1、2012-2013学年辽宁省沈阳市四校协作体高一上学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， ，则 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：根据题意可知，集合 ，结合二次函数的值域得到集合 ,那么可知 ，故选 D. 考点：集合的交集运算 点评：解决该试题的关键是利用函数的定义域和值域准确的表示集合，属于基础题。 已知函数 是 上的增函数，那么实数 的范围（ ） A B C D 答案： D 试题分析：本题 f（ x）为分段函数，分析易得 f（ x）的两段函数均为增函数 ,同时在 x=1处第一段的函数值大于等于第二段函数的 函数值，则可知结论。 根据题意，由于 为增函数，则满
2、足 2-a0,a1成立，同时 2-4a ,综上可知 a的范围值 ，选 D. 考点：分段函数的性质 点评：本题考查分段函数的单调性的判断与应用，关键是对函数单调性定义的理解 已知函数 是奇函数，则 的值为（ ） A 2013 B 2012 C 2011 D 2010 答案： A 试题分析：根据题意，由于函数 是奇函数，则可知 f(0)=0,即可知 ,因此可知 ，故选 A. 考点：函数的奇偶性 点评：解决该试题的关键是利用函数的奇函数性质得到 f(0)=0,进而得到参数的值，求解得到，属于基础题。 已知定义域为 的偶函数 在 上是减函数，且 ，则不等式 （ ） A B CD 答案： A 试题分析：
3、根据题意，由于定义域为 的偶函数 在 上是减函数，且，那么在 上为增函数，同时 ，则可知要使得即为 ,结合对数函数的性质可知，不等式的解集为 ，选 A. 考点：函数的性质运用 点评：解决该试题的关键是利用函数的性质来结合对称性以及单调性来分析求解，属于基础题。 下面有四个结论： 偶函数的图像一定与 轴相交。 奇函数的图像不一定过原点。 偶函数若在 上是减函数，则在 上一定是增函数。 有且只有一个函数既是奇函数又是偶函数。其中正确结论的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 答案： C 试题分析：对于 偶函数的图像一定与 轴相交，不一定成立，因此错误 奇函数的图像不一定过原点，在 x=0没
4、有定义的时候成立。 偶函数若在 上是减函数，则在 上一定是增函数，符合对称性，成立 有且只有一个函数既是奇函数又是偶函数成立，即为 f(x)=0，因此正确的个数为 3个 ,选 C. 考点：函数性质的运用 点评：本题考查函数奇偶性的定义域、式及图象三种特征 若函数 与函数 在区间 上都是减函数，则实数的取值范围为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：根据题意，由于函数 与函数 在区间上都是减函数，则说明了二次函数中对称轴 x=a，在定义域的左侧，即可知 a,同时又因为 是减函数，则说明 a0即可，因此综上可知参数 a的范围是 ，选 D. 考点：函数的单调性 点评：开口向下的二次 函数在对
5、称轴右边为减函数，在对称轴左边为增函数 若函数 的定义域为 ，则实数 a的取值范围为（ ） A B C D 答案： C 试题分析： 考点：函数的概念运用 点评：解决该试题的关键是理解函数的定义域为 R，说明了分母中 x可以取到一切实数，都不为零，则可知 当 a=0,成立 当 a ,则可知解得 a的范围是 ，综上所述可知实数 a的取值范围为 ,选 C. 已知 ，则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：根据题意，由于 ，且根据题意，有而 ，故可知答案：为 A 考点：分段函数式的运用 点评：解决该试题的关键是能利用已知的关系式，对于函数值的准确求解，属于中档题。 设 ，则在下列区间中使函数
6、 有零点的区间是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由于函数 ,根据零点存在性定理可知，在f(0)=10,f(1)=2-10,f(2)=0,f(-1)0,f(-1)0，那么可知选项 D的端点值函数值异号，故成立。其余的不满足题意舍去，选 D. 考点：函数零点的区间的求解 点评：解决零点存在的区间问题，主要是看连续函数在端点值的函数值是否为异号即可，属于基础题。 若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是 （ ） A B. C. D. 答案： A 试题分析：根据题意，由于函数 的定义域是 ，则说明了对应法则f下，变量的范围是闭区间 ，而对于分式函数 有意义则要满足 因此可知函数的定义域为
7、 ，故选 A。 考点：函数定义域 点评：解决该试题的关键是对于定义域的准确理解和表示，属于基础题。 函数 的值域是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：根据已 知条件，给定函数 ，可知开口向上，对称轴 x=- ,定义域 ，可知函数先减后增，则可知函数在 x=- 时取得最小值 ，在 x=3,x=-1时同时取得最大值为 12，因此可知答案：为 B. 考点：函数的值域 点评：解题的关键是对于二次函数性质的熟练运用，属于基础题。 在给定的映射 ： 的条件下，象 3的原象是（ ） A 8 B 2或 -2 C 4 D -4 答案： B 试题分析：根据题意，由于在给定的映射 ： 的条件下，当象为 3
8、 时，则可知 ,故可知原象为 2或 -2 ，选 B. 考点：映射的概念 点评：解决该试题的关键是利用映射下的象与原象的关系，属于基础题。 填空题 设方程 的根为 ，方程 的根为 ，则 答案： 4 试题分析：根据题意，由于设方程 的根为 ，方程的根为 ，那么 且 ，表示的为同底的指数函数与对数函数与直线 y=-x+4的交点的横坐标的关系式利用互为反函数图像关于直线y=x对称可知 ，故答案：为 4. 考点：函数与方程 点评：解决该试题的关键是利用函数的图像结合反函数的性质来求解得到，属于中档题。 二次函数 的图像向左平移 2个单位，再向上平移 3个单位，得到的二次函数为 ，则 答案： -6 , 6
9、 试题分析：将二次函数 的的图像逆向变换回去后得到的就是原函数，那么可知先向下平移 3个单位得到为 再图像向右平移 2个单位，得到为 ，可知得到的式中 b=-6,c=6,故答案：为 -6， 6. 考点：二次函数图像的变换 点评：解决该试题的关键是理解平移变换影响的是 x的变换，还是 y的变换，就是看上下移动还是左右移动即可。 函数 的单调递增区间为 _. 答案： 试题分析：根据题意，由于函数 ，外层是底数为 3的对数函数，单调递增，内层是一次函数，递增，那么则可知函数的增区间就是函数 的定义域，因为 ,故可知函数 的单调递增区间为 。 考点：函数的单调性 点评：解决该试题的关键是对于复合函数单
10、调性的判定：同增异减。 设 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则 -_. 答案： -4 试题分析：根据题意，由于 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则可知 f(-x)=-f(x),那么 ,故答案：为 -4. 考点：函数奇偶性的运用 点评：利用函数奇函数的对称性，将未知区间的变量转换到已知区间，结合式求解得到。 解答题 （本小题 10分） 已知全集 , 、 、 ， 求 : ; ; 答案： ， ， 试题分析：解：由于 ，可得， ， 4 所以， ， 10 考点：集合的基本运算 点评：解决该试题的关键是能利用数轴法，来分析集合的补集和交集的运算，注意解题方法，属于基础题 （本小题 12分） 已知函数 是定
11、义在 上的偶函数，当 时， （ 1）求函数 的式，并画出函数 的图像。 （ 2）根据图像写出的单调区间和值域。 答案： (1) (2) 函数 的单调递增区间为 单调递减区间为 ，函数 的值域为 试题分析：解：（ 1）由 ，当 ，又函数 为偶函数， 3 故函数的式为 4 （ 2）由函数的图像可知，函数 的单调递增区间为 单调递减区间为 ，函数 的值域为 12 考点：函数奇偶性和函数单调性的运用 点评：解决该试题的关键是利用对称性作图，并能加以结合单调性的性质来求解最值。属于基础题。 （本小题 12分） 已知函数 ，其中 。 求函数 的最大值和最小值； 若实数 满足： 恒成立，求 的取值范围。 答
12、案： , 试题分析：解：（ 1） 2 令 ， ， 。 令 （ ） 4 当 时， 是减函数；当 时， 是增函数。 8 （ 2） 恒成立，即 恒成立。 恒成立。 由（ 1）知 ， 。 故 的取值范围为 12 考点：二次函数与不等式的恒成立问题 点评：解决该试题的关键是对于变量的整体代换求解函数的最值，同时能结合不等式恒成立分离参数来求解参数的范围属于基础题。 （本小题 12分）已知函数 是幂函数且在 上为减函数，函数 在区间 上的最大值为 2，试求实数的值。 答案： 试题分析：解：因为函数 是幂函数且在上为减函数，所以有 ，解得 ， 5 当 是 的单调递减区间， 7 当 ， 解得 9 ，解得 11
13、 综合 可知 12 考点：幂函数与二次函数 点评：解决的关键是对于常见的基本初等函数性质的熟练运用，属于基础题。 （本小题满分 12分） 有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是 （万元）和（万元），它们与投入资金 （万元）的关系有经验公式： 。今有 3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得最大利润是多少？ 答案：为获得最大利润，对甲、乙两种商品投资分别为 0.75万元和 2.25万元，获得的最大利润为 1.05万元。 试题分析：解：设对乙种商品投资 万元，则对甲种商品投资 万元，总利润为 万元， 1 根据题意得 （ 6
14、令 ， 则 ， 。 所以 （ ） 9 当 时， ，此时 11 由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品投资分别为 0.75万元和 2.25万元，获得的最大利润为 1.05万元。 12 考点：函数的运用 点评：解决的关键是对于实际问题的理解和转化为代数式，同时结合函数的性质来求解最值，属于基础题。考查了分析问题和解决问题的能力。 （本小题 12分） 已知奇函数 对任意 ，总有 ，且当 时，. （ 1）求证： 是 上的减函数 . （ 2）求 在 上的最大值和最小值 . （ 3）若 ，求实数 的取值范围。 答案： (1)根据函数单调性的定义法来加以证明 （ 2） 上最大值为 2，最小值为 -2. （ 3） 试题分析：解：（ 1）证明：令 令2 在 上任意取 4 ， ，有定义可知函数 在 上为单调递减函数。 6 （ 2） 由 可得 故 上最大值为 2，最小值为 -2. 10 （ 3） ，由（ 1）、（ 2）可得 ，故实数 的取值范围为 .12 考点：抽象函数的性质 点评：解决该试题的关键是利用抽象关系式来分析证明函数单调 性，以及结合性质求解值域，和解决不等式的求解运用，属于基础题。
