1、2013-2014学年广东广州执信中学高一上学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 三个数 ， ， 的大小顺序是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：因为 ， ， ，所以，故选 C. 考点： 1.指数函数的单调性； 2.对数函数的单调性 . 设函数 ，对于给定的正数 ，定义函数若对于函数 定义域内的任意 ，恒有，则（ ） A 的最大值为 B 的最小值为 C 的最大值为 1 D 的最小值为 1 答案： B 试题分析：函数 的定义域为 ，依题意，对任意 ， 恒成立，故 ，而当 时，故 ，即，所以 . 考点： 1.新定义的理解； 2. 不等式恒成立的问题； 3. 函数的最值 . 下列
2、四个正方体图形中， 为正方体的两个顶点， 分别为其所在棱的中点，能得出 平面 的图形的序号是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：对图 ，构造 所在的平面，即对角面 ,可以证明这个对角面与平面 平行 ,由面面平行的的性质可得 平面 ，对图 ，通过证明，然后可得 平面 ；对于 、 无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行。故选 B. 考点： 1.线面平行的判定； 2.面面平行的判定与性质 . 已知 是定义在 上的偶函数，它在 上是减函数，若，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： 是偶函数， ， 可转化成 ， 在 上是减函数， 即 ，故选 C. 考点： 1.偶函
3、数的性质； 2.函数的单调性； 3.对数不等式的解法 . 已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：该几何体为三棱柱 ,底面为直角三角形 (看俯视图 ),有两个侧面为正方形 (看正视图和侧视图 ),还有一个侧面是长 为宽为 1的矩形 ,所以表面积，故选 C. 考点： 1.三视图； 2.空间几何体的表面积 . 已知直线 ， 互相平行，则 的值是（ ） A B C 或 D 答案： B 试题分析：依题意可得 ，整理得 ，解得或 ，当 时， ， 即 ，两直线重合，不符合，舍去，经检验 时符合要求，故选 B. 考点：两直线平行的条件 . 长方体的三个相邻面的面
4、积分别是 ，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：设长方体的一个顶点上的三条棱长分别为 ，则；所以 ，于是 ，而它的 8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的体对角线的长是= ，所以球的半径是 ，这个球的表面积为 ，故选 C. 考点： 1.空间几何体的表面积； 2.球的内接多面体的问题 . 已知点 是圆 上任意一点， 点关于直线的对称点在圆上，则实数 等于 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：将圆 化成标准方程，故圆心为 ，依意可知直线 过点圆心 ，所以 ，故选 B. 考点： 1.圆的方程； 2.直
5、线与圆的位置关系 . 已知 ，则 （ ） A B CD 答案： B 试题分析： ，故选 B. 考点：对数的运算 . 已知直线 和平面 ，下列推论中错误的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：对 A，根据线面垂直的性质可知，成立；对 B，根据两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面可知，正确；对 C，如下图（ 1），假设 ，设 ，则 ，由 可知 ，而 ，由线面垂直的判定定理可知 垂直于两交线 与 确定的平面，记该平面为 ，根据过空间一点 有且只有一个平面与已知直线 垂直可知 与重合，由 ，可得 ，这与假设 矛盾，从而假设不正确，从而 或 ，所以 C正确，而 D不正确
6、，如下图（ 2），图中各组平面相互平行，而第一组 ，第二组 相交，而第三组 异面，故选 D. 考点：空间中线与线的位置关系及线与面的位置关系 . 填空题 在平面直角坐标系 中，已知点 ，分别以 的边 向外作正方形 与 ，则直线 的一般式方程为 . 答案： 试题分析：分别过 作 轴的垂线，垂足分别为 ，因为四边形为正方形，所以 ，可得 ， ，可得 ，由此可得 坐标为 ，同理得到 ，所以直线 的斜率为，可得直线 的方程为 ，化简得. 考点：直线的一般式方程 . 如图，在直四棱柱 中，点 分别在 上，且， ，点 到 的距离之比为 3： 2，则三棱锥和 的体积比 = _ _. 答案： 试题分析：点 到
7、 的距离之比为 ，所以 ，又直四棱柱中， ， ，所以 ，于是. 考点： 1.直棱柱的定义； 2.棱锥体积公式 . 如图， 是 的直径， 垂直于 所在的平面， 是圆周上不同于的任意一点，则图中直角三角形有 个 .（要求：只需填直角三角形的个数，不需要具体指出三角形名称） . 答案：个 试题分析： 平面 ，则 和是直角三角形； 是 的直径， 是圆周上不同于 、 的任意一点，所以， 是直角三角形；又 平面 ， ，则 是直角三角形；故直角三角形有 4个 . 考点： 1.圆的性质； 2.线线垂直的判定； 3.线面垂直的判定与性质 . 在直角坐标系中，直线 的倾斜角 答案： 试题分析：直线 化成 ，可知
8、，而，故 . 考点：直线的倾斜角与斜率 . 解答题 已知直线 经过直线 与直线 的交点 ，且垂直于直线 . （ 1）求直线 的方程； （ 2）求直线 关于原点 对称的直线方程 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）属于点斜式求直线的方程，先求交点即直线 经过的点，再根据 与直线 垂直求得直线 的斜率 ，然后根据点斜式写出直线的方程，并化成一般方程；（ 2）找出直线 上的两点，然后分别求出这两点关于原点的对称点，这两对称点所在的直线方程即为所求 . 试题： (1)由 解得 3分 由于点 的坐标是 又因为直线 即 的斜率为 4分 由直线 与 垂直可得 5分 故直线 的方程为： 即
9、6分 (2)又直线 的方程 在 轴、 轴上的截距分别是 与 ， 8分 则直线 关于原点对称的直线在 轴、 轴上的截距分别是 1与 2， 10分 所求直线方程为 即 12分 . 考点： 1.直线的方程； 2.直线关于点的对称问题 . 设全集为 ，集合 ， （ 1）求如图阴影部分表示的集合； （ 2）已知 ，若 ，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先分别确定集合 ， ，而从文氏图中，可知阴影部分为集合的外面，却是集合 的一部分，故只要求 即可；（ 2） ，说明的元素都在 中或 为空集，因为空集是任意集合的子集，分两种情况讨论可求得 的值 . 试题：（ 1）
10、， 2分 ， 4分 阴影部分为 7分 （ 2） ，即 时， ，成立 9分 ，即 时， 12分 得 14分 综上所述， 的取值范围为 考点： 1.集合的运算； 2.集合的包含关系； 3.二次不等式； 4.对数不等式 . 如图，长方体 中， ，点 为 的中点 （ 1）求证：直线 平面 ； （ 2）求证：平面 平面 ； （ 3）求 与平面 所成的角大小 . 答案：（ 1）见；（ 2）见；（ 3） . 试题分析：（ 1）记 ，先作辅助线 ，这几乎是用几何法证明线面平行、线面垂直的必经之路了，对些考生要有意识，然后根据线面平行的判定定理进行证明即可；（ 2）要证明平面 平面 ，只须证 平面 ，然后又只须
11、证明平面 的两条相交直线 、 与 垂直；从而实现平面 平面 ；（ 3）由（ 2）可知，只须求出 ，在直角三角形 进行求解即可 . 试题：证明：（ 1）设 和 交于点 ，连 由 分别是 ， 的中点，故 平面 , 平面 所以直线 平面 （ 2）长方体 中， ，底面 是正方形，则，又 面 ，则 ， 平面 , 平面 ， 面 平面 平面 平面 （ 3）由（ 2）已证： 面 在平面 内的射影为 是 与平面 所成的角 依题意得 ， 在 中， , 与平面 所成的角为 . 考点： 1.线面平行的证明； 2.面面垂直证明； 3.线面角的计算 . 如图，已知圆 ，点 . （ 1）求圆心在直线 上，经过点 ，且与圆
12、相外切的圆 的方程； （ 2）若过点 的直线 与圆 交于 两点，且圆弧 恰为圆 周长的 ，求直线 的方程 . 答案：（ 1） ；（ 2） 或 . 试题分析：由圆心在直线 上，设出圆心 ，根据圆 与圆相切，得到点为切点，表示半径，由 ，求 的值，即可求出圆 的方程；（ 2）先考虑直线斜率不存在的情况， 显然满足题意；后考虑直线斜率存在的情况，由对称性得到圆心到直线 的距离为 5，设出直线 的方程，利用点到直线的距离公式求出 的值，确定此时直线 的方程，综上，得到所有满足题意直线 的方程 . 试题：（ 1）由 ，得 2分 所以圆 的圆心坐标为 又圆 的圆心在直线 上 依题意可知两圆外切于 点，设圆
13、 的圆心坐标为 3分 则有 ，解得 分 所以圆 的圆心坐标为 ，半径 5分 故圆 的方程为 综上可知，圆 的方程为 6分 ( )因为圆弧 恰为圆 圆周的 ， 所以 8分 所以点 到直线 的距离为 5 9分 当直线 的斜率不存在时，点 到 轴的距离为 5，直线 即为 轴 所以此时直线 的方程为 11分 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 所以 12分 解得 13分 所以此时直线 的方程为 故所求直线 的方程为 或 14分 考点： 1.直线与圆的位置关系； 2.圆的方程 . 已知 :如图，等腰直角三角形 的直角边 ，沿其中位线将平面 折起，使平面 平面 ，得到四棱锥 ，设 、 、 的中点
14、分别为 、 、 、 . （ 1）求证： 、 、 、 四点共面； （ 2）求证：平面 平面 ； （ 3）求异面直线 与 所成的角 . 答案：（ 1）见；（ 2）见；（ 3） . 试题分析：（ 1）要证四点共面，只需找到一个平面，这四个点都在这个平面内，用确定平面的方法，两条平行线确定一个平面，即可证出；（ 2）要证明两个平面垂直，只需证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线即可，也就是只需证线面垂直即可，而要证线面垂直，只需证明这条直线垂直平面内的两条相交直线，这样，一步步寻找成立的条件即可；（ 3）求异面直线所成角，先平移两条异面直线中的一条，使它们成为相交直线，则相交直线所成角就是异面直线所
15、成角或其补角，再放入三角形中计算即可 . 试题： (1)由条件有 为 的中位线， 为梯形 的中位线 ， 四点共面 3分 （ 2）证明 :由等腰直角三角形 有 ， 又 ， 面 又 平面 ， 平面 平面 平面 6分 (3)由条件知 延长 到 ，使 ，连结 8分 则 ，故 为平行四边形 10分 ，又 为异面直线 BE与 QM所成的角 （或 的补角） 11分 ，且三线两两互相垂直 由勾股定理得 12分 ACR为正三角形， ， 异面直线 与 所成的角大小为13分 . 考点： 1.平面的基本性质； 2.平面与平面垂直的判定； 3.异面直线及其所成的角 . 定义：对于函数 ，若在定义域内存在实数 ，满足 ，
16、则称 为 “局部奇函数 ”. （ 1）已知二次函数 ，试判断 是否为定义域 上的 “局部奇函数 ”？若是，求出满足 的 的值；若不是，请说明理由； （ 2）若 是定义在区间 上的 “局部奇函数 ”，求实数 的取值范围； （ 3）若 为定义域 上的 “局部奇函数 ”，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1）是 “局部奇函数 ”；（ 2） ；（ 3） . 试题分析：（ 1）利用局部奇函数的定义，建立方程关系，然后判断方程是否有解，有解则是 “局部奇函数 ”，若无解，则不是；（ 2）（ 3）都是利用 “局部奇函数的定义 ”，建立方程关系，并将方程有解的问题转化成二次方程根的分布问题，从而求出各小问参数
17、的取值范围 . 试题：（ 1）当 ，方程 即，有解 所以 为 “局部奇函数 ” （ 2）法一：当 时， 可化为 因为 的定义域为 ，所以方程 在 上有解 令 ，则 ，设 ，则 在 上为减函数，在 上为增函数，所以当 时， ，所以，即 ； 法二：当 时， 可化为 因为 的定义域为 ，所以方程 即 在上有解 令 ，则关于 的二次方程 在 上有解即可保证为 “局部奇函数 ” 设 ，当方程 在 上只有一解时，须满足或 ，解之得 （舍去，因为此时方程在区间 有两解，不符合这种情况）或 ； 当方程 在 上两个不等的实根时，须满足 ，综上可知 ； （ 3）当 为定义域 上的 “局部奇函数 ”时 ,可化为 ， 令 则 , 从而 在 有解 ,即可保证 为 “局部奇函数 ” 令 ，则 当 时 , 在 有解 ,即 ,解得 当 时 , 在 有解等价于解得 ;综上可知 . 考点： 1.新定义； 2.函数与方程； 3.一元二次方程根的分布问题 .
