1、2013-2014学年山东省高二暑假作业数学试卷与答案三（带解析） 选择题 “ ”是 “ ”的（ ） A充分条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：因为 ， ，而 是的真子集，所以 “ ”是 “ ”的充分而不必要条件，故选择 B. 考点：解不等式及充要条件 . 函数 （其中 ， ）的图象如图所示，为了得到 的图象，只需将 的图象（ ） A向右平移 个单位长度 B向左平移 个单位长度 C向右平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度 答案： C 试题分析：由函数图象可知 ， ，即 ，所以 ，又 过 ，代入得 ，因为 ，所以，即有 ，从而 ，此时为
2、了得到 的图象，只需将 的图象向右平移 个单位长度，故选择 C. 考点：三角函数的图象、性质及图象变换 . 定义域为 的函数 图象的两个端点为 ， 是 图象上任意一点，其中 ，向量 ，若不等式 恒成立，则称函数 在 上 “ 阶线性近似 ”.若函数 在上 “ 阶线性近似 ”，则实数 的取值范围为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：函数 ， ，依题意 ， （ ）， ， 由定义域为 的函数 图象的两个端点为 ， 是 图象上任意一点，其中 知： ，令 ，则 ，所以 在 递减， 递增，从而有，即 从而 ，不等式 恒成立，则 ，故选择 C，确定 是解题正确的关键 . 考点：参数范围及函数综合应用
3、 . 以下正确命题的个数为（ ） 命题 “存在 ， ”的否定是： “不存在 ， ”； 函数 的零点在区间 内； 函数 的图象的切线的斜率的最大值是 ； 线性回归直线 恒过样本中心 ，且至少过一个样本点 . A B C D 答案： D 试题分析： 按命题否定的规则，正确的否定应为 “ ， ”，故 正确； 函数 是 上的增函数，且 ，所以函数 的零点在区间 内，故 正确； 函数 的导数， 的图象的切线的斜率的最大值是 ，故 正确； 线性回归直线 恒过样本中心 ，但 “且至少过一个样本点 ”说得不正确，故 不正确 .综上 正确，故选择 D. 考点：逻辑、统计及导数应用 . 如图，菱形 的边长为 ，
4、, 为 的中点，若 为菱形内任意一点（含边界），则 的最大值为（ ） A B C D 9 答案： D 试题分析：以 为原点， 为 轴建 立直角坐标系，则，设 ，所以，从而 ，因为 为菱形内任意一点（含边界），所以当点 运动到 点处时， 取得最大值为 ，故选择 D. 考点：向量数量积与线性规划的综合 . 已知 ， ，若 为满足 的一随机整数，则是直角三角形的概率为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由 得 ，即 ，因为 是整数，故，而保证 是直角三角形的 的取值为 ，故概率为 ，故选择 A，注意是古典概型而不是几何概型 . 考点：平面向量的运算及关系和古典概型中的概率计算 . 已知双曲
5、线 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，且双曲线的离心率等于 ，则该双曲线的方程为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由抛物线 的焦点为 ，得双曲线的 ，双曲线的离心率等于 ，所以 ，进而 ，因此双曲线的方程为 ，故选择 D. 考点：圆锥曲线的性质 . 已知抛物线 的准线与双曲线 交于 两点，点为抛物线的焦点，若 为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ） A B C 2 D 3 答案： B 试题分析：抛物线 的准线为 ，它与双曲线 交于两点，则坐标为 ，抛物线的焦点 ，因为 为直角三角形，则有 ，从而有 ， ，因此 ，故选择B. 考点：圆锥曲线的性质 . 曲线 （ 为参数）与 坐标轴的交点
6、是（ ） A B C D答案： B 试题分析：由曲线的参数方程消去参数得普通方程为 ，它与 坐标轴的交点是 ，故选择 B. 考点：参数方程化普通方程 . 己知等差数列 的首项为 ，公差为 ，其前 项和为 ，若直线与圆 的两个交点关于直线 对称，则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：由直线 与圆 的两个交点关于直线对称，可得直线 与直线直线 是互相垂直的关系，且直线 过圆心 ，从而有 、 ，进而有 ，故选择 C. 考点：直线与圆、等差数列求和 . 填空题 定义 “正对数 ”： ，现有四个命题： 若 ，则 若 ，则 若 ，则 若 ，则 其中的真命题有： _.（写出所有真命题的编号） 答
7、案： 试题分析： 因为定义的 “正对数 ”： 是一个分段函数 ，所以对命题的判断必须分情况讨论： 对于命题 （ 1）当 ， 时，有 ，从而 ，所以 ；（ 2）当 ， 时，有 ，从而 ， ，所以 ；这样若，则 ，即命题 正确 . 对于命题 举反例：当 时， ，所以 ，即命题 不正确 . 对于命题 ，首先我们通过定义可知 “正对数 ”有以下性质： ，且，（ 1）当 ， 时， ，而，所以 ；（ 2）当 ， 时，有 ，而 ，因为 ，所以；（ 3）当 ， 时，有 ，而 ，所以 ；（ 4）当 ， 时， ，而 ，所以，综上即命题 正确 . 对于命题 首先我们通过定义可知 “正对数 ”还具有性质：若 ，则，（
8、 1）当 ， 时，有 ，从而， ，所以；（ 2）当 ， 时，有 ，从而， 相关试题 2013-2014学年山东省高二暑假作业数学试卷三（带） 若函数 （ 且 ）有两个零点，则实数 的取值范围是 _. 答案： 试题分析：因为函数 （ 且 ）有两个零点，所以指数函数 （ 且 ）与一次函数 （ 且 ）它们的图象应有两个交点，当 时，它们的图象只有一个交点，不符合题意；当 时，它们的图象有两个交点，符号题意，所以实数 的取值范围是 ，注意等价转化和数形结合思想的使用 . 考点：函数与方程的综合 . 奇函数 在定义域 上是减函数，且 ，则实数的取值范围是 _. 答案： 试题分析：因为 为奇函数，所以由
9、，得，又因为函数 在定义域 上是减函数，所以有 ，解得 ，故实数 的取值范围是 ，注意不要忽略定义域 . 考点：抽象函数的性质及解不等式 . 若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为_. 答案： 试题分析：先求导数 ，设切点为 ，因为切线 与直线垂直，所以有 ，得 ，从而切点为 ，所以切线方程为 ，即 . 考点：导数的应用：求曲线的切线方程 . 解答题 已知函数 （ ， ）在一个周期上的一系列对应值如下表： （ ）求 的式； （ ）在 中， ， 为锐角，且 ,求 的面积 . 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）由图象求三角函数式的程序是：先定振幅 ，后定周期 ，由周期定 ，最后代
10、最高（低）点定初相 ；（ ）对照条件选择好面积公式，运用正弦定理即可解决问题 . 试题：（ ）由表格知 ，从而有 ，此时，将点 代入，得 ，又 ，所以有 ，即有 . （ ） ，即 ，又 为锐角， 在 中，由正弦定理得： ，又 ， ， . 考点： 1.三角函数图象与性质； 2.解三角形 . 如图，椭圆 的离心率为 ， 轴被曲线截得的线段长等于 的短轴长 . 与 轴的交点为 ，过坐标原点 的直线 与相交于点 ，直线 分别与 相交于点 . （ ）求 、 的方程； （ ）求证： ； （ ）记 的面积分别为 ，若 ，求 的取值范围 . 答案：（ ） , ；（ ）详见；（ ） . 试题分析：（ ）曲线方程
11、与性质的互求遵循：定型、定位、定量，这里关键是定量；（ ）几何中垂直关系的证明，主要是用向量的数量积为零来处理，而从斜率处理就涉及到斜率的存在与否不是很好，而数量积的计算常用的坐标形式，这样就和几何的思想法挂上了钩；（ ）首先要设变量，用变量来表示，进而表示 ，这一转化过程必须用法完成，注意运算能力的培养，接下来运用函数或不等式的知识来求范围即可 . 试题：（ ） 又 ，解得 ，. （ ）依题意有 ，设直线 ， 则 ，有 . （ ）设直线 ； ，解得 或 ，同理可得 . 解得 或 ， ，同理可得，即 . 考点： 1.圆锥曲线的方程和性质； 2.直线与曲线的综合 . 已知数列 是等差数列， （
12、） . （ ）判断数列 是否是等差数列，并说明理由； （ ）如果 ， （ 为常数），试写出数列 的通项公式； （ ）在（ ）的条件下，若数列 得前 项和为 ，问是否存在这样的实数 ，使 当且仅当 时取得最大值 .若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由 . 答案：（ ）数列 是等差数列；（ ） ；（ ） 或 . 试题分析：（ ）等差数列的证明一般是从定义出发，注意若用 为常数，则需 且 ；若用若用 则 为常数，则需 .（ ）因为，所以求数列 的通项公式，关键是先求出等差数列 的通项公式，即求出 ，这样就必须建立关于 的两个方程，求出 ，显然必须从条件提供的两个等式出发去求解，注意求解的技巧；（ ）关于等差数列前 项和的最值问题，通常有两个思路，其一，从求和公式考虑，因为求和公式是关于 的二次式，可以结合二次函数知识解决问题，但要注意数列自身的特点，即 ；其二，从通项考虑，看何时变号 .此题从通项考虑比较好 . 试题： （ ）设 的公差为 ，则数列 是以 为公差的等差数列 . （ ） 两式相减： ， （ ）因为当且仅当 时 最大 有 ， ， 即 由 解得 或 ；由 解得 或 ， 综合得 或 . 考点：等差数列的定义及求和、求通项 .
