1、2012-2013学年甘肃省甘谷一中高二第二次月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 函数的导数为 ，则（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为，所以 ，所以 ，且，解得 . 考点：本小题主要考查导数的运算，考查求导公式的应用 . 点评：熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础 . 已知 在区间 -1,2上是减函数，那么 ( ) A有最大值 B有最大值 - C有最小值 D有最小值 - 答案： B 试题分析：因为 ，所以 ，要使在区间 -1,2上是减函数，需要 且 ，画出可行域，再画出目标函数 ，可以得出 有最大值 - . 考点：本小题主要考查导函数与单调性的关系，及
2、由线性规划知识求 的取值范围 . 点评：要解决此类问题，需要掌握函数的导数与单调性的关系，此类题目中区间 -1,2是减区间的子区间，而不一定是整个减区间，要看清题目 . 设命题 在 内单调递增，命题，则命题 是命题的： ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： C 试题分析：若有 在 内单调递增，则有 在上恒成立，即 在 上恒成立，所以 恒成立，所以 ，所以命题 是命题 的充分必要条件 . 考点：本小题主要考查函数的导数与单调性的关系、充分必要条件和恒成立问题，考查了学生运算数学知识解决问题的能力 . 点评：利用导数研究函数的单调性，大多数情况
3、下归结为对含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，有时也转化为恒成立问题进而转化为求最值来完成 . 函数 的导数是 （ ） A B C D 答案： C 试题分析： 所以 考点：本小题主要考查导数的运算，考查学生的运算求解能力 . 点评：熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础，必要时对于某些求导问题可以先化简函数式再求导 . = （ ） A B C D 答案： C 试题分析：考点：本小题主要考查定积分的计算，考查了学生分类讨论数学思想的应用和运算求解能力 . 点评：求定积分，关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导
4、数 . 设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）答案： D 试题分析：导函数的正负决定函数的增减，所以只有 D是不可能正确的 . 考点：本小题主要考查导数与函数的单调性的关系，考查学生的读图识图的能力和分析问题、解决问题的能力 . 点评：在解决这个题目时，要准确理解导数的正负与函数的单调性之间的关系 . 设 ，则此函数在区间 (0,1)内为（ ） A单调递减， B有增有减 C单调递增， D不确定 答案： A 试题分析：显然定义域为 ， ，令 ，得，所以此函数在区间 (0,1)内单调递减 . 考点：本小题主要考查利用导数考查函数的单调性，考查了学生的应用能
5、力和计算能力 . 点评：考查函数的单调性，不要忘记函数的定义域 . 已知函数 在区间 (a,b)内可导，且 则 的值为（ ） A B C D 0 答案： B 试题分析： 考点：本小题主要考查导数的定义及其应用 . 点评：准确理解导数的定义是解决此类问题的关键 . 导函数 在 -2,2上的最大值为（ ） A B 16 C 0 D 5 答案： C 试题分析：令 ，所以 ，令得 ，因为，所以 在 上单调递增，在上单调递减，在 上单调递增，又因为 所以导函数在 -2,2上的最大值为 0. 考点：本小题主要考查利用导数求函数的最值，考查学生的运算求解能力 . 点评： 若求函数在闭区间上的最值，需要先求出
6、极值，再比较极值与区间端点值的大小 . 曲线 在点 处的切线平行于直线，则点 的坐标可为（ ） A (0,1) B (1,0) C (-1,0) D (1,4) 答案： B 试题分析：设点 的坐标为 ，则 ，所以 ，所以，所以 ，当 时， ；当 时， 考点：本小题主要考查导数的几何意义和两直线平行的条件，考查学生应用数学知识的能力 . 点评：利用导数的几何意义解题时，一定要分清是求曲线 在某处的切线还是求过某点的曲线的切线，这两点是不同的 . 函数有（ ） A极大值 5，极小值 -27 B极大值 5，极小值 -11 C极大值 5，无极小值 D极小值 -27，无极大值 答案： C 试题分析：，令
7、 ，有 ，或 又因为 ，所以函数在 上单调递增，在 上单调递减，所以在 处有极大值 ，无极小值 . 考点：本小题主要考查利用导数求函数的极值，考查学生的运算求解能力 . 点评：利用导数求解单调性进而求极值和最值，千万不要忘记函数本身的定义域 . 已知函数 的图像上一点 及邻近一点 ,则 和 分别等于（ ） A 4 ， 2 B ， 4 C 4+2 ， 4 D 4+2， 3 答案： C 试题分析：由题意知： ，所以 ，所以 ， 考点：本小题主要考查导数的定义 . 点评：要解决此类问题，首先应该理解平均变化率、瞬时变化率，透彻理解导数的概念、意义 . 填空题 由曲线 ，以及 所围成的图形的面积等于
8、. 答案： 试题分析：画出简图可知 考点：本小题主要考查利用定积分求曲边图形的面积，考查学生的画图能力和分析问题解决问题的能力 . 点评：求解此类问题画出图形，确定积分的上下限是求解的关键，还要注意把定积分与利用定积分计算曲线围成图形的面积区别开：定积分可正可负也可为零，但平面图形的面积在一般意义上总为正 . 若函数 有三个单调区间，则 的取值范围是 答案： 试题分析：因为函数 有三个单调区间，所以 有两个不同的解，所以 . 考点：本小题主要考查导函数与单调区间的关系 . 点评：导函数大于零的区间，函数单调递增，导函数小于零的区间，函数单调递减 . 函数 在区间上的最大值是 答案： 试题分析：
9、因为 ，所以 ，当 时，函数单调递增，当 时，函数单调递减， 所以在区间上的最大值为 考点：本小题主要考查利用导数求函数在闭区间上的最值，考查学生的运算求解能力 . 点评：函数在闭区间上的最值，要么在极值点处取到，要么在区间的端点处取到 . 已知函数 ( )，当 时函数 的极值为 ，则 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，因为当时函数 的极值为 ，所以 且 ，解得 ，所以考点：本小题主要考查导数与极值的关系 . 点评：极值点是使导函数为零的点，但导函数为零的点不一定是极值点 . 解答题 （本小题满分 10分） (1)求函数 的导数 . (2)求函数 f(x)= 在区间 0， 3上的积分 . 答案
10、： (1) (2) 试题分析： (1) 设 ， ， 则 5分 (2) . 10分 考点：本小题主要考查复合函数的求导和定积分的计算，考查学生的运算求解能力 . 点评：求复合函数的导数关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程 ,而求定积分的关键是求导函数的原函数 . （本小题满分 12分）曲线 C： ，过点 的切线方程为，且交于曲线 两点 ,求切线 与 C围成的图形的面积。 答案： 试题分析： 因为切线方程为 ，与曲线 方程联立可以求出： ， 6分 . 12分 考点：本小题主要考查利用定积分求曲边图形的面积
11、，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力 . 点评：解决此题的关键是画出图象，求出积分上下限，确定被积函数 . （本题满分 12分）已知函数 的图象过点 ，且在点处的切线方程为 （ ）求函数 的式；（ ）求函数 的单调区间 答案：（ ） （ ）单调增区间： ，单调减区间： 试题分析：（ ）由 的图象经过 ，知， 所以 . 所以 . 2分 由于函数 在点处的切线方程是， 故所求函数的式是 6分 （ ） 解得 当 ； 当 故 内是增函数，在 内是减函数， 在 内是增函数 12分 考点：本小题主要考查函数的求导、导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性，考查学生的知识运用能力和运算求解能力
12、. 点评：写函数的单调区间时，两个单调增区间或两个单调减区间之间只能用逗号隔开，不能把两个区间并起来 . （本小题满分 12分）设某物体一天中的温度 是 时间 的函数：，其中温度的单位是 ，时间单位是小时， 表示 12:00，取正值表示 12:00以后若测得该物体在 8:00的温度是 ， 12:00的温度为 ，13:00的温度为 ，且已知该物体的温度在 8:00和 16:00有相同的变化率 （ 1）写出该物体的温度 关于时间 的函数关系式； （ 2）该物体在 10:00到 14:00这段时间中（包括 10:00和 14:00），何时温度最高，并求出最高温度； （ 3）如果规定一个函数 在区间
13、上的平均值为 ，求该物体在 8:00到 16:00这段时间内的平均温度 答案：（ 1） （ 2） 11:00和 14:00时，该物体的温度最高，最高温度为 （ 3）在 8:00到 16:00这段时间的平均温度为 试题分析：（ 1）根据条件，得 ， ， ， ， 可以解得， 4分 （ 2） ， 当 时， ； 当 时， 在区间 上单调递增，在 上单调递减，即 是极大值点 8分 ， 在 10:00到 14:00这段时 间中， 11:00和 14:00时，该物体的温度最高，最高温度为 （ 3）按规定，平均温度为 ， 即该物体在 8:00到 16:00这段时间的平均温度为 12分 考点：本小题主要考查函数
14、的实际应用、利用导数求最值和定积分的计算，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力和由实际问题向数学问题转化的能力以及求解计算能力 . 点评：利用导数求解实际生活中的最值问题是高考常考考点，主要是函数模型的建立，对函数式的求导，判断单调性，求最值等 .问题背景虽然各不相同，但函数模型有限，要总结规律，找出共同的分析思路和一般的解决方法，做到思路清晰，解法成熟，胸有成竹 . （本小题满分 12分）已知： ，证明： 答案：见 试题分析：证明：显然函数 的定义域为 令 ，则 -1 - . 当 x （ -1， 0）时， 0，函数 单调递增； 当 x （ 0， ）时， 0，函数 单调递减， 因此，当 时，
15、 的最大值为 ， 所以 ，即 0， 12分 考点：本小题主要考查利用导数证明不等式，考查学生的构造能力和推理论证能力 . 点评：利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题 . （本小题满分 12分）已知函数 （ ）讨论函数 在定义域内的极值点的个数； （ ）若函数 在 处取得极值，对恒成立，求实数 的取值范围 . 答案：（ ）当时 在 上没有极值点，当 时， 在 上有一个极值点（ ） 试题分析：（ ）显然函数的定义域为 . 因为 ，所以 ， 当时，在 上恒成立，函数 在 单调递减， 在 上没有极值点； 3分 当 时，由得 ，由 得 ， 在 上递减，在 上
16、递增，即 在 处有极小值 当时 在 上没有极值点，当 时 在 上有一个极值点 . 6分 （ ） 函数 在 处取得极值，由（ ）结论知 ， ， 8分 令 ，所以 ， 令 可得在 上递减，令 可得在 上递增， 10分 ，即 . 12分 考点：本小题主要考查函 数的求导、函数的单调性、函数的极值最值和恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力 . 点评：导数是研究函数问题的有力工具，常常用来解决函数的单调性、极值、最值等问题 .对于题目条件较复杂，设问较多的题目审题时，应该细致严谨，将题目条件条目化，一一分析，细心推敲 .对于设问较多的题目，一般前面的问题较简单，问题难度阶梯式上升，先由条件将前面的问题正确解答，然后将前面问题的结论作为后面问题解答的条件，注意问题之间的相互联系，使问题化难为易，层层解决 .
