别以 AB、 AD、 AP所在直线为 x， y， z轴建立空间直角坐标系 Axyz ，PB/平面 MAC 试题分析：由三视图知，四棱锥 的底面ABCD是边长为 1的正方形， PA 底面 ABCD且PA=2，如图，以 A为原点，分别以 AB、 AD、 AP所在直线为 x， y， z轴建立空间直角坐标系 Axyz 则 而 平面 MAC， PB/平面MAC5 分 设平面 MAC的一个法向量为 则 由 知
11、 ，令 ，则 设 PC与平面 MAC所成的角为 ， 则 直线 PC与平面 MAC所成角的正弦值为12 分 考点：三视图，空间线面平行的判定及线面角的计算 点评：本题先要由三视图还原出直观图，并找到对应的边长，结合直观图的特点采用空间向量的方法计算证明较简单，线面角 的计算公式 其中是直线的方向向量， 是直线的法向量 (12分 ) 已知 在抛物线上， 的重心与此抛物线的焦点 F重合 。 写出该抛物线的标准方程和焦点 F的坐标； 求线段 BC的中点 M的坐标； 求 BC所在直线的方程。 答案： 方程为 ，焦点 F的坐标为 试题分析： 由点 在抛物线 上，有解得 p =16，所以抛物线方程为 ，焦点
12、 F的坐标为 。 解法一：由于 是 的重心，设 M是 BC的中点， 所以 ，即有 设点 M的坐标为 ，所以 解得 ，所以点 M的坐标为 解法二： M是 BC的中点， 点 在抛物线上，又点 在直线 BC上 12分 考点：抛物线方程及抛物线中的中点弦问题 点评：圆锥曲线的中点弦问题（直线与圆锥曲线相较于两点，涉及到弦的中点）采用点差法推理化简较容易，计算量小 (12分 )已知圆 C1： 与圆C2： 相交于 A、 B两点。 求公共弦 AB的长； 求圆心在直线 上，且过 A、 B两点的圆的方程； 求经过 A、 B两点且面积最小的圆的方程。 答案： 试题分析： 由两圆方程相减即得 此为公共弦 AB所在的
13、直线方程 圆心 半径 C1到直线 AB的距离为 故公共弦长 圆心 ，过 C1， C2的直线方程为，即 由 得所求圆的圆心为 它到 AB的距离为 所求圆的半径为 所求圆的方程为 过 A、 B且面积最小的圆就是以 AB为直径的圆 由 ，得圆心 半径 所求圆的方程为 考点：直线与圆相交的弦长及圆的标准方程 点评：直线与圆相交时圆的半径，圆心到直线的距离，弦长的一半构成直角三角形，第一问主要利用此三角形求解；第二问还可用待定系数法求方程 (13分 ) 如图，已知椭圆的两个焦点分别为 ，斜率为 k的直线 l过左焦点 F1且与椭圆的交点为 A， B与 y轴交点为 C，又 B为线段 CF1的中点，若 ，求椭
14、圆离心率 e的取值范围。 答案： 试题分析：设 ，则，因为 B在椭圆上 所以 ，即 即 ，所以 考点：椭圆离心率范围 点评：求离心率范围，结合已知条件斜率 k有一定的范围，因此要找到离心率与 k的关系，通过 k的范围找到离心率范围，本题难度不大 (14分 )如图，在三棱锥 SABC 中， 是边长为 4的正三角形，平面 SAC 平面 ABC， SA = SC = ， M、 N分别为 AB、 SB的中点。 求证： AC SB； 求二面角 NCMB 的正切值； 求点 B到平面 CMN的距离。 答案： 取 AC中点 O，连结 OS、 OB SO 平面 ABC， SO BO如图建立空间直角 坐标系 Oxyz 试题分析： 取 AC中点 O，连结 OS、 OB 平面 平面 ABC，平面 SAC 平面 ABC=AC SO 平面 ABC， SO BO 如图建立空间直角坐标系 Oxyz 则 由 得 设 为平面 CMN的一个法向量，则，取 则 又 为平面 ABC的一个法向量 由 得 为平面CMN的一个法向量 点 B到平面 CMN的距离14 分 考点：线线垂直的判定，二面角点面距的计算 点评：本题的关键是由已知条件找到建立空间直角坐标系的合适位置，进而找到相关点，向量的坐标，代入线面角点面距的向量计算公式求解，有一定的难度
