1、2012-2013学年浙江省杭州十四中高一上学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 若向量 =（ 2,3）， =（ 4,7），则 = A（ -2,-4） B (2,4) C (6,10) D (-6,-10) 答案： A 试题分析： = （ -2,-4） . 考点：向量是加减运算。 点评：注意：向量的加减运算的结果仍然是一个向量。属于基础题型。 对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 若平面向量 满足 ， 与 的夹角 ，且 和 都在集合 中，则 = A B 1 CD 答案： C 试题分析： , ,两式相乘 ,可得.因为 ,所以 、 都是正整数 ,于是 ,即,所以 .而 ,所以 , ,于是
2、. 考点：向量的综合应用。 点评：做此题的关键是迅速理解新定义，然后根据新定义来做题。对学生的理解能力要求较高。此题难度较大，我们要认真分析，仔细解答。 若关于 的二次函数 的图象与端点为 、 的线段（包括端点）只有一个公共点，则 不可能为 A B C D 答案： B 试题分析：过点 、 的直线方程为： y=x+2( )，代入二次函数 得， ，因为 ，所以要满足只有一个公共点，需 ，即 ，所以不满足条件的只有选项 B。 考点：基本不等式；二次函数的性质。 点评：此题主要考查对号函数，我们要熟练掌握对号函数的图像。做此题的关键是把已知条件转化为 “ ，在 内只有一解 ”，体现了数形结合的思想。
3、把函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），然后向左平移 1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是答案： A 试题分析：把函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），得到函数 的图像，然后向左平移 1个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到函数 的图像，所以应选 A。 考点：三角函数图像的变换。 点评：在图像进行伸缩变化时 ,我们一定要注意：把函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），应得到函数 的图像，这里有个倒数关系，我们一定要记准。 设 R，向量 且 ，则 A B C D 10 答案： B 试题分析：因为 ，所以 ，
4、 =所以， ，所以 ，所以。 考点：向量平行的条件；向量垂直的条件；向量的模。 点评：向量的平方就等于其模的平方，我们要熟记这条性质，且能灵活应用。一般的时候有向量的模的时候就要想到这条性质。 已知 ， (0, )，则 = A 1 BC D 1 答案： A 试题分析：因为 ， 两边平方，得 ， ，所以 ，两式联立，解得。 考点：同角三角函数关系式。 点评：此题也可以用最基本的方法来做：联立方程组 来求解，这种方法的缺点是计算复杂，优点是思维含量较少。 函数 的定义域是 A B C D 答案： D 试题分析：由 ，所以函数的定义域为。 考点：与三角函数有关的定义域问题。 点评：求使三角函数 成立
5、的 x的值，我们可以借助三角函数的图像，也可以用三角函数线的来解决。 的值属于区间 A B C D 答案： B 试题分析 : ，又，所以 的值属于区间 。 考点：对数函数的单调性；对数的运算；换底公式。 点评：熟记对数的运算法则及换底公式。属于基础题型。 定义域为 R的函数 的值域为 ，则函数 的值域为 A B C D 答案： C 试题分析：由 左右平移 |a|的个单位（ a0向左， a0向右）得到的图像，因为函数 的值域为 ，所以函数的值域为 。 考点：函数的值域；函数图像的平移变换。 点评：注意：左右平移不改变函数的值域；上下平移不改变函数的定义域。 设 、 、 ，则有 A B C D 答
6、案： B 试题分析：因为 ， ， ，所以 。 考点：指数函数的单调性；对数函数的单调性。 点评：我们应熟练掌握利用指数、对数函数的单调性比较数的大小。错这类题，我们通常引入中间量，常用的中间量为 0和 1. 填空题 如图，已知正方形 ABCD的边长为 l，点 E是 AB边上的动点则的最大值为 _ 答案： 试题分析：根据平面向量数量积的几何意义得：当点 E在点 B时， 值的最大，此时 ，所以 的最大值为 1. 考点：平面向量数量积的几何意义；向量的投影。 点评： 方向上的投影就是 。属于基础题型。 已知 、 且 ，则 的取值范围为 _ 答案： 试题分析：易知：直线与 x轴的交点到原点的距离最大，
7、最大为 1；原点到直线 的距离为 ，所以 的取值范围为 。 考点：简单的线性规划的问题；点到直线的距离公式。 点评：对于解决线性规划的问题我们的关键点在于分析目标函数。目标函数除了我们常见的 这种形式外，还有常见的两种： ，第一种的几何意义为：过点 与点 (a,b)直线的斜率。第二种的几何意义为：点 与点 (a,b)的距离。 函数 的零点个数为 _ 答案： 试题分析：由 得 ，在同一坐标系内画出函数的图像，由图像知，两函数图像交点的个数为 0个，所以函数 的零点个数为 0. 考点：函数的零点；函数的图像。 点评：本题主要考查数形结合的数学思想。函数的零点、函数图像的交点、方程的根三者是等价的，
8、我们要注意它们之间的灵活转化。属于中档题。 已知向量 夹角为 ，且 ；则 _ 答案： 试题分析：因为 ，所以。 考点：向量的模；向量的数量积。 点评：向量的平方就等于其模的平方，一般有向量的模的时候，要用到这条性质。 函数 的一个单调减区间为 _ 答案： 的任何一个非空子集 试题分析：设 ， 因为 ， 所以 ，又 ，所以 在 ，所以答案：可以填的任何一个非空子集。 考点：函数的单调性；复合函数单调性的判断。 点评：此题是一个开放题型，答案：有很多种，我们只要填 的任何一个非空子集都可以。注意考查的是复合函数单调性的判断。判断复合函数的单调性，我们只需要把握四个字 “同增异减 ”。 幂函数 的图
9、像过点 ，则 =_ 答案： 试题分析：设幂函数 ，所以= 。 考点：幂函数的概念。 点评：熟记幂函数的形式，注意幂函数与指数函数的区分。属于基础题型。 若 ，则 =_ 答案： 试题分析：因为 ， 所以 。 考点：三角函数求值；诱导公式。 点评：我们要注意 的计算，此为做题的关键，属于基础题型。 解答题 （ 1）（ 5 分）若函数 ，则 _ （ 2）（ 5分）化简： =_ 答案：（ 1） 2.（ 2） 。 试题分析： (1) ， 。 。故选 2。 (2)将原式分子第一项中的度数 47=17+30，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值： 。 考点：
10、分段函数的有关问题；和差公式； 点评：（ 1）对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值。同时，要注意自变量 的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段式。 如图， ABCD是一块边长为 100m的正方形地皮，其中 AST是一半径为90m 的扇形小山，其他部分都是平地一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点 P在弧 ST上， 相邻两边 CQ， CR落在正方形的边 BC， CD上，求矩形停车场 PQCR的面积 S的最大值和最小值（结果取整数） 答案： （ ）； （ ） 试题分析：如图， 设 ， ，则 、 ，； （ 3分） 令 ，
11、由 得 ，； （ 3分） 取 时， （ ）； 取 时， （ ） （ 4分） 考点：函数的实际应用题。 点评：研究数学模型，建立数学模型，进而借鉴数学模型，对提高解决实际问题的能力，以及提高数学素养都是十分重要的建立模型的步骤可分为： (1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示； (2) 根据所给条件，运用数学知识，确定等量关系； (3) 写出 的式并指明定义域。 答案：（ 1） ； 2） 。 试题分析：（ 1）根据题意可知圆滚动了 2 单位个弧长，点 P 旋转了 弧度，此时点 P的坐标为： ， 。 。 （ 2）如图所示，以 为原点，向量 所在直线为 轴，过 所在直线为轴建立平面直
12、角坐标系。 在矩形 中， ， 。 设 ，则 。 由 得， 。 的坐标为 。 。 。 ， 。 的取值范围是 。 考点：圆的综合应用；平面向量的数量积；向量的坐标。 点评：向量的坐标就是终点的坐标减去起点的坐标。做第一问的关键是弄清点P转了多少弧度。 已知定义在实数集 上的奇函数 （ 、 ）过已知点 （ ）求函数的式； （ ）试证明函数 在区间 是增函数；若函数 在区间（其中 ）也是增函数，求 的最小值； （ ）试讨论这个函数的单调性，并求它的最大值、最小值，在给出的坐标系（见答题卡）中画出能体现主要特征的图简； （ ）求不等式 的解集 答案：（ 1） ；（ 2）用定义法证明， 的最小值为 （ 3
13、）， （ 4） 。 试题分析：（ 1）由奇函数 得 ，得 ，又过 点得；所以 ，显然可以发现它是一个奇函数 （ 3分） （ 2）设 ，有 ， 这样就有 ， 即函数 在区间 是增函数 对于函数 在区间 （ ）也是增函数， 设 ，有 ； 这样，欲使 成立， 须使 成立，从而只要 就可以，所以 ，就能使函数 在区间 是增函数； 的最小值为 （ 3分） （ 3）由（ 2）可知函数 在区间 是增函数； 由奇函数可知道，函数 在区间 也是增函数； 那么，在区间 呢？设 ，有 ；这样，就有 成立，即 ，所以，函数在区间 是减函数 这样，就有 ， 图像如下所示 （ 3分） （ 4）因为 ， ，由（ 3）知道函
14、数 在区间 是减函数，这样，不等式可以化为 ，即； 它的解集为 （ 3分） 考点：函数的奇偶性；函数的单调性、最值；函数的图片； 点评：（ 1）若 f(x)是奇函数，且在 x=0处有定义，则 f(0)一定为 0.（ 2）用定义法证明函数的单调性的步骤：一设二作差三变形四判断符号五得出结论，其中最重要的是四变形，最好变成几个因式乘积的形式，这样便于判断符号。（ 3）解 这类不等式的关键是根据函数的单调性脱去“f”号。 已知向量 ，设函数 的图象关于直线 =对称，其中 为常数，且 （ ）求函数 的最小正周期； （ ）若 的图象经过点 ，求函数 在区间 上的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） 。
15、试题分析： （ 4分） （ ） 函数 的图像关于直线 =对称， 。 。 又 ， 。 的最小正周期为 （ 3分） （ II）若 的图像经过点 ，则有 ， 。 。 ， 。 。 函数 在区间 上的取值范围为 （ 3分） 考点：平面向量的数量积；三角函数 的性质；二倍角公式；化一公式 。 点评：本题以向量的方式来给出题设条件，来考查三角有关的知识，较为综合。同时本题对答题者公式掌握的熟练程度要求较高，是一道基础题我们在做题时，一定要仔细、认真，避免出现计算错误。 在 中，已知 ， （ ）求 的值； （ ）求三个内角 、 、 的值 答案：（ 1） ；（ 2） 、 、 的值分别为 、 、 试题分析：由 化
16、简的结果是 ；（ 2分） 由 化简的结果是 ； （ 2分） 上两式平方和、化简后为 ，结合 得： （ 1） （ 3分） （ 2）三个内角 、 、 的值分别为 、 、 （ 3分） 考点：诱导公式；同角三角函数关系式。 点评：诱导公式较多，较难记，我么很多同学易记错，且在做三角有关的问题时，经常碰到诱导公式，因此我们在平常的学习中，一定要把诱导公式记熟、记准！ 已知 （ 且 ） （ ）求 的定义域； （ ）求使 的 取值范围 答案： (1) ； (2) 当 时，取值范围为 ；当 时， 取值范围为 试题分析： (1）由 ，所以函数的定义域为 ； （ 4分） （ 2）当 时，由 ，所以使 的 取值范围
17、为 ； （ 3分） 当 时，由 ，所以使 的 取值范围为 （ 3分） 考点：函数定义域的求法；对数函数的性质；分式不等式的解法。 点评：（ 1）在解分式不等式时，最好让 x前的系数都为正的，不然容易出错。（ 2）由 ，容易出错，易忘掉真数大于 0的这个限制。 已知 ， ，其中 （ 1）求证： 与 互相垂直； （ 2）若 与 的长度相等，求 的值 ( 为非零的常数 ) 答案：（ 1） 。（ 2） 。 试题分析：（ 1）证明： ， 与 互相垂直 . （ 2） ； ， ， ， 而 ， . 考点：向量的数量积；向量的模；向量垂直的条件；向量的运算。 点评：熟记向量平行和垂直的条件，设 ： 非零向量垂直的充要条件： ； 向量共线的充要条件： 。
