1、2012届广东省东莞市第一中学高三上学期 9月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设全集 , ，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A 1,3,5 B 1,2,3,4,5 C 7,9 D 2,4 答案： D 试题分析： 阴影部分对应的集合，它的元素在集合 B内， 所求集合的元素必定为集合 B的元素，又 阴影部分对应的集合，它的元素不在集合 A内， 所求集合的元素必定不是集合 A的元素，应该在 A的补集当中因此所求集合的元素满足两条性质： 是集合 B的元素； 是集合 A补集的元素由以上的讨论可得：图中阴影部分所表示的集合是 CB (BA) 而 BA =1,3,5,那么 CB (BA)=2,4
2、，故选 D. 考点：本试题主要考查了集合的补集和交集的运算问题。 点评：解决该试题的关键是理解阴影部分表示的为 A,B的交集在集合 B中的补集，那么可以根据集合的交集，和补集得到结论。 设数集 ，且 M、 N 都是集合的子集，如果把 叫做集合 的 “长度 ”，那么集合MN的 “长度 ”的最小值是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据题意， M的长度为 ， N 的长度为 ,当集合 MN的长度的最小值时， M与 N 应分别在区间 0， 1的左右两端，故 MN的长度的最小值是 + -1=,故选 C 考点：本试题主要考查了集合间的交集，应结合交集的意义，分析集合 “长度 ”的定义，进而得到
3、答案： 点评：解决该试题的关键是根据题意中集合 “长度 ”的定义，可得 M 的长度为 ，N 的长度为 ，分析可得当集合 MN 的长度的最小值时，即重合部分最少时，M与 N 应分别在区间 0， 1的左右两端，进而计算可得答案： 矩形 ABCD中， AB= 4， BC=3，沿 AC 将矩形 ABCD折成一个直二面角 B-AC-D，则四面体 ABCD的外接球的体积为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了 由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线 AC 上，且其半径为 AC 长度的一半，则 V 球 = ，故选 A
4、. 考点：本试题主要考查了学生的思维意识，对球的结构和性质的运用，是基础题 点评：解决该试题的关键是理解对折后的图形中球心的位置，同时要利用直二面角得到各边长，分析一个三角形的外接圆的圆心是突破口，进而得到。 给出命题：若函数 是幂函数，则函数 的图象不过第四象限在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 答案： B 试题分析：因为根据幂函数的定义，易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个故答案：为 B 考点：本试题主要考查四种命题的真假，本题解题的关键是在这四
5、个命题中，正确命题的个数是成对出现的，注意判断 点评：解决该试题的关键是明确互为逆否命题真值相同的道理，那么原命题真和逆否命题真值一 样，其否命题和其逆命题真值相同，只要判定两个即可。 如果执行图中的程序框图，若输入 ，那么输出的 等于（ ） A 720 B 360 C 240 D 120 答案： B 试题分析：解：第一次： k=1， p=13=3； 第二次： k=2， p=34=12； 第三次： k=3， p=125=60； 第四次： k=4， p=606=360 此时不满足 k 4 所以 p=360 故选 B 考点：本试题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循
6、环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题 点评：解决该试题的关键是弄清楚循环次数。讨论 k从 1开始取，分别求出 p的值，直到不满足 k 4，退出循环，从而求出 p的值。 已知向量 = (1,2 ), = (2,-3 )，若向量 满足 ( + )/ , ( + ),则 =（ ） A ( , ) B (- ,- ) C ( , ) D (- ,- ) 答案： D 试题分析：由题意可知，设向量 = (x,y ),向量 = (1,2 ), = (2,-3 )，那么由 ( + )/ ，可知有 (1+x,2+y)/(2,-3),则得到 3(1+x)-2(2+y)=0,3x-2
7、y-1=0,又因为 ( + )，那么即为 (x,y ).(3,-1)=0,3x-y=0,联立方程组得到 x=- ,y=- ,选 D. 考点：本试题主要考查了向量的共线问题，以及向量的垂直的证明运用。 点评：解决该试题的关键是利用向量的坐标运算表示出和向量的坐标，并根据垂直时数量积为零得到结论。 已知 ， 表示两个不同的平面， 为平面 内的一条直线，则 “ ”是“ ”的 ( ) A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 答案： C 试题分析：由平面与平面垂直的判定定理知， m为平面 内的一条直线，如果m ，则 ； 反过来 m为平面 内的一条直线，则 “ ”可能有 m
8、 ， m=p，可能有m 三种情况 所以 “ ”是 “m ”的必要不充分条件 故答案：为 C 考点：本试题主要考查了定理的理解，分析问题时：考虑要全面，有时可以借助实物，动手动脑，简化问题 点评：解决该试题的关键是直线和平 面垂直，平面和平面垂直的判定，二者的关系搞清楚， 函数 的最小正周期为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为由同角关系可知那个根据周期公式 T= ，故选 A. 考点：本试题主要考查了三角函数的周期公式的运用。 点评：解决该试题的关键是先利用同角的关系式，将原函数化为单一函数，进而根据周期公式得到结论。 填空题 在直角坐标系中，曲线 的参数方程为 ，以 轴的正半轴为
9、极轴建立极坐标系，曲线 在极坐标系中的方程为 若曲线 与 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析：因为曲线 的参数方程为 化成直角坐标方程为： x2+y2=1，图象是圆心在原点半径为 1 的上半圆曲线 C2利用 cos=x， sin=y，2=x2+y2，进行代换即得曲线 C2在的直角坐标方程，在直角坐标方程方程是： x-y+b=0由圆心到直线的距离得： d= =1，得到 b= 结合图象得：实数 b的取值范围是 1b 故答案：为： 1b 考点：本试题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，圆的参数方程，体会数形结合的思想，能进行极坐标和直角坐标的互化 点评：解决该试题的关键是先消
10、去参数 得到曲线的普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用 cos=x， sin=y， 2=x2+y2，进行代换即得曲线C2在的直角坐标方程在直角坐标系中画出它们的图形，由图观察即可得实数b的取值范围。 已知圆的直径 AB=10cm， C是圆周上一点（不同于 A、 B点）， CD AB于 D， CD=3cm， 则 BD=_cm. 答案：或 9 试题分析：由 AB为圆的直径， CD AB于 D，我们可以延长 CD交圆于点 E，构造出两条相交的弦，然后根据相交弦定理进行解答。 延长 CD交圆于另一点 E，由垂径定理我们易得： CD=DE=3cm，则 BD AD=CD DE=9， AB=10
11、cm 又由 BD+AD=AB=10， ,解得： BD=1或 BD=9 即 BD=1cm或 9cm，故答案：为： 1或 9 考点：本试题主要考查的知识点是与圆有关的比例线段。 点评：延长 CD交圆于 E，从而构造出圆内两条弦 AB与 CE交于点 D的情况是解答的关键。 已知条件 ，条件 ，且 的一个充分不必要条件是 ，则 的取值范围是 . 答案： 试题分析：因为 ，而 根据 的一个充分不必要条件是 ，则说明说 P集合大于 q集合，那么根据子集的定义可知 ,且 a-1 ，故实数 a的范围是 。故答案：为。 考点：本试题主要考查了不等式的求解以及充分条件的判定问题。 点评：解决该试题的关键是理解 的
12、一个充分不必要条件是 ，说明了 表示的集合小于 表示的集合。或者说 P集合大于 q集合。 在 中，若 ，则该三角形的形状是 . 答案：等腰或直角三角形 试题分析：根据正弦定理可知 故三角形可能是等腰三角形也可能是直角三角形。故答案：为等腰或直角三角形。 考点：本试题主要考查了解三角形的运用。 点评：解决该试题的关键是能根据表达式的特点，巧妙的结合正弦定理，将边化为角，然后结合三角函数的二倍角公式得到分析求解。 已知向量 ， 满足 ， 与 的夹角为 ，则 在 上的投影是 . 答案： 试题分析：根据已知条件可知 ，那么由 与 的夹角为 ，可知 cos= ,故 在 上的投影是 1，答案：为 1. 考
13、点：本试题主要考查了向量的数量积概念和性质，理解其几何意义的运用。 点评：解决该试题的关键是求解投影转化为求解数量积 除以 得到结论。注意数量积的几何意义的运用。 已知 ，则 . 答案： 试题分析：因为 ，那么构造分母 ，然后分子和分母同时除以 进而得到正切关系式，即故答案：为 考点：本试题主要考查了三角函数的化简和求值的运用。 点评：解决该试题的关键是能运用二倍角公式，将弦化为切，进而求解得到。体现了弦切之间的转换运用。 解答题 （本小题满分 12分） 已知函数 其中 ， （ I）若 求 的值；（ 4分） （ ）在（ I）的条件下，若函数 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于， 求函数 的式
14、；（ 4分） 求最小正实数 ，使得函数 的图象向左平移 个单位时对应的函数是偶函数 .（ 4分） 答案：（ I） . （ ）最小正实数 。 试题分析：（ I）利用特殊角的三角函数值化简 cos cos-sin ， sin=0，根据 | ，直接求出 的值； （ ）解法一：在（ I）的条件下，若函数 f（ x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，求出周期，求出 ，得到函数 f（ x）的式；函数 f（ x）的图象向左平移 m个单位所对应的函数是偶函数推出 m= (k Z)，可求最小正实数 m 解法二：在（ I）的条件下，若函数 f（ x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，求出周期，求出 ，
15、得到函数 f（ x）的式；利用 g（ x）是偶函 数当且仅当 g（ -x） =g（ x）对 x R恒成立，使得函数 f（ x）的图象向左平移 m个单位所对应的函数是偶函数化简 cos(3m+ )=0，然后再求最小正实数 m 解法一：（ I）由 得 2分 即 又 .4 分 （ ） 由（ I）得， 5 分 依题意， 又 .7 分 故 8 分 函数 的图象向左平移 个单位后所对应的函数为9 分 是偶函数当且仅当 10 分 即 ，从而，最小正实数 .12 分 解法二：（ I）同解法一 4 分 （ ）由（ I）得， 依题意， 又 ，故 8 分 函数 的图像向左平移 个单位后所对应的函数为 是偶函数当且仅
16、当 对 恒成立 9 分 亦即 对 恒成立。 即 对 恒成立。10 分 故 11 分 从而，最小正实数 12 分 考点：本试题主要考查了三角函数的字母变量的求法，三角函数的图象的平移，偶函数的性质，转化思想的应用，考查计算能力，是常考题，中档试题。 点评：解决该试题的关键是利用两角和差的公式得到第一问的值，对于第二问，要熟练运用三角函数的性质得到。 （本题满分 12分） 已知命题 .命题 使得 ；若 “或 为真， 且 为假 ”，求实数 的取值范围 . 答案： 或 . 试题分析：先求出命题 p， q 为真命题时， a 的范围，据复合函数的真假得到 p，q中必有一个为真，另一个为假，分两类求出 a的
17、范围 解：若 真，则 当 时的最小值，即 ， 3 分 若 真，则 或 ； 6 分 “ 或 为真， 且 为假 ”即 与 为一真一假； 7 分 当 真 假时 ，有 ， 9 分 当 假 真时，有 ， 11 分 所以实数 的取值范围是 或 .12 分 考点：本试题主要考查了复合函数的真假与构成其简单命题的真假的关系，解决此类问题应该先求出简单命题为真时参数的范围，属于基础题 点评：解决该试题的关键是将 p,q命题中参数的范围准确求解得到。同时能利用或为真，且为假，得到命题中一真一假，分情况讨论得到。 （本小题满分 14分） 如图，已知几何体的三视图 (单位： cm) (1)在这个几何体的直观图相应的位
18、置标出字母 ；（ 2分） (2)求这个几何体的表面积及体积；（ 6分） (3)设异面直线 、 所成角为 ,求 .（ 6分） 答案：解 (1) (2)几何体的全面积 ； (3异面直线 、 所成角的余弦值为 . 试题分析：（ 1）根据三视图的画出，进行复原画出几何体的图形即可 （ 2）几何体可看成是正方体 AC1及直三棱柱 B1C1Q-A1D1P的组合体，求出底面面积，然后求出体积即可 （ 3）通过建立空间直角坐标系求解也可以，也能通过平移法得到异面直线的所成的角的大小，进而解得。 解 (1)几何体的直观图相应的位置标出字母如图所示 2 分 (2)这个几何体可看成是由正方体 及直三棱柱 的组合体
19、由 ， ，可得 故所求几何体的全面积 5 分 所求几何体的体积 8 分 (3)由 ，且 ，可知 ， 故 为异面直线 、 所成的角 (或其补角 ).10 分 由题设知 ， ， 取 中点 ，则 ，且 ， 12 分 由余弦定理，得.13 分 所以异面直线 、 所成角的余弦值为 .14 分 考点：本试题主要考查了三视图复原几何体，画出中逐步按照三视图的作法复原，考查空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，转化思想，是中档题 点评：解决该试题的关键是能准确的由三视图得到原几何体，并能结合棱柱的体积和表面积公式准确运算，考查了一定的计算能力。 （本小题满分 14分） 如图， A， B是海面上位于东西方向相距
20、 海里的两个观测点，现位于A点北偏东 45， B点北偏西 60的 D点有一艘轮船发出求救信号，位于 B点南偏西 60且与 B点相距 海里的 C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为 30海里 /小时，该救援船到达 D点需要多长时间？ 答案：救援船到达 D点需要 1小时 . 试题分析：在 DAB中，由正弦定理得 DB:sin DAB=AB: sin ADB，由此可以求得 DB=10 海里；然后在 DBC中，由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BD BC cos DBC=900，即 CD=30海里；最后根据时间 = 路程：速度，即可求得该救援船到达 D点需要的时间 解 由题意可知 海里， 1
21、分 2 分 在 DAB中 ,由正弦定理得 ， 4 分 海里 .7 分 又 , 海里 .8 分 在 中，由余弦定理得 10 分 海里 . 12 分 则需要的时间 小时 .13 分，所以救援船到达 D点需要 1小时 .14 分 考点：本试题主要考查了正弦定理与余弦定理 点评：解决该试题的关键是准确找出题中的方向角，同时能灵活结合两个定义来求解时间问题。 （本小题满分 14分） 如图，四棱锥 PABCD 中， PB 底面 ABCD， CD PD，底面 ABCD为直角梯形， AD BC， AB BC， AB=AD=PB=3，点 E在棱 PA上，且 PE=2EA。 （ 1）求直线 PC与平面 PAD所成
22、角的余弦值；（ 6分） （ 2）求证： PC/平面 EBD；（ 4分） （ 3）求二面角 ABED 的余弦值 .（ 4分） 答案：（ 1）直线 PC与平面 PAD所成角的余弦值 . （ 2）见；（ 3）试题分析：（ 1）一点 B为坐标原点，以 BA为 x轴，以 BC 为 y轴，以 BP 为 z轴，建立空间直角坐标至 B-xyz，根据条件求出 CD,PD，然后求出这两个向量的所成角即为异面直线 CD与 PA所成的角； （ 2）欲证 PC 平面 EBD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 PC与平面 EBD内一直线平行连接 AC 交 BD于 G，连接 EG，根据 比例关系可知PC EG，而 E
23、G 平面 EBD， PC 平面 EBD，满足定理所需条件； （ 3）先求平面 EBD的法向量与平面 ABE的法向量，然后利用向量的夹角公式求出此角的余弦值即二面角 A-BE-D的大小的余弦值 解：（ 1）建立如图所示的直角坐标系 1 分 2 分 设平面 PAD法向量为 ， 则 ，所以 3 分 设直线 PC与面 PAD所成角为 ， 4分 5 分 所以，直线 PC与平面 PAD所成角的余弦值 .6 分 （ 2）连结 AC 交 BD于 G，连结 EG， ， 8 分 9 分 10 分 （ 3）设平面 ，由 考点：本试题主要考查了直线与平面的位置关系、两异面直线所成角、二面角及其平面角等有关知识，考查空
24、间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力 点评：解决该试题的关键是熟练的运用线面平行的判定定理和二面角概念的理解和求解的运用。 （本题满分 14分） 已知 是函数 的一个极值点，且函数 的图象在 处的切线的斜率为 2 . （ ）求函数 的式并求单调区间 .（ 5分） （ ）设 ，其中 ，问：对于任意的 ,方 程在区间 上是否存在实数根？若存在，请确定实数根的个数 .若不存在，请说明理由 .（ 9分） 答案：（ I） ，单调增区间是 ，单调减区间是 ； （ ）对于任意的 ,方程 在区间 上均有实数根且当 时 ,有唯一的实数解；当 时 ,有两个实数解。 试题分析：（ ）由 x=0
25、是函数 f（ x） =（ x2+ax+b） ex（ x R）的一个极值点，f（ 0） =0，得到关于 a， b的一个方程，函数 f（ x）的图象在 x=2处的切线的斜率为 2e2， f（ 2） =2e2；得到一个关于 a， b的一个方程，解方程组求出 a， b即可； （ ）把求得的 f（ x）代入 g（ x），方程 g（ x） =（ m-1） 2在区间（ -2， m）上是否存在实数根，转化为求函数 g（ x）在区间（ -2， m）上的单调性、极值、最值问题 解：（ I） 1 分 由 2 分 又 ，故 3 分 令 得 或 令 得 4 分 故 ，单调增区间是 ，单调减区间是 5分 . （ ）解 :
26、假设方程 在区间 上存在实数根 设 是方程 的实根， ,6 分 令 ,从而问题转化为证明方程 =0 在 上有实根 ,并讨论解的个数 7 分 因为 ，, 所以 当 时 , ,所以 在 上有解 ,且只有一解 .9 分 当 时 , ,但由于 , 所以 在 上有解 ,且有两解 10 分 当 时 , ,所以 在 上有且只有一解； 当 时 , , 所以 在 上也有且只有一解 12 分 综上 , 对于任意的 ,方程 在区间 上均有实数根且当 时 ,有唯一的实数解；当 时 ,有两个实数解 14 分 考点：本试题主要考查了函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，求函数 f（ x）的式体现了方程的思想；方程根的个数问题转化为求函数 的最值问题，体现了转化的思想方法，再求函数最值中，又用到了分类讨论的思想；属难题 点评：解决该试题的关键是方程根的个数问题转化为求函数的最值问题，并能利用导数的几何意义求解切线方程问题。
