1、2013-2014学年安徽省安庆一中合肥六中高二下学期期末文数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ，且 ，则集合 可以是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由于 ， ， 符合，选 ， 不符合， 中是点集， 中是实数集 . 考点：集合间的关系 . 已知函数 与函数 的图象关于 轴对称，若存在 ，使 时， 成立，则 的最大值为（ ） A B C D 答案： C 试题分析 :由于函数 与函数 的图象关于 轴对称，因此，由 得 ，把 代入得 ，当 时， ， 解之得 ，因此 的最大值为 . 考点：函数图象的对称性 . 已知区域 的面积为 ，点集 在坐标系中对应区域的面积为 ，则 的值为（
2、 ） A B C D 答案： A 试题分析：直线 与直线 相较于点 ，直线与直线 相交于 ，由于点集 在坐标系中对应区域的面积为 ，因此 过 的中点 ， ，解得 考点：线性规划的应用 . 已知数列 的前 项和 ,其中 ,且 则（ ） A 不是等差数列，且 B 是等差数列，且 C 不是等差数列，且 D 是等差数列，且 答案： B 试题分析：当 ， ，当 时， 满足，故该数列是等差数列， ，解得 . 考点：由 得 . 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由三视图可知，该几何体为直三棱锥，底面为等腰直角三角形，把三棱锥补成长方体，三棱
3、锥和长方体具有相同的外接球， ，因此 ， . 考点：球的体积 . 如图， 是 所在的平面内一点，且满足 ， 是的三等分点，则（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由于 是 所在的平面内一点，且满足 ，是 的三等分点，则四边形 为平行四边形， ，. 考点：向量相等和加法法则 . 设直线 和平面 ,下列四个命题中，正确的是（ ） A若 则 B若 则 C若 则 D若 则 答案： D 试题分析：平行于同一个平面的两条直线可能平行、垂直、异面；故 错；中没有说 是两条相交直线，故错； 中没有说 垂直于交线，故错；根据面面垂直的性质 对 . 考点：空间中平行和垂直的判定 . 设 ，则函数 的图像大
4、致形状是（ ） 答案： B 试题分析：函数 ，当 时， ，因此选 考点：函数的图象 . 若 ，则 （ ） A 2 B 3 C 4 D 6 答案： D 试题分析： . 考点：二倍角公式的应用 . 计算 （ ） A B CD 答案： B 试题分析：由换底公式得， . 考点：换底公式的应用 . 填空题 对于函数 ,给出下列四个命题 : 存在 , 使 ； 存在 , 使 恒成立； 存在 , 使函数 的图象关于坐标原点成中心对称； 函数 f(x)的图象关于直线 对称； 函数 f(x)的图象向左平移 就能得到 的图象 . 其中正确命题的序号是 答案： 试题分析：第一个函数 ，由于 ，因此， ，因此 不对；由
5、，得 ，由于 因此不对；第三个，当 时函数的图象关于坐标原点成中心对称，正确；第四个函数的对称轴为 ，当 时， ，正确；第五个函数 的图象向左平移就能得到 ，不对 . 考点：正弦型函数的图象和性质 . 14、已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则_. 答案： 或 . 试题分析：由于 ，解之得 或 ；当，等比数列的各项都是 8，因此 ，当 时， ，此时. 考点：等比数列的性质和前 项和公式 . 已知圆 的圆心是直线 与 轴的交点，且圆 被直线所截得的弦长为 4，则圆 的方程为 . 答案： . 试题分析：由题意知圆心坐标 ，圆心到直线 的距离，由半径、弦长的一半，弦心距的关系得 ，因此圆的方
6、程 . 考点：圆的标准方程 . 为了了解雾霾天气对城市交通的影响，调查组对 30 个城市进行了抽样调查，现将所有城市从 随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为 5的样本，已知 2号， 8号， 20号， 26号在样本中，那么样本中还有一个城市的编号应是 _. 答案： . 试题分析：该抽样属于系统抽样，分段间隔 ，因此还有一个城市的编号是 号 . 考点：系统抽样的特点 . 1、执行如图所示的程序框图 ,则输出 的值为 _. 答案： . 试题分析：满足条件，第一次执行循环体时， ；满足条件，第二次执行循环体时， ，满足条件，第三次执行循环体时， ；满足条件，第四次执行循环体时， ，不满足条件，退出
7、循环体，输出 . 考点：基本逻辑结构 . 解答题 已知函数 满足 ， ，且当 时，. （ 1）证明：函数 是周期函数；（ 2）若 ，求 的值 . 答案： (1)证明略；（ 2） . 试题分析：（ 1）对应函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的每一个值时，都有 ，那么 为这个函数的周期；（ 2）函数在定义域上满足 ，则 的周期为 的周期函数；（ 3）进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序，需注意下列问题：一是对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂来表示，二是应用平方差、完全平方公式及简化运算 . 试题：（ 1） ， ，
8、又 ， ，函数 是以 4为周期的周期函数； 6分 （ 2）由（ 1）可知 ， ，从而 ， ，又 ， ， 12分 考点：函数的周 期性；（ 2）指数幂的运算 . 某校 50名学生参加 2013年全国数学联赛初赛，成绩全部介于 90分到 140分之间将成绩结果 按如下方式分成五组：第一组 ，第二组 ， ，第五组按上述分组 方法得到的频率分布直方图如图所示 （ 1）若成绩大于或等于 100分且小于 120分认为是良好的，求该校参赛学生在这次数学联赛中成绩良好 的人数； （ 2）若从第一、五组中共随机取出两个成绩，求这两个成绩差的绝对值大于30分的概率 答案： (1)27;(2) . 试题分析： (1
9、)关键是从频率分布直方图中提取数据信息，进行统计与概率的正确运算；（ 2）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（ 3)当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合；（ 4）注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性 . 试题：（ 1）由频率分布直方图知，成绩在 内的人数为： （人） 所以该班成绩良好的人数 为 27人 5分 （ 2）由频率分布直方图知，成绩在 的人数为 人，设为 、
10、 、； 成绩在 的人数为 人，设为 、 、 、 . 若 时，有 3种情况； 若 时，有 6种情况； 若 分别在 和 内时，共有 12种情况 .所以基本事件总数为 21种，事件 “ ”所包含的基本事件个数有 12种 . （ ） 12分 考点：（ 1）频率分布直方图的应用；（ 2)利用古典概型求概率 . 在锐角 中， 分别是角 的对边， ，. （ 1）求 的值； （ 2）若 ，求 的值 . 答案： (1) ;(2) . 试题分析： 1）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边 .（ 2）利用同角三角函数的基本关系求角的余弦值值 .（ 3）若是已知两边和一边的
11、对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断 .（ 4）在三角形中，注意 这个隐含条件的使用 .（ 4）理解正弦定理与余弦定理的使用条件，不要搞混 . 试题：（ 1） ， ， ， ， ， 是锐角三角形， ， ； 6分 （ 2） ， ；又由正弦定理 ，得 ，解得 ， ， ， ， 即边 的长为 5 12分 考点： (1)在三角形中求余 弦值；（ 2)求三角形的边长 . 如图， 为圆 的直径， 为圆周上异于 、 的一点， 垂直于圆所在的平面， 于 点 ， 于点 . （ 1）求证： 平面 ； （ 2）若 ， ，求四面体 的体积 . 答案：（ 1）证明见；（ 2） . 试题分析： (1)利用线
12、面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全 ,证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高，中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形等等； (2)利用棱锥的体积公式 求体积 .(3)证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面 .解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化 .(4)在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算 . 试题： (1）证明： BC为圆 O的直径 CD BD AB 圆 O所在的平面 AB CD
13、 且 AB BD=B CD 平面 ABD 又 BF 平面 ABD CD BF 又 BF AD 且 AD CD=D BF 平面 ACD 6分 （ 2）法一： AB=BC= ， CBD=45 BD=CD= BE AC E为 AC中点 又 CD 平面 ABD E到平面 BDF的距离为 在 Rt ABD中，由于 BF AD 得 13分 法二： AB=BC= ， CBD=45 BD=CD= BE AC E为 AC中点 E到边 AD的距离为 在 Rt ABD中，由于 BF AD，得 ，由（ 1）知 BF 平面 DEF 13分 考点： (1）直线与平面垂直的判定；（ 2）求四面体的体积 . 已知集合 ， ，
14、 （ 1）若 ，求 的取值范围； （ 2）是否存在实数 使得 ？若存在求出 的取值范围；若不存在，请说明理由 . 答案： (1) ;(2) . 试题分析： (1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解；（ 2）恒成立问题一般需转化为最值，利用单调性证明在闭区间的单调性 .(3)一元二次不等式在 上恒成立，看开口方向和判别式 .(4)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单，对于恒成立的问题， 常用到以下两个结论：（ 1） ，（
15、 2） 试题： (1)因为 ，所以 ， ， ， 法一：转化恒成立的不等式 也就是当 时，不等式 恒成立，即 恒成立，令 ，则 时 为减函数，故，所以 ，即 ； 7分 法二：数形结合 令 ，则 ，得 ； 7分 （ 2）因为 ，所以要使 ，只要 能成立，也就是能成立，只要 即可，由（ 1）知 ，即 13分 考点：（ 1）集合间的基本关系；（ 2）利用最值证明恒成立问题 . 在等差数列 中， ， ，记数列 的前 项和为 （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）是否存在正整数 、 ，且 ，使得 、 、 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的 、 的值；若不存在，请说明理由 答案：（ 1） ；（ 2） .
16、 试题分析： (1)根据等差数列的首项和公差求通项公式；（ 2）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和 .使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的；（ 3）与数列有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用题中关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第 四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点 . 试题： (1）设等差数列 的公差为 ， 因为 即 解得 所以 数列 的通项为 5分 （ 2）因为 ， 所以数列 的前 项和 假设存在正整数 、 ，且 ，使得 、 、 成等比数列， 则 即 所以 因为 ，所以 即 因为 ，所以 因为 ，所以 此时 所以存在满足题意的正整数 、 ，且只有一组解，即 ， 13分 考点：（ 1）等差数列的通项公式；（ 2）裂项求和；（ 3）探索性问题 .
