1、2013-2014学年安徽省阜阳市阜阳一中高一下学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 集合 ， ，则 为（ ） A B C D 答案： C 试题分析： lgx 0 x 1， x24 -2x2， MN=（ 1， 2故答案：选 C 考点：集合的交集运算 ;对数不等式；一元二次不等式 . 已知函数 是定义在 的奇函数，当 时， ，若对任意的，不等式 恒成立，则实数 的最大值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：当 时， ， 函数是奇函数 当 x 0时， ， f（ x）在 R上是单调递减函数，且满足 9f（ x+t） =f（ 3x+3t）， 不等式 f（ x） 9f（ x+t）在 t
2、， t+1恒成立， x3x+3t在 t， t+1恒成立， 即： 在 t， t+1恒成立， ，解得 ，故实数 t的最大值是 故选： A 考点：函数恒成立问题 , 函数的单调性与奇偶性 函数 所有零点之和等于 （ ） . A 2 B 4 C 6 D 8 答案： B 试题分析：令函数 与 的图象有公共的对称中心（ 1， 0），作出两个函数的图象， 当 时， ， 而函数 在（ 1， 4）上出现 1.5个周期的图象，在 (2, )上是单调增且为正数函数， 在（ 1， 4）上出现 1.5个周期的图象，在 ( ， 3)上是单调减且为正数， 函数 在 x= 处取最大值为 2 ， 而函数 在（ 1， 2）、（
3、3， 4）上为负数与 的图象没有交点， 所以两个函数图象在（ 1， 4）上有两个交点（图中 C、 D）， 根据它们有公共的对称中心（ 1， 0），可得在区间（ -2， 1）上也有两个交点（图中 A、 B）， 并且： ，故所求的横坐标之和为 4， 故答案：为： 4 考点：正弦函数的图象特征 ;函数的零点与方程的根的关系 . 在四边形 中， ， ,则该四边形的面积为（ ） . A B C 5 D 15 答案： D 试题分析：因为在四边形 ABCD中， , , 所以四边形 ABCD的对角线互相垂直，又 , 该四边形的面积： ,故选 D 考点：向量在几何中的应用；三角形的面积公式；数量积判断两个平面向
4、量的垂直关系 首项为 的等差数列，从第 项起开始为正数，则公差 的取值范围是（ ） . A B C D 答案： D 试题分析：由已知得： ，即 -10+9d0,得到 ； 即 -10+8d 0,得到 ，故选 D. 考点：等差数列的性质 ;等差数列的通项公式 . 设首项为 ，公比为 的等比数列 的前 项和为 ，则（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由题意可得 =1 = ， = = ，故选 D 考点：等比数列的求和公式、通项公式；指数的运算 . 已知在 中， , ，则 （ ） A 2 B -4 C -2 D 4 答案： B 试题分析：由题意可知： 与 的夹角为 ,所以= = = ，故选 B
5、. 考点：向量的夹角的定义；向量的数量积的运算 . 若 是偶函数，且当 的解集是 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：先画出函数 f（ x）的图象， 根据 f（ x-1）的图象是由 f（ x）的图象向右平移 1个单位， 画出其图象，如图所示， f（ x-1） 0的解集是（ 0， 2）故答案：选 A. 考点：函数的图象变换；数形结合法解不等式 为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像（ ） A向右平移 个长度单位 B向右平移 个长度单位 C向左平移 个长度单位 D向左平移 个长度单位 答案： B 试题分析： =sin2（ x- ），为了得到函数 的图象，只需将 的图象向右平移 个单位即
6、可，故选 A 考点：函数 y=Asin（ x+）的图象变换 .三角函数图像的平移 . 已知 ，则（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，即 ，又 b=2a, ba, ,即 ， ，故选 C. 考点：对数函数的单调性；指数函数的单调性；比较大小的方法 . 填空题 如图，已知正方形 的边长为 ， 在 延长线上，且 .动点从点 出发，沿正方形 的边按逆时针方向运动一周回到 点，其中，则下列命题正确的是 .（填上所有正确命题的序号） ； 当点 为 中点时， ； 若 ，则点 有且只有一个； 的最大值为 ； 的最大值为 . 答案： 试题分析：由题意，不妨设正方形的边长为 1，建立如图所示的坐标系，
7、(1)则 B（ 1， 0）， E（ -1， 1），故 AB=（ 1， 0）， AE=（ -1， 1），所以= ，由图像可知 ，故 正确； (2)当点 为 中点时， ， = ，所以= ， 解得 ，则 ，故 正确； (3)当 =1， =1时， AP=（ 1， 1），此时点 P与 D重合，满足 +=2， 当 = ,= 时， AP=（ 1， ），此时点 P为 BC的中点，满足 +=2， 故满足 +=2的点不唯一，故 错误； (4)当 P AB时，有 0-1， =0，可得 01，故有 0+1， 当 P BC时，有 -=1， 01，所以 0-11，故 12，故 1+3， 当 P CD时，有 0-1， =1
8、，所以 0-11，故 12，故 2+3， 当 P AD时，有 -=0， 01，所以 01，故 0+2， 综上可得 0+3，故 正确， (5) = = , 当 P AB时，有 0-1， =0，可得 0-1，故有 -1 0， 当 P BC时，有 -=1， 01， 022,所以 0-11，故 12， -2-1 故 -2-+21， 当 P CD时，有 0-1， =1，所以 0-11，故 12， -2-1，故-1 0， 当 P AD时，有 -=0， 01，所以 01， -1-0，故 0-+21， 综上可得 -2-+21，故 正确， 考点：向量加减的几何意义，向量的线性运算性质及几何意义 已知数列 通项为
9、 ，则 . 答案： -1008 试题分析：代入 n=1,2,3,4.可得： .可以看出数列 是由 -2， -6.-2014（共 504项）和 4,8,12. （共 503项）构成的两个等差数列，所以. 考点：等差数列前 n项和公式 . 在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，且 是与 的等差中项，则角 _. 答案： 试题分析：因为 是 与 的等差中项，所以 2 = + ，由正弦定理得 ， ，联立得： ， ，再代入余弦定理 ，得到 = ，即 . 考点：三角形中的正、余弦定理 . 已知函数 在区间 上的最大值与最小值的和为 ，则实数 _ _. 答案： 试题分析：当 ,函数 为增函数，最大值与最小值的和
10、 ，解得 ，不合题意，舍去 . 当 ，函数 为减函数，最大值与最小值的和 ，解得 ；综上： 考点：指数、对数函数的单调性；指数、对数函数的最值 . 已知 ，那么 _ _. 答案： 试题分析：因为 ，所以由诱导公式得： 考点：三角函数的求值 ;诱导公式 . 解答题 已知 内角 所对边长分别为 ，面积 ，且 . （ 1）求角 ； （ 2）若 ，求 的值 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）由 得 ； 得 ，两式相除即可 .（ 2）由（ 1）知 ，得到 ，已知条件 ，再结合余弦定理得到结果 . （ 1）由 且 ，得 ， 2分 则 ，所以 ； 6分 （ 2）由 ，可得 ，由 ，可得 ， 8
11、分 由余弦定理可知， ， 11分 所以 12分 考点：三角形面积公式；向量的数量积公式；余弦定理 . 已知函数 的部分图象如图所示 . （ 1）求 的表达式； （ 2）设 ,求函数 的最小值及相应的 的取值集合 . 答案：（ 1） （ 2） 的最小值为 ，相应的 的取值集合为 . 试题分析：（ 1）根据图像观察即可； （ 2）先找出 g(x),利用两角和的正弦公式展开，最后求出最小值 . （ 1）可求 ， 5分 所以 6分 （ 2） ， 10分 则 ，即 时， 的最小值为 ， 所以 取最小值 时，相应的 的取值集合为 . 12分 考点： 的图像与性质；两角和的正弦公式；三角函数的最值 . 设函
12、数 （其中 ），区间 . （ 1）求区间 的长度（注：区间 的长度定义为 ）； （ 2）把区间 的长度记作数列 ，令 ，证明： . 答案：（ 1） （ 2）见 试题分析：（ 1）由 ，得 ，解一元二次不等时即可 . （ 2）先利用裂项相消法求出 = ，故 ,又易知单调递增，故 ，即可 . （ 1）由 ，得 ，解得 ， 3分 即 ，所以区间 的长度为 ； 6分 （ 2）由（ 1）知 ， 7分 则 10分 因为 ，故 ， 11分 又易知 单增，故 ， 综上 . 12分 考点：区间 的长度的定义；裂项相消法 . 设函数 ，且有 . （ 1）求证： ，且 ； （ 2）求证：函数 在区间 内有两个不同的
13、零点 . 答案：（ 1）见 （ 2）见 试题分析：（ 1）由 这三个条件联立即可 . （ 2）由抛物线 得 ； ， 结合二次函数的图像即可判断 . 证明：（ 1）因为 ，所以 ， 2分 由条件 ，消去 ，得 ； 由条件 ，消去 ，得 ，即 ， 5分 所以 ； 6分 （ 2）抛物线 的顶点为 ， 由 ，得 ，即有 ， 8分 又因为 ， ，且图象连续不断， 所以函数 在区间 与 内分别有一个零点， 故函数 在 内有两个不同的零点 . 12分 考点：解不等式；二次函数的图像和性质；零点的判断方法 . 设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足 ，且 恰为等比数列 的前三项 . （ 1）证明：数列 为
14、等差数列； （ 2）求数列 的前 项和 . 答案：（ 1）见； （ 2） . 试题分析：（ 1）根据递推关系式得 ，结合 恰为等比数列的前三项，得到结论 . （ 2）先由 得到，两式相减，利用错位相减法求前n项和 . 所以 . （ 1）当 时， ，则 ， 于是 ，而， ，故 ， 2分 所以 时， 为公差为 2的等差数列， 因为 恰为等比数列 的前三项，所以 即 ，解得 ， 3分 由条件知 ，则 ， 4分 于是 ， 所以 为首项是 1，公差为 2的等差数列； 6分 （ 2）由（ 1）知 ， 8分 ， 两边同乘以 3得， ， 9分 两式相减得 ， 12分 所以 . 13分 考点：递推关系式；等差数
15、列的通项公式；错位相减法 . 已知函数 定义在 上，对任意的 ， ，且. （ 1）求 ，并证明： ； （ 2）若 单调，且 .设向量 ，对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）借助于 特殊值得 ，然后把变形 = 即可，（ 2） 首先判断出函数 是增函数，然后找出 ，代入 整理的 ，最后用分类讨论的思想方法求出 即可 . （ 1）令 得 ，又 ， ， 2分 由 得 = ， ， . 5分 （ 2） ，且 是单调函数， 是增函数 . 6分 而 ， 由 ，得 ， 又 因为 是增函数， 恒成立， . 即 . 8分 令 ，得 (). ， ，即 . 令 ， 10分 当 ，即 时，只需 ， ()成立， ，解得 ； 11分 当 ，即 时，只需 ， ()成立， ，解得 ， . 12分 当 ，即 时，只需 ， ()成立， ， ， 13分 综上， . 14分 考点：抽象函数；函数的单调性；向量的数量积公式；不等式恒成立的问题；分类讨论的思想方法 .
