1、2012-2013学年浙江省杭州地区七校高二期中联考数学试卷与答案（带解析） 选择题 直线 的倾斜角是 ( ) A 300 B 600 C 1200 D 1350 答案： C 试题分析：由已知 ，且 ，所以直线 的倾斜角是 1200, 故选 C。 考点：本题主要考查直线的倾斜角，直线的斜率。 点评：简单题，倾斜角不等于 90时，直线的斜率是直线倾斜角的正切。 已知直线 和圆 ，圆心为 M,点 在直线 上，若圆 与直线 至少有一个公共点 ，且 ，则点 的横坐标的取值范围是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：设点 A的坐标为（ x0， 6-x0），圆心 M到直线 AC的距离为 d，则d
2、=|AM|sin30， 直线 AC与 M有交点， d=|AM|sin302， （ x0-1） 2+（ 5-x0） 216， 1x05，故选 B 考点：本题主要考查直线与圆的位置关系。 点评：典型题，关键是能结合题意，分析图形特征，利用数形结合思想，由直线 AC与 M有交点，得到 d的范围。 如图，在正方体 中，点 在线段 上移动，则异面直线与 所成的角 的取值范围 ( ) A B C D 答案： A 试题分析： ， CP与 成角可化为 CP与 成角 A 是正三角形可知当 P与 A重合时成角为 ， P不能与 重合因为此时 与 平行而不是异面直线， ，故选 A 考点：本题主要考查立体几何中的平行关
3、系、垂直关系及角的计算。 点评：基础题，立体几何问题中，平行关系、垂直关系、角的计算、距离的计算、面积的计算、体积计算等，是高考常考内容。就计算问题而言， “几何法 ”要遵循 “一作、二证、三计算 ”。利用空间向量可简化证明过程。 已知点 P在直线 x 3y-1 0上，点 Q在直线 x 3y 3 0上， PQ中点为M(x0， y0)， 且 y0x0 2，则 的取值范围为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：根据题意作图如下 因为 PQ中点为 M，则点 M的坐标满足方程 x+3y+1=0， 又 y0x0 2，则点 M在直线 y=x+2的左上部， 且由 得 N（ - ， ），则 kON=
4、- ，并且直线 x+3y+1=0的斜率k=- ， 而 可看作点 M与原点 O连线的斜率，故 ，选 D。 考点：本题主要考查平面区域的概念，直线平行的性质，直线的斜率。 点评：典型题，本题具有一定综合性，关键是能分析出点 M的坐标满足方程x+3y+1=0且分布在直线 y=x+2的左上部，利用数形结合思想进一步分析求解得出 “界点 ”。 一边 BC在平面 内 ,顶点 A在平面 外 ,已知 ，三角形所在平面与 所成的二面角为 ,则直线 与 所成角的正弦值为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：根据已知条件画图（如图） 图中 AD BC， HD BC， AH ， ABC=60， ADH=30
5、， 所以 ABH即为 AB与 所成角，则 AD= AB， AH= AD， AH= AB， sin ABH= = ，故选 D. 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系及角的计算。 点评：典型题，立体几何问题中，平行关系、垂直关系、角的计算、距离的计算、面积的计算、体积计算等，是高考常考内容。就计算问题而言， “几何法 ”要遵循 “一作、二证、三计算 ”。 直线 y kx 3与圆 (x-2)2 (y-3)2 4相交于 M、 N两点，若 |MN|2 ，则直线倾斜角的取值范围是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析： y kx 3即 kx-y+3=0，因为直线 y kx 3与圆 (x-2)2
6、(y-3)2 4相交于 M、 N两点，所以 |MN|=2 = ，由 |MN|2 得：，所以 ，即 ，故，选 C。 考点：本题主要考查直线与圆的位置关系，直线的倾斜角、斜率，简单不等式的解法。 点评：中档题，本题具有一定的综合性。研究直线与圆的位置关系，涉及弦长问题，往往要利用 “特征三角形 ”。 在三棱锥 P-ABC中，若 PA=PB=PC,则顶点 P在底面 ABC上的射影 O必为 ABC的 ( ) A内心 B垂心 C重心 D外心 答案： D 试题分析：因为在三棱锥 P-ABC中， PA=PB=PC,所以顶点 P在底面 ABC上的射影 O到底面三角形顶点距离相等 ，即 0必为 ABC的外心，选
7、 D。 考点：本题主要考查三棱锥的几何特征。 点评：简单题，射影得到性质，斜线相等，射影也相等。 设 ， 为不重合的平面， m， n为不重合的直线，则下列命题正确的是 ( ) A若 m ， n ， m n，则 B若 n ， n ， m ，则 m C若 m ， n ， m n，则 D若 ， n ， m n，则 m 答案： B 试题分析：因为 n ， n ，所以 ，又 m ，所以 m ，故选 B。 考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系。 点评：典型题，立体几何中的平行关系、垂直关系，是高考重点考查的内容，考查的形式一般是小题、大题均有。 若直线 3x y a 0过圆 x2 y2 2x-
8、4y 0的圆心，则 a的值为 ( ) A -1 B 1 C 3 D -3 答案： B 试题分析：圆 x2 y2 2x-4y 0的圆心为（ -1,2），代入 3x y a 0得 a=1，故选 B。 考点：本题主要考查圆的标准方程与一般方程的互化，直线与圆的位置关系。 点评：简单题，确定圆的圆心，代入直线方程，可得 a的方程即得解。 利用斜二测画法可以得到： 三角形的直观图是三角形； 平行四边形的直观图是平行四边形； 正方形的直观图是正方形； 菱形的直观图是菱形 以上结论正确的是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：斜二测画法规则，平行于 x轴的线段平行关系不变，长度不变；平行于 y轴的
9、线段平行关系不变，长度减半；原来的垂直关系，要成 45角。所以“三角形的直观图是三角形 ”，对； “平行四边形的直观图是平行四边形 ”对； “正方形的直观图是正方形 ”， “菱形的直观图是菱形 ”不对。故选 A。 考点：本题主要考查斜二测画法的方法步骤。 点评 ：简单题，关键是理解斜二测画法规则，平行于 x 轴的线段平行关系不变，长度不变；平行于 y轴的线段平行关系不变，长度减半；原来的垂直关系，要成 45角。 填空题 如图所示的三棱锥 A-BCD中， BAD=90， AD BC， AD=4， AB=AC=2， BAC=120，若点 P为 ABC内的动点满足直线 DP与平面 ABC所成角的正切
10、值为 2，则点 P在 ABC内所成的轨迹的长度为 答案： 。 试题分析：因为 BAD=90，所以 AD AB,又 AD BC，且 AB BC=B，所以 AD 平面 ABC。 在平面 ABC内，取点 P，连 PA，则 是 DP与平面 ABC所成角。 又因为 AD=4，所以直线 DP与平面 ABC所成角的正切值为 2，须 AP=2，即点P在 ABC内所成的轨迹是以 A为圆心，半径为 2 的圆的一部分。 而 BAC=120= ，故点 P在 ABC内所成的轨迹的长度为 = 。 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，角的计算，圆的定义，扇形弧长公式。 点评：典型题，综合性较强，考查知识全面，可谓之是
11、“证算并重题 ”，较好地考查了数形结合思想及学生的逻辑推理能力、计算能力。解答本题的关键是认识到 “点 P在 ABC内所成的轨迹是以 A为圆心，半径为 2 的圆的一部分。 ” 过圆 C： 作一动直线交圆 C于两点 A、 B，过坐标原点 O作直线 ON AM于点 N，过点 A的切线交直线 ON于点 Q，则= （用 R表示） 答案： R2 试题分析： 过坐标原点 O作直线 ON PM于点 N， 过点 P的切线交直线 ON于点 Q， 则 PN0 QP0， ON OQ=OP2=2R2， 所以， = = =2R2 故答案：为 2R2. 考点：本题主要考查圆的几何性质，平面向量的数量积。 点评：中档题，根
12、据已知条件用平面几何的知识得到 ON OQ=OP2=2R2是解答本题的关键。 已知直线 与 轴分别交于点 ， 为坐标原点，则点到 平分线 的距离为 答案： 试题分析：由已知， A（ 3,0） .设 的倾斜角为 ， AD的倾斜角为，则 tan = ,cos = ,sin = , = ， 所以 = , 由直线方程的点斜式得 AD的方程： x-2y-3=0，所以点 到 平分线 的距离为 = 。 考点：本题主要考查直线的方程，点到直线的距离，三角函数诱导公式、同角公式、倍半公式。 点评：中档题，本题综合性较强，解的思路明确，应先运用三角公式求 AD的斜率，再求其方程。 如下图所示，将平面四边形 ABC
13、D折成空间四边形，当平面四边形满足条件 时，空间四边形中的两条对角线互相垂直（填一个正确答案：就可以，不必考虑所有可能情形） 答案： 试题分析：在平面四边形中 ,设 AC与 BD交于 E,假设 AC BD,则AC DE,AC BE.折叠后 ,AC与 DE,AC与 BE依然垂直 ,所以 AC 平面 BDE.所以 AC BD. 若四边形 ABCD为菱形或正方形 ,因为它们的对角线互相垂直 ,仿上可证AC BD. 故答案：可为 AC BD(或 ABCD为菱形 ,正方形等 .). 考点：本题主要考查立体几何中的的垂直关系。 点评：简单题，这是一道开 放式题目，其正确答案：可能不止一个，写出一个即可。折
14、叠问题，要特别注意折叠前后变与不变 的几何运算。 如右图，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 答案： 试题分析：观察三视图可知，该几何体是一个斜四棱柱，底面为边长为 3的正方形，高为 ，所以几何体体积为 。 考点：本题主要考查三视图，几何体的体积计算。 点评：基础题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题。特别注意三视图中 “虚线 ”是被遮住的棱。 圆 x2+y2=20的弦 AB的中点为 P(2,-3)，则弦 AB所在直线的方程是 答案： x-3y-13=0 试题分析：设弦的端点为 A（ ），
15、B（ ），代入圆的方程，两式相减并整理得 ，由直线方程的点斜式得弦 AB所在直线的方程是 2x-3y-13=0。 考点：本题主要考查直线与圆的位置关系，直线的倾斜角、斜率，简单不等式的解法。 点评：简单题，研究直线与圆的位置关系，涉及弦中点问题，可尝试利用 “点差法 ”求弦的斜率。 在空间直角坐标系 O-xyz中，若 A(1, ,2)关于 y轴的对称点为 A1，则线段AA1的长度为 答案： 试题 分析： A(1, ,2)关于 y轴的对称点为 A1坐标为（ -1, ,-2）， 所以 |AA1|= = 。 考点：本题主要考查空间直角坐标系中两点间距离，空间点的对称性。 点评：简单题，首先求得对称点
16、，然后利用两点间距离公式求解。对称点的确定方法 “没谁谁变号 ”。 解答题 已知点 、 到直线 的距离相等，且直线 经过两条直线和 的交点，求直线 的方程。 答案： 与 AB平行，则由 ，得 ， 过 AB中点，则 。 试题分析：由 得直线 的交点坐标（ 1,2） 2 点 、 到直线 的距离相等， 平行 AB或过 AB中点 与 AB平行，则由 ，得 6 过 AB中点，则 .10分 考点：本题主要考查直线方程，两条直线的位置关系。 点评：基础题，研究直线与直线的位置关系，主要有相交（垂直）、平行，涉及相交问题，往往与垂直有关，斜率之积为 -1，或解方程组求交点坐标；涉及平行问题，往往和距离相关联。
17、通过斜率关系研究直线的相互关系，是基本题目。 如图，在四棱锥 中，底面 ABCD是一直角梯形， ，, ，且 PA=AD=DC= AB=1. (1)证明：平面 平面 (2)设 AB,PA,BC的中点依次为 M、 N、 T，求证： PB 平面 MNT (3)求异面直线 与 所成角的余弦值 答案： （ 1）证明：先得 由 ，推出 , ,根据 得到平面 平面 ； （ 2） 。 试题分析： （ 1）证明： , 又 ， , ,且 ,又 平面 平面 4 （ 2）连接 MN， MT， NT; M、 N分别为 AB、 AP中点 MN/PB , PB 平面 MNT 7 解： AB中点 M， AP中点 N， BC中
18、点 T，则 MN/PB， MT/AC 就是异面直线 AC与 PB所成角 (或补角 )。 9 , 在 RT PAB中， , 在 RT ADC中， , ,在 RT ACT中 , , 在 RT NAT中 , , 在 MNT中， 故异面直线 AC与 PB所成的角的余弦值为 12 考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系、角的计算。 点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。在计算问题中，有 “几何法 ”和 “向量法 ”。利用几何法，要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤，利用向量则能简化证明过程。本题属于立体几何中的基本问题。 如图， 平面 ， =9
19、0， ，点 在 上，点 E在 BC上的射影为 F,且 （ 1）求证： ； （ 2）若二面角 的大小为 45，求 的值 答案： （ 1）注意运用 ， ， ，确定 ， 通过 ，得到 ； 证出 ； （ 2） . 试题分析： 解：（ 1） DC 平面 ABC, DC BC , EF CD 1 又 ， ，所以 , 2 ， ， ， ， ， ，即 ； 5 ,又 ，于是 ， 7 （ 2）过 F作 于 G点，连 GC 由 知 ，可得 ， 9 所以 ，所以 为 F-AE-C的平面角，即 =45 11 设 AC=1,则 , ,则在 RT AFE中 ， 在 RT CFG中 =45，则 GF=CF,即 得到 . 14
20、（注：若用其他正确的方法请酌情给分） 考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系，距离与角的计算。 点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。在计算问题中，有 “几何法 ”和 “向量法 ”。利用几何法，要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤，利用向量则能简化证明过程。 “几何法 ”的应用，要特别注意空间问题向平面问题转化。 已知圆 的方程为 ，过点 作直线与圆 交于 、 两点。 (1)若坐标原点 O到直线 AB的距离为 ，求直线 AB的方程； (2)当 的面积最大时，求直线 AB的斜率； (3)如图所示过点 作两条直线与圆 O分别交于 R、 S
21、,若，且两角均为正角，试问直线 RS的斜率是否为定值，并说明理由。 答案：（ 1）直线 AB的方程为 ； (2) 时 面积最大 ,此时直线 AB的斜率为 ； （ 3）直线 RS的斜率为定值 。 试题分析：（ 1）设过点 的直线方程为 ， 原点到直线 AB的距离为 ， 则 ， 直线 AB的方程为 4 (2)直线 AB的方程： 代入圆的方程 得由韦达定理得 , 7 当 时 ,即 时 面积最大 ,此时直线 AB的斜率为 10 （ 3）设点 ，将直线 RS的方程 ，代入圆的方程得 由韦达定理得 ，则 即 (*)， 又 则 代入 (*)式整理得 ，即 ，当 时， 直线 RS过定点 不成立，故直线 RS的斜率为定值 16 （注：若用其他正确的方法请酌情给分） 考点：本题主要考查直线方程，直线与圆的位置关系，两角和的正切公式。 点评：中档题，研究直线与圆的位置关系，半径、弦长一半、圆心到直线的距离所构成的 “特征三角形 ”是重点，另外，通过构建方程组，得 到一元二次方程后，应用韦达定理，实现整体代换较为普遍。本题考查知识覆盖面广，对考生计算能力、数形结合思想有较好考查。
