1、2012-2013学年湖北仙桃毛嘴高中高二上学业水平监测理数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且 ka+b与 2a+b互相垂直，则 k的值是 A 1 B -1 CD 答案： D 试题分析：根据题意，易得 =k（ 1， 1， 0） +（ -1， 0， 2） =（ k-1， k，2）， =2（ 1， 1， 0） -（ -1， 0， 2） =（ 3， 2， -2） 两向量垂直， 3（ k-1） +2k-22=0 k= ，故选 D 考点：本题主要考查了向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法 点评：解决该试题的关键是运用费零向量
2、垂直的充要条件是数量积为零，同时能集合向量的加减法坐标运算得到。 已知二次函数 的导数为 ， ，对于任意实数，有 ，则 的最小值为 A BC D答案： C 试题分析： f（ x） =2ax+b， f（ 0） =b 0； 对于任意实数 x都有 f（ x）0， a 0且 b2-4ac0， b24ac， c 0； = = +11+1=2，当 a=c时取等号故选 C 考点：本题主要考查了求导公式，二次函数恒成立问题以及均值不等式，综合性较强 点评：解决该试题的关键是是先求导，由 f（ 0） 0可得 b 0，因为对于任意实数 x都有 f（ x） 0，所以结合二次函数的图象可得 a 0且 b2-4ac0，
3、又因为= = 利用均值不等式即可求解。 在正方体 中， E是棱 的中点，则 BE与平面 所成角的正弦值为 A B C D 答案： B 试题分析： 因为正方体 中， E是棱 的中点，则过点 E作B1D1的垂线段交点为 F，连接 BF,则可知 BE与平面 所成角 ,那么在三角形 ，设棱长为 1，那么 ， ，那么在直角三角形中，利用三角函数值可知 BE与平面 所成角的正弦值为 ，选 B. 考点：本题主要考查了空间中线面角的求解运算。 点评：解决该试题的关键是利用正方体的性质，得到线面所成的角，一般分为三步骤，作图，求证，再解答，从而得到。 已知 则当 时， n的最小值是 A 9 B 10 C 11
4、D 12 答案： A 试题分析： 由于已知中 ，那么 ，依次得到 ，再按照规律得到后面的项依次为 10,5,16,8,4,2,1 可知当 n为 10时第一次出现了项为 1,那么可知为第九项，故选 A 考点：本题主要考查了数列的递推关系式的运用，求解数列的项的问题。 点评：解决该试题的关键是由首项代入分段函数中，然后分写求解奇数项和偶数项的项，然后按照规律得到当项为 1时， n的最小值。 为正方形， 平面 ， ，则 与 所成角的度数为 A 30 B 45 C 60 D 90 答案： C 试题分析：以 D为坐标原点， DA所在直线为 x轴， DC所在线为 y轴， DP所在线为 z轴，建立空间坐标系
5、， 点 P在正方形 ABCD所在平面外， PD 平面ABCD， PD=AD，令 PD=AD=1 A（ 1， 0， 0）， P（ 0， 0， 1）， B（ 1， 1， 0）， D（ 0， 0， 0） =（ 1， 0， -1）， =（ -1， -1， 0） 故两向量夹角的余弦值为 ，即两直线 PA与BD所成角的度数为 60故答案：为： 60,选 C. 考点：本题主要考查了异面直线所角的求法，由于本题中所给的背景建立空间坐标系方便，故采取了向量法求两直线所成角的度数，从解题过程可以看出，此法的优点是不用作辅助线，大大降低了思维难度 点评：解决该试题的关键是宜用向量法来做，以 D为坐标原点，建立空间坐
6、标系，求出两直线的方向向量，利用数量积公式求夹角即可 . 若向量 a=(1, 0)， b=(2,0,0)且 a与 b的夹角为 ，则 等于 A 1 B C - 或 D -1或 1 答案： C 试题分析： 因为向量 a=(1, 0)， b=(2,0,0)且 a与 b的夹角为 ，则可知 a. b =(1, 0).(2,0,0)=2 因此夹角为 cos= ，可知结论为 -或 ,故选 C. 考点：本题主要考查了向量的坐标运算以及夹角的求解。 点评：解决该试题的关键是利用向量的数量积的性质来求解向量的夹角表达式的熟练运用，以及空间向量的坐标运算。 直线 y=x与抛物线 y=x(x+2)所围成的封闭图形的面
7、积等于 A B C D 答案： A 试题分析：先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线 y=x2+2x与直线 y=x所围成的封闭图形的面积，即可求得结论 .y=x与 y=x(x+2)联立方程组得到 x=-1,y=-1,或 x=0,y=0,那可可知直线 y=x与抛物线 y=x(x+2)所围成的封闭图形的面积等于 S= ，故选 A 考点：本题主要考查了定积分的几何意义的运用，求解曲边梯形的面积。 点评：解决该试题的关键是利用定积分求面积，确定被积区间及被积函数 ,以及被积函数的原函数的问题，进而得到求解。 已知点 A（ 1， -2,0）和向量 a=(-3,4,12)
8、,若向量 a,且 ，则 B点的坐标为 A（ -5,6,24） B（ -5,6,24）或（ 7， -10， -24） C（ -5,16， -24） D（ -5,16， -24）或（ 7， -16,24） 答案： B 试题分析： 设点 B（ x,y），那么 ,因为 a,，故有，得到 x=1+ ,y=-2-2 ,z=0，那么再利用 =2，得到 ，进而得到坐标为（ -5,6,24）或（ 7， -10，-24），选 B. 考点：本题主要考查了向量的基本运算以及向量的模的求解运用。 点评：解决该试题的关键是根据向量的共线，得到向量的坐标城比例，得到AB向量的坐标关系式，那么再结合模长的定义得到点 B的坐标
9、。 等于 A -2ln2 B 2ln2 C -ln2 D ln2 答案： D 试题分析： 因为（ lnx） = ，故由微积分基本定理可知，故选 D. 考点：本题主要考查了定积分的运算。 点评：解决该试题的关键是能找到被奇函数的 原函数，然后借助于函数值的该变量来求解定积分的值，熟练运用微积分基本定理来得到。 曲线 在点 A(2,10)处的切线的斜率是 A 4 B 5 C 6 D 7 答案： D 试题分析： 因为曲线 ，那么曲线在点 A(2,10)处的切线的斜率就是，那么可知结论为 7，选 D. 考点：本题主要考查了导数的基本运算，结合函数进行分析即可 点评：解决该试题的关键是对于导数几何意义的
10、准确理解和运用，函数在某点的导数值，即为再该点的切线的斜率。 填空题 若函数 的单调增区间为 (0， )，则实数 的取值范围是_ 答案： 试题分析： 因为 ，当 a 0时，显然导数恒大于等于零，满足题意，当 a0,当导数小于零时，得到 x0，得 t=10 (6分 ) 即经过的时间为 10s; （ ） 即紧急刹车后火车运行的路程为 55ln11米。 （ 12分） 考点：本题主要考查了物理中汽车刹车停止后不再运动，以及掌握匀变速直线运动的速度时间公式 v=v0+at，以及位移的运算。 点评：解决该试题的关键是理解刹车停止的时间，然后利用导数的物理意义得到被积函数速度函数，求解运行的位移即可。 （本
11、题满分 13分） 在长方体 ABCD-A1B1C1D1中， AD AA1 1， AB 2，点 E的棱 AB上移动。 （ I）证明： D1E A1D； （ II） AE等于何值时，二面角 D1-EC-D的大小为 。 答案：（ ）见；（ ）二面角 的大小为 . 试题分析：（ 1）欲证 DE 平面 A1E，根据线面垂直的判定定理可知只需证AE DE， A1A DE，即可； 解：以 为坐标原点，直线 分别为 轴，建立空间直角坐标系，设 ，则 （ 2分） （ ） （ 4分） （ ）设平面 的法向量 ， 由 令 ， （ 8分） 依题意 （不合，舍去）， . 时，二面角 的大小为 . （ 13分） 考点：本
12、题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角的求解，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题 点评：解决该试题的关键是能利用向量的知识来表示空间的点，然后借助向量在几何中的运用，求证垂直和二面角的平面角的问题。 (本题满分 13分 ) 已知函数 ,函数 （ I）当 时 ,求函数 的表达式 ; （ II）若 ,且函数 在 上的最小值是 2 ,求 的值 ; （ III）对于（ II）中所求的 a值，若函数 ，恰有三个零点，求 b的取值范围。 答案：（ ）函数 .（ ） 。 试题分析： （ 1）先求解函数 f(x)的导函数，进而得到第一问的式。 （ 2） 由 知当 时 , , 分析导数的
13、正负号，进而判定极值，得到最值。 （ 3） 所以，方程 ，有两个不等实根运用转化思想来得到。 解 : （ ） , 当 时 , ; 当 时 , 当 时 , ; 当 时 , . 当 时 ,函数 . （ 4分） （ ） 由 知当 时 , , 当 时 , 当且仅当 时取等号 .由 ，得 a=1 (8分 ) 令 ，得 或 x=b （ 1）若 b1,则当 0b时，； （ 2）若 b1时， 所以函数 h(x)有三个零点的充要条件为 或 解得 或 综合： （ 13分） 另解： 所以，方程 ，有两个不等实根，且不含零根 解得： （ 13分） 考点：本题主要考查了函数的最值和函数的零点的综合运用 点评：解决该试题
14、的关键是运用导数的思想来判定函数单调性，进而分析极值，得到最值，同时对于方程根的问题可以转换为图像的交点问题解决。 （本小题满分 13分） 已知数列 满足 , （ I）写出 ,并推测 的表达式； （ II）用数学归纳法证明所得的结论。 答案： ( ) , , , 猜测 。 ( )见。 试题分析： （ 1）根据数列的前几项来归纳猜想得到结论。 （ 2） 在第一问的基础上，进一步运用数学归纳法来加以证明即可。 解： ( ) , , , 猜测 （ 4分） ( ) 由（ ）已得当 n 1时，命题成立； 假设 时 ,命题成立，即 2- , （ 6分） 那么当 时 , 2 2(k 1) 1, 且 2k 1
15、- （ 8分） 2k 1- 2ak 1 2(k 1) 1 2k 3, 2 2 2- , 2- , 即当 n k 1时 ,命题成立 . 根据 得 n N+ , 2- 都成立 （ 13分） 考点：本题主要考查了数列的归纳猜想思想的运用。以及运用数学归纳法求证结论的成立与否。 点评：解决该试题的关键是猜想的正确性，以及和运用数学归纳法证明命题时，要注意假设的运用，推理论证得到证明。 （本小题满分 14分）已知函数 （ ）若 ，试确定函数 的单调区间； （ ）若 ，且对于任意 ， 恒成立，试确定实数 的取值范围； （ ）设函数 ，求证： 答案：（ ） 的单调递增区间是 ， 的单调递减区间是 （ ） （
16、 ）见。 试题分析：（ 1）求出函数的导数，只要解导数的不等式即可，根据导数与 0的关系判断函数的单调性； （ 2）函数 f（ |x|）是偶函数，只要 f（ x） 0对任意 x0恒成立即可，等价于 f（ x）在 0， +）的最小值大于零 （ 3） ， ，利用指数不等式放缩的都证明。 解：（ ）由 得 ，所以 由 得 ，故 的单调递增区间是 ， 由 得 ，故 的单调递减区间是 （ 6分）（ 3分） （ ）由 可知 是偶函数 于是 对任意 成立等价于 对任意 成立（ 8分）（ 5分） 由 得 当 时， 此时 在 上单调递增 故 ，符合题意 （ 10分）（ 7分） 当 时， 当 变化时 的 变化情况如下表 单调递减 极小值 单调递增 由此可得，在 上， 依题意， ，又 （ 13分）（ 9分） 综合 ， 得，实数 的取值范围是 （ 14分）（ 10分） （ ）
