1、2012-2013学年浙江省湖州市菱湖中学高二 12月月考数学试卷与答案（带解析） 选择题 抛物线 的焦点坐标是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：抛物线 开口向左，焦点在 轴上，所以焦点坐标为 . 考点：本小题主要考查由抛物线标准方程求抛物线的焦点坐标 . 点评：解决抛物线问题，要分清对称轴和开口方向 . 如图在长方形 ABCD中， AB= ， BC=1， E为线段 DC上一动点，现将AED沿 AE折起，使点 D在面 ABC上的射影 K在直线 AE上，当 E从 D运动到 C，则 K所形成轨迹的长度为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析： 由题意，将 沿 折起，使平面 平面
2、 ，在平面 内过点 作 ， 为垂足，由翻折的特征知，连接 ，则 ，故 点的轨迹是以 为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是 ,如图当 与 重合时， ,取 为 的中点，得到 为等边三角形，故 故所对的弧长为考点：本小题主要考查与二面角有关的立体几何综合题目，考查学生的空间想象能力和运算求解能力 . 点评：本小题解题的关键是由题意得出点 K的轨迹是圆上的一段弧，翻折问题中要注意位置关系与长度等数量的变与不变 抛物线 上一点 A 的纵坐标为 4，则点 A 与抛物线焦点的距离为 （ ） A 2 B 3 C 4 D 5 答案： D 试题分析：抛物线 焦点在 轴上，开口向上，所以焦点坐标为 ，准线方程为
3、，因为点 A的纵坐标为 4，所以点 A到抛物线准线的距离为，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点 A与抛物线焦点的距离为 5. 考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力 . 点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算 . 某简单 几何体的三视图如图所示，其正视图侧视图俯视图均为直角三角形，面积分别是 1， 2， 4，则这个几何体的体积为 ( ) A B C 4 D 8 答案： A 试题分析：由三视图可知，该几何体是一个底面是直角三角形，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，设底面直角
4、三角形的两条直角边分别为 ，垂直于底面的侧棱长为 ，所以 ，所以该三棱锥的体积为考点：本小题主要考查三视图的应用和三棱锥体积的计算，考查学生的空间想象能力和运算求解能力 . 点评：解决此类问题关键是根据三视图正确还原几何体 . 直线 的倾斜角的范围是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由题意可知，当 时，直线方程为 ，此时直线的倾斜角为 ，当 时，直线的斜率为 ，当 时，当 时， ，总是所示，直线的倾斜角的取值范围为 . 考点：本小题主要考查含参数的直线的倾斜角的取值范围的求解，考查学生的运算能力和数形结合思想的应用 . 点评：解决本题，不要漏掉讨论 ，用基本不等式求最值时，不要忘记
5、适用条件 . 已知双曲线 的焦点、实轴端点分别恰好是椭圆 的长轴端点、焦点，则双 曲线 的渐近线方程为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：椭圆 的长轴端点分别为 ，焦点坐标分别为，所以双曲线的 所以双曲线的渐近线方程为. 考点：本小题主要考查双曲线与椭圆的关系和双曲线渐近线的求解，考查学生分析问题解决问题的能力和运算求解能力 . 点评：综合解决双曲线与椭圆问题时，一定要注意双曲线中 ，而椭圆中 已知 为椭圆 （ ）的两个焦点，过 作椭圆的弦 ，若 的周长为 16，椭圆的离心率 ，则椭圆的方程为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为弦 过椭圆的焦点，所以可以很容易的得出 的
6、周长为，由因为 ，所以椭圆的方程为 . 考点：本小题主要考查椭圆标准方程的求解和椭圆定义的应用以及椭圆离心率的计算，考查学生的运算求解能力 . 点评：分析出 的周长为 是解题的关键 . 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A若 则 B若 则 C若 则 D若 则 答案： C 试题分析： 则 垂直于平面 内的任意一条直线，而 ，所以 也垂直于平面 内的任意一条直线，又因为 所以 ，所以选项 C正确，而其余选项均不正确 . 考点：本小题主要考查空间直线、平面间的位置关系的判断，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力 . 点评：考查空间直线、平面间的位置关系，要紧扣定理，定
7、理中要求的条件要缺一不可 . 已知命题 ： ，则（ ） A B C D 答案： A 试题分析：题目所给的命题是全称命题，全称命题的否定是特称命题 . 考点：本小题主要考查全称命题的否定 . 点评：注意符号 不要写错 . 是直线 与直线 垂直的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D非充分也非必要条件 答案： A 试题分析： 时，两直线分别为 和 ，显然两直线的斜率乘积等于 -1，所以两直线垂直；当两直线垂直时，由，解得 或 . 考点：本小题主要考查两直线垂直的条件的应用和充要条件的判断 . 点评：两直线垂直时，尽量用 解决问题，这样可以避免讨论直线的斜率是否存在 . 填空题
8、双曲线 一条渐近线的倾斜角为 ，离心率为 ，则的最小值为 . 答案： 试题分析：因为一条渐近线的倾斜角为 ，所以所以 考点：本小题主要考查双曲线中基本量的计算和利用基本不等式求最值，考查学生转化问题的能力和运算求解能力 . 点评：解决本题的关键在于将所 求转化为关于 b的式子，从而用基本不等式求解，求解时要注意应用基本不等式的条件 . 设有两个命题： ：方程 表示焦点在 轴上的椭圆； ：关于 的不等式在 上恒成立；如果这两个命题有且只有一个真命题，则实数 的取值范围是 _ 答案： 试题分析：若 为真命题，则 ；若 为真命题，则，解得 ，因为这两个命题有且仅有一个是真命题，所以若 真 假，则 若
9、 假 真，则 ，所以实数的取值范围是 . 考点：本小题主要考查椭圆的定义、二次函数恒成立问题和复合命题的真假，考查学生的逻辑分析能力和运算求解能力 . 点评：此类问题一般是先将两个命题均为真命题的情况求出来，再根据复合命题的真值表进行判断进而求解 . 如图，四边形 中， ， ， .将四边形 沿对角线 折成四面体 ，使平面 平面 ，则与平面 所成的角的正弦值为 答案： 试题分析：因为平面 平面 ，平面 平面 ，由线面垂直的性质定理知 平面 ，所以 ,又因为, , 所以 平面 ,所以 即为直线 与平面 所成的角，在中， , ,所以 考点：本小题主要考查折叠问题和线面角的求解，考查学生的空间想象能力
10、和运算求解能力 . 点评：解决折叠问题，关键是弄清楚折叠前后的量哪些发生了变化，哪些没有发生变化 . 在空间直角坐标系 中，已知 的坐标分别为，则线段 的长度为 _ . 答案： 试题分析：利用空间两点间的距离公式可以求得考点：本小题主要考查空间两点间距离的计算 . 点评：此类问题直接讨论公式求解即可 . 经过两条直线 和 的交点，并且与直线平行的直线方程为 _ _ . 答案： 试题分析：经计算，两条直线 和 的交点为 ，设与直线 平行的直线方程为 ，将 代入直线方程可以求 得 所以所求直线方程为 . 考点：本小题主要考查两条直线交点的求法和两直线平行的应用 . 点评：本题也可以设直线系方程，再
11、利用平行求解，可以省去求交点坐标，不过直线系方程比较麻烦，所以综合起来运算量差不多 . 点 关于直线 的对称点的坐标是 _. 答案： 试题分析：设 关于直线 的对称点为 ，所以直线 与已知直线垂直，线段 的中点在已知直线上，利用这两个条件可以求出对称点的坐标为 . 考点：本小题主要考查点关于直线对称的点的求法，考查学生的计算能力 . 点评：求点关于直线的对称的点，要用到两个条件：一是垂直，一是中点在已知直线上，这两个条件是最简单的 . 圆心在直线 上的圆 C与 轴交于两点 ， ，则圆 C的方程为 _ . 答案： 试题分析：因为圆 C与 轴交于两点 ， ，所以圆心在直线上，又因为圆心在直线 上，
12、所以圆心为 ，所以半径,所以圆 C的方程为 . 考点：本小题主要考查圆的标准方程的求解，考查学生的运算求解能力 . 点评：过圆的弦中点且与弦垂直的直线过圆心，所以此题中圆心在直线上，这是简化解题步骤的关键一步 . 解答题 （本题满分 14分） 已知圆 与直线 相交于 两点 求弦 的长； 若圆 经过 ，且圆 与圆 的公共弦平行于直线，求圆 的方程 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）由点到直线的距离公式可知圆心 到直线 的距离 ， 2 分 因为圆心到直线的距离、半径和半弦长组成一个直角三角形， 根据勾股定理可知 6 分 （ 2）设圆 的方程为 ， 两圆方程相减得公共弦所在的直线方程为：
13、， 因为两直线平行，所以 ，即 10 分 又因为圆 经过 ，所以 所以圆 的方程为 14 分 考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系、弦长公式和两圆的公共弦长、两直线平行的应用和圆的标准方程的求解，考查学生数形结合思想的应用和运算求解能力 . 点评：圆心到直线的距离、半径和半弦长组成一个直角三角形，在解题时好好利用这个直角三角形可以简化运算；两个圆如果相交，两圆方程作差即可得两圆的公共弦所在的直线方程 . （本题满分 14分） 如图，已知正三棱柱 的底面边长是 ， 是侧棱 的中点，直线 与侧面 所成的角为 求此正三棱柱的侧棱长； 求二面角 的平面角的正切值； 求直线 与平面 的所成角的正弦值
14、答案：（ 1） （ 2） 3（ 3） 试题分析：（ 1）设正三棱柱 的侧棱长为 取 中点 ，连接 是正三角形， 又底面 侧面 ，且交线为 侧面 连 ，则直线 与侧面 所成的角为 在 中， ，解得 此正三棱柱的侧棱长为 4 分 （ 2）过 作 于 ，连 ， 侧面 为二面角 的平面角 在 中， ， 又 ， 又 在 中， 9 分 （ 3）由（ 2）可知， 平面 , 平面 平面 ，且交线为 ， 过 作 于 ，则 平面 在 中， 为 中点， 点 到平面 的距离为 14 分 考点：本小题主要考查空间几何体中，直线与平面所成的角 （本题满分 15分） 已知点 ， ， 在抛物线 （ ）上， 的重心与此抛物线的
15、焦点 重合（如图） 写出该抛物线的方程和焦点 的坐标； 求线段 中点 的坐标； 求 所在直线的方程 . 答案：（ 1） ， （ 2） （ 3） 试题分析：（ 1）由点 在抛物线 上，有 ， 解得 . 所以抛物线方程为 ，焦点 的坐标为 . 5 分 （ 2）因为 的重心与此抛物线的焦点 重合， 所以根据重心坐标公式可得 ，解得 ， 由中点坐标公式可得点 的坐标为 . 10 分 （ 3）因为 ， 在抛物线 上， 所以 ， ，两式作差可得： ， 因为 ，所以 ，即直线 的斜率 因此 所在直线的方程为： 15 分 考点：本小题主要考查抛物线标准方程的求解、重心坐标公式、中点坐标公式和点差法的应用，考查
16、学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力 . 点评：遇到弦的中点问题，常常想到的方法是用点差法求弦所在直线的斜率 . （本题满分 15分） 设 分别是椭圆 的左、右焦点 若 是该椭圆上的一点，且 ，求 的面积； 若 是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值； 设过定点 的直线 与椭圆交于不同的两点 ，且 为锐角（其中为坐标原点），求直线 的斜率 的取值范围 答案：（ 1） （ 2） 的最大值为 1，最小值为 -2（ 3）或 试题分析：（ 1）易知 ， ， ，所以 ， ， 所以 ,又 是该椭圆上的一点，所以 ， 因为 ，所以在 中利用余弦定理可知：, 即 ， 所以 的面积为 . 5 分 （
17、2）解法一：设 P ， 则 ， 因为 ，故当 ，即点 P为椭圆短轴端点时， 有最小值 -2； 当 ，即点 P为椭圆长轴端点时， 有最大值 1。 10 分 解法二：（ 1）易知 ， ， ，所以 ， ，设 P，则（以下同解法一）。 10 分 （ 3）显然直线 不满足题设条件。 可设直线 ： ， A（ ）， B（ ）， 联立 ，消去 ，整理得： ， ， 由 得： 或 又 ， ， 又， ，即 ， 故由 得 或 。 15 分 考点：本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、三角形面积、余弦定理和向量的数量积的应用等，考查学生数形结合思想的应用和运算求解能力 . 点评：第（ 1）问求三角形的面积，只需求出 即可；第（ 3）中设直线方程时，要考虑直线的斜率是否存在 .
