1、2013-2014学年江苏省阜宁中学高二下学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 填空题 在复平面内，复数 对应的点的坐标为 答案： 试题分析：因为 ，所以复数 对应的点的坐标为 . 考点：复数的运算 设直线 与函数 ， 的图象分别交于 M、 N两点，则当 MN达到最小时 t的值为 答案： 试题分析：由题意得： ，设 则由得： ，当 ，当，所以当 MN达到最小时 t的值为 . 考点：利用导数求最值 已知函数 的定义域为 R， 为 的导函数，函数 的图象如图所示，且 ， ，则不等式 的解集为 答案：（ -2， 3） 试题分析：由图可知：函数 在 单调递增，因此当 时，；函数 在 单调递减，因此
2、当 时，综上不等式 的解集为（ -2， 3） . 考点：利用导数研究函数性质 已知圆 在矩阵 对应伸压变换下变为一个椭圆，则此椭圆方程为 答案： 试题分析：设 为椭圆上任意一点，它在圆中对应点为 .由得： ，又 ，所以考点：矩阵 函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析：由题意得： 在 上恒成立，所以即实数 的取值范围是 . 考点：利用导数研究函数增减性 已知变换 ，点 在变换 下变换为点 ，则 答案： 试题分析：由 得 考点：矩阵运算 函数 的单调减区间是 答案： 试题分析：由 得 由 得 或因此单调减区间为 ，注意不可写出 考点：利用导数求单调区间 已知矩阵 ，则矩阵
3、A的逆矩阵为 答案： 试题分析：根据矩阵 的逆矩阵为 ，因此矩阵 的逆矩阵为 考点：矩阵的逆矩阵 已知函数 ( )，则函数 的值域为 答案： 试题分析：因为 ，所以当 ，函数 单调减，；当 ，函数 单调增， .因此函数的值域为 . 考点：利用导数求函数值域 下面几种推理是合情推理的是 。（填序号） 由圆的性质类比出球的性质； 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 1800，归纳得出所有三角形的内角和为 1800； 小王某次考试成绩是 100分，由此推出全班同学的成绩都是 100分； 三角形的内角和是 1800，四边形内角和是 3600，五边形的内角和是 5400，由此得凸 n边形的内
4、角和是 . 答案： 试题分析： 由于圆与球都是中心对称图形，一个是平面图形，一个是空间图形，两者有相似性，可类比； 归纳可以完全归纳，也可以是不完全归纳，本题根据三种特殊三角形的共同特征推导一般三角形性质，是可行的 ，但结论正确性还需证明； 属于统计，应利用抽样方法进行估计，不可根据个体估计总体； 同 ，实际是找规律 . 考点：合情推理 已知 是函数 的导数，则 = 答案： 试题分析：因为 ，所以 因此 初步学习导数要注意 是导函数在 处的函数值，而不是 的导数 . 考点：函数的导数 已知数列 满足 ， ，且 ，则 答案： -6 试题分析：因为 ，所以由 ， 可依次推得：考点：数列递推公式 若
5、复数 为纯虚数（其中 i为虚数单位），则实数 的值为 答案： 试题分析：因为复数 为纯虚数，所以 ，即解答本题要注意虚部不为零这一限制条件 . 考点：复数概念 要证明 “ ”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是 。（填序号） 反证法 分析法 综合法 答案： 试题分析：反证法常用于结论说明较难或反面情况简单的命题证明；综合法用于易从已知条件出发推导结论的命题证明；分析法用于条件不明显，而从结论分析出发易推出事实或已知条件的命题证明 .所以证明 “ ”选择的方法最合理的是分析法 . 考点：证明方法的选用判定 解答题 已知阶矩阵 ，向量 。 （ 1）求阶矩阵 的特征值和特征向量； （ 2）计算 .
6、 答案：（ 1）特征值 时的一个特征向量为 ，特征值 时的一个特征向量为 ，（ 2） 试题分析：（ 1）根据矩阵 A的特征多项式求矩阵特征值，由=0得特征值 ，当 时，代入二元一次方程组 解得 ； 特征值 时的一个特征向量为，当 时，代入二元一次方程组 解得 特征值 时的一个特征向量为 ，（ 2）本题可直接求出 ，再根据矩阵运算法则求出 .也可利用特征值和特征向量的性质进行化简 . 解（ 1）矩阵 A的特征多项式为 4分 令 解得 A的特征值 6分 当 时，代入二元一次方程组 解得 特征值 时的一个特征向量为 8分 当 时，代入二元一次方程组 解得 特征值 时的一个特征向量为 10分 （ 2）
7、由（ 1）知 ， 令 则 12分 解得 14分 16分 考点：特征值与特征向量 某公司经销某种产品，每件产品的成本为 6元，预计当每件产品的售价为元（ ）时，一年的销售量为 万件。 （ 1）求公司一年的利润 y（万元）与每件产品的售价 x的函数关系； （ 2）当每件产品的售价为多少时，公司的一年的利润 y最大，求出 y最大值 . 答案：（ 1） ( ),（ 2） ,y=27 试题分析：（ 1）一年的利润为一年的销售量与每件产品的利润的乘积，而每件产品的利润为每件产品的售价与每件产品的成本之差 .所以 ，.注意函数式必须明确函数定义域 .（ 2）由于函数是三次函数，所以利用导数求最值 . 因为
8、，所以由 0得，因此当 时 y为增函数，当 时 y为减函数，又 ，当 时 y为减函数， 当 时，（万元） （ 1） （ ） 6分 （ 2） 8分 令 0， ， 10分 当 时 y为增函数，当 时 y为减函数 12分 又 ，当 时 y为减函数 当 时， （万元） 14分 答：当每件产品的售价为 9元时，一年的利润最大为 27万元。 15分 考点：利用导数求函数最值 是否存在常数 使得 对一切 恒成立？若存在，求出 的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由 . 答案： 试题分析：先探求出 的值，即令 ，解得 .用数学归纳法证明时，需注意格式 .第一步，先证起始项成立，第二步由归纳假设证明当n=
9、k 等式成立时， 等式也成立 .最后由两步归纳出结论 .其中第二步尤其关键，需利用归纳假设进行证明，否则就不是数学归纳法 . 解：取 和 2 得 解得 4分 即 以下用数学归纳法证明： （ 1）当 n=1时，已证 6分 （ 2）假设当 n=k， 时等式成立 即 8分 那么，当 时有 10分 12分 就是说，当 时等式成立 13分 根据（ 1）（ 2）知，存在 使得任意 等式都成立 15分 考点：数学归纳法 二阶矩阵 ； （ 1）求点 在变换 M作用下得到的点 ； （ 2）设直线 在变换 M作用下得到了直线 ，求 的方程 . 答案：（ 1） ，（ 2） . 试题分析：（ 1）因为点 在变换 M作
10、用下得到的点 ，设 ，则 解得 （ 2）设直线 l上任一点为 ，点 P在M的作用下得到点 在 m上，则有 且 ， 即即为所求直线方程 . 解：（ 1）设 则 3分 解得 6分 （ 2）设直线 l上任一点为 ，点 P在 M的作用下得到点 在 m上则 且 12分 即 即为所求直线方程 14分 考点：矩阵 已知复数 (其中 为虚数单位，)， 若 为实数， （ 1）求实数 的值； （ 2）求 . 答案：（ 1） （ 2） . 试题分析：（ 1）根据复数为实数的定义，得 的虚部为零 .因为，所以 ，因此 （ 2）因为 所以因此 解答此类问题，需正确理解复数相关概念 .设 则会正确进行复数实数化运算：解：
11、（ 1） 4分 7分 （ 2） 9分 14分 考点：复数概念及运算 已知函数 （ 1）求函数 在 处的切线的斜率； （ 2）求函数 的最大值； （ 3）设 ，求函数 在 上的最大值 . 答案：（ 1） ，（ 2） （ 3） 试题分析：（ 1）根据导数几何意义，函数在 处的切线的斜率为函数在处的导数值，因此由 得 ，（ 2）利用导数求函数最值，需先分析函数单调性 . 由 得 得，即 在 上为增，在 上为减 ，（ 3）同（ 2）一样，利用导数求函数最值，需先分析函数单调性 . 由 得得 ，即 在 上为增，在 上为减 .与（ 2）不同之处为， 中是否包含 e，需进行讨论 . 当 即 时，当 即 ， ，当 ，. 解（ 1） 2分 当 时， 4分 （ 2）由 得 得 。 即 在 上为增，在 上为减 8分 10分 （ 3） i)当 即 时， 在 上为增， 12分 ii)当 即 ， 在 上为增，在 为减 14分 iii)当 , 在 为减， 综上得， 16分 考点：利用导数求切线斜率，利用导数求最值
