1、2013-2014学年云南玉溪一中高二上学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：解不等式可得 A= ，然后利用交集知识即可解决 . 考点：集合的运算 . 定义域为 的偶函数 满足对 ，有 ，且当时， ，若函数 至少有三个零点，则 的取值范围是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由 f（ x+2） =f（ x） -f（ 1）恒成立可知 f（ x）图象以 x=2 为对称轴，周期 T=2，作出 f（ x）的图象，使得 y=loga（ x+1）的图象与 f（ x）的图象至少有三个交点 考点： (1)函数的性质；（ 2）函数的
2、零点 . 椭圆 ， 为上顶点， 为左焦点， 为右顶点，且右顶点 到直线 的距离为 ，则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由 F（ -c， 0）， B（ 0， b），可得直线 FB： ，利用点到直线的距离公式可得： A（ a， 0）到直线 FB的距离 = b，化简解出即可 考点：椭圆的几何性质 . 某班级有 50名学生 ,其中有 30名男生和 20名女生 ,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩 ,五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为 88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（ ） A这种抽样方法是一种分层
3、抽样 . B这种抽样方法是一种系统抽样 . C这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 . D该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 . 答案： C 试题分析：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；及方差公式求解即可 考点：（ 1）抽样方法；（ 2）数字特征 . 已知四棱锥 的三视图如图，则四棱锥 的全面积为 ( ) A B C 5 D 4 答案： B 试题分析：三视图复原的几何体是四棱锥，判断底面形状，四棱锥的特征，利用三视图的数据，求出全面积即可 考点：三视图 . 若 ， 是第三象限的角，则 等于
4、( ) A B C -2 D 2 答案： A 试题分析：本题可以先利用半角公式，由 ， 是第三象限的角，求出 tan ，然后再求 的值 . 考点：三角函数的求值 . 已知向量 满足 ，则向量 的夹角为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由题意可得可得 ，求得 的值，可得向量 的夹角 考点：向量的运算 . 已知 ， ，则 是 成立的 ( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析： p:-5x3； q： 2 x 3， P不能推得 q， q可以推得 p，所以答案：是 A. 考点：充要条件的判断 . 三个数 的大小关系为 ( ) A
5、B C D 答案： A 试题分析：可以利用介值法， 0 1； 1； 0. 考点：介值法比较大小 . 抛物线 的焦点坐标为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：先化抛物线的标准方程，得 P= ，再利用抛物线的性质即可 . 考点：抛物线的标准方程与性质 . 填空题 的内角 的对边分别为 ，若，则 =_. 答案： 试题分析：先利用正弦定理化简 sinC=2 sinB，得到 c与 b的关系式，代入 a2 b2 bc中得到 a2与 b2的关系式，然后利用余弦定理表示出 cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出 cosA的值，根据 A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出 A的值 考点：解三角
6、形 . 下列说法： “ ，使 3”的否定是 “ ，使 3”； 函数 的最小正周期是 ； “在 中，若 ，则 ”的逆命题是真命题； “ ”是 “直线 和直线 垂直 ”的充要条件；其中正确的说法是 （只填序号） . 答案： 试题分析：利用特称命题的否定是全称命题判断 的正误；函数的周期判断 的正误；利用函数的单调性判断 的掌握；通过充要条件判断 的正误 考点：（ 1）四种命题；（ 2）充要条件；（ 3）三角函数；（ 4）直线的位置关系 . 根据如图所示的程序框图，若输出 的值为 4，则输入的 值为_. 答案： 或 1 试题分析：根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出分段函数的函数值，分
7、段讨论满足 y=4的 x值，最后综合讨论结果可得答案： 考点：（ 1）流程图；（ 2）分段函数 . 设变量 满足约束条件 ，则 的最大值是 . 答案： 试题分析：先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值 考点：线性规划 . 解答题 已知数列 是等差数列，且 . （ 1）求数列 的通项公式 ; （ 2）令 ，求数列 前 n项和 . 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）数列 an是等差数列，且 a1=2，设公差为 d，代入 a1+a2+a3=12，求出 d，求出数列 an的通项公式； （ 2）数列 an的通项公式为 an n+2n，可
8、以利用数列的分组求和法，分别求一个等差数列与一个等比数列的前 n项和 试题：（ 1）由已知 5分 （ 2） 10分 考点：（ 1）等差数列；（ 2）数列求和 . 在某次测验中，有 6位同学的平均成绩为 75分用 表示编号为（ ）的同学所得成绩，且前 5位同学的成绩如下： 70,76,72,70,72. (1)求第 6位同学的成绩 ，及这 6位同学成绩的标准差 ； (2)从前 5位同学中，随机地选 2位同学，求恰有 1位同学成绩在区间 (68,75)中的概率 答案：（ 1） s 7；（ 2） 试题分析：（ 1）根据平均数公式写出这组数据的平均数表示式，在表示式中有一个未知量，根据解方程的思想得到
9、结果，求出这组数据的方差，再进一步做出标准差 （ 2）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从 5位同学中选 2个，共有C52种结果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（ 68， 75）中，共有 C41种结果，根据概率公式得到结果 试题：解： (1) 75， 675-70-76-72-70-72 90， 2分 s2 (52 12 32 52 32 152) 49， s 7. 4分 (2)从 5位同学中随机选取 2位同学，共有如下 10种不同的取法： 1,2， 1,3， 1,4， 1,5， 2,3， 2,4， 2,5， 3,4， 3,5， 4,5 8分 选出的 2位同学中，恰有 1位同学的成绩
10、位于 (68,75)的取法共有如下 4种： 1,2， 2,3， 2,4， 2,5， 10分 故所求概率为 . 12分 考点：（ 1）数字特征；（ 2）古典概型 . 已知以角 为钝角的 的内角 的对边分别为 、 、 ，且 与 垂直。 （ 1）求角 的大小； （ 2）求 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）利用 0，结合正弦定理，求出 sinB ， B为钝角，所以角 B （ 2）利用和差化积化简 cosA+cosC=2cos cos = cos(C )，由（ 1）知 A (0， )， A+ ( ， )，确定 cosA+cosC 的取值范围即可 试题：（ 1） 垂直 ， 1分
11、由正弦定理得 3分 ， ， 又 B是钝角， B 6分 （ 2）9分 由（ 1）知 A （ 0， ）， , 10分 ，（ 6分） 的取值范围是 . 12分 考点：（ 1）解三角形；（ 2）向量在解三角形中的应用 . 如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 是平行四边形， ， 是 的中点。 （ 1）求证： ； （ 2）求证： ； （ 3）若 ，求二面角 的余弦值 答案：（ 1）详见；（ 2）详见；（ 3） 试题分析：（ 1）连接 AC 交 BD于 F，连接 EF，由 ABCD是平行四边形，知 F为 AC 的中点，由 E为 SC 的中点，知 SA EF，由此能够证明 SA 平面 BDE （ 2）由 AB
12、=2， AD= ， BAD=30，利用余弦定理得 BD=1，由AD2+BD2=AB2，知 AD BD由此能够证明 AD SB （ 3）以 DA为 x轴，以 DB为 y轴，以 DS 为 z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出二面角 E-BD-C的余弦值 试题：（ 1）证明：连接 AC 交 BD于 F，连结 EF，由 ABCD是平行四边形，知 F为 AC 的中点，又 E为 SC的中点，所以 SA EF， SA 平面 BDE， EF平面 BDE， SA 平面 BDE 4分 （ 2）由 AB 2， AD ， BAD 30，由余弦定理得 AD BD SD 平面 ABCD， AD平面 ABCD， A
13、D SD， AD 平面 SBD，又 SB平面 SBD， AD SB 8分 （ 3）取 CD的中点 G，连结 EG， FG， 则 EG 平面 BCD，且 EG 1， FG BC，且 FG AD BD, AD BC， FG BD，又 EG BD BD 平面 EFG， BD EF，故 EFG是二面角 EBDC 的平面角 在 Rt EFG中 来源 :学 +科 +网 . 12分 考点：（ 1）空间线面的位置关系；（ 2）二面角的求法；（ 3）向量在立体几何中的应用 . 已知 为椭圆 的左右焦点， 是坐标原点，过作垂直于 轴的直线 交椭圆于 ，设 . （ 1）证明： 成等比数列； (2)若 的坐标为 ，求
14、椭圆 的方程； （ 3）在 (2)的椭圆中，过 的直线 与椭圆 交于 、 两点，若 ，求直线 的方程 答案：（ 1）详见；（ 2） ；（ 3） 试题分析：（ 1）由条件知 M 点的坐标为（ c， y0），其中 |y0|=d，知 ，d=b ，由此能证明 d， b， a成等比数列 （ 2）由条件知 c ， d 1，知 b2 a 1， a2 b2+2，由此能求出椭圆方程 （ 3）设点 A（ x1， y1）、 B（ x2， y2），当 l x轴时， A（ - ， -1）、 B（ - ，1），所以 0 设直线 的方程为 y=k（ x+ ），代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4 k2x+4k2 4 0再由
15、韦达定理能够推导出直线 的方程 试题： (1)证明：由条件知 M点的坐标为 ，其中 ， ， ，即 成等比数列 3分 (2)由条件知 ， 椭圆方程为 6分 （ 3）设点 A（ x1， y1）、 B（ x2， y2），当 l x轴时， A（ - ， -1）、 B（ - ，1），所以 0 设直线 的方程为 y=k（ x+ ），代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4 k2x+4k2 4 0所以 由 得整理后把 式代入解得 k= ， 所以直线 l的方程为 . 考点：数列与几何的综合 . 已知函数 是偶函数 . （ 1）求 的值； （ 2）设 ，若函数 与 的图象有且只有一个公共点，求实数 的取值范围。 答
16、案：（ 1） - ；（ 2） a a 1或 a=-3 试题分析：（ 1）根据偶函数可知 f（ x） =f（ -x），取 x=-1代入即可求出 k的值； （ 2）函数 f（ x）与 g（ x）的图象有且只有一个公共点，则方程 f（ x） =g（ x）有且只有一个实根，化简可得 2x+ a 2x a有且只有一个实根， 令 t=2x 0，则转化成方程 (a 1)t2 at 1 0有且只有一个正根，讨论 a=1，以及 =0与一个正根和一个负根，三种情形，即可求出实数 a的取值范围 试题： (1) 函数 f(x) ( 1) kx(k R)是偶函数 f(-x) ( 1)-kx -kx (4x 1)-(k
17、1)x (4x 1) kx恒成立 -(k 1) k，则 k - 4分 (2)g(x) (a - a)， 函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程 f(x) g(x)只有一个解 由已知得 (4x 1)- x (a - a) (a - a)， 且 = 8分 设 。 设 h（ t） =（ a-1） t2- at-1，若 a-1 0， h（ 0） =-1 0， 恰好有一正解， a 1满足题意。 若 a-1=0， a=1，不满足题意。 若 a-1 0，即 a 1时， =0的 a=-3或 a= ， 当 a=-3时 t= 满足题意。 当 a= 时， t=-2（舍去） 11分 综上： a的取值范围是 a a 1或 a=-3 12分 考点：对数函数图像与性质的综合应用 .
