1、2013-2014学年江西省上高二中高二下学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知 i为虚数单位，复数 ，则复数 在复平面上的对应点位于（ ） A第四象限 B第三象限 C第二象限 D第一象限 答案： B 试题分析：由复数的除法运算得 = = ，所以 =，在复平面上的对应点为（ ，位于第三象限，故选 B 考点：复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的点表示 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 的共有（ ） A 60对 B 48对 C 30对 D 24对 答案： B 试题分析：正方体的面对角线共有 12条，两条为一对，共有 =66条，同一面上的对角线不满足题意，对
2、面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数，不满足题意的共有： 36=18从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对其中所成的角为 60的共有： 66-18=48故选 B 考点：排列组合知识，计数原理，空间想象能力 若 是 的最小值，则 的取值范围为（ ） A 0， 2 B -1,2 C 1， 2 D -1， 0 答案： A 试题分析：由 是 的最小值知，当 时， 的最小值为 = ，结合 的式知， a0，当 时， = = ，知的最小值为 ，则 ，解得 -1 2，所以 0 2，故选 A. 考点：函数的最值，基本不等式，逻辑推理能力 将 2名教师， 4名学生分成 2个小组，分
3、别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1名教师和 2名学生组成，不同的安排方案共有 ( )种 A 10 B 8 C 9 D 12 答案： D 试题分析：先分三步完成，第一步，为甲地选一名老师，有 =2种选法，第二步，为甲地选两个学生，有 =6种选法，第三步，为乙地选 1名教师和 2名学生，有 1种选法，根据 分步计数原理，故不同的安排方案共有 261=12种，故选 D. 考点：分步计数原理，排列组合知识 已知 是定义在 上的奇函数，当 时， 则函数的零点的集合为 A B C D 答案： C 试题分析：当 0时， - 0，所以 - = ，所以 = ，所以 = ，令 =0解得，或 或 =
4、3，故选 C. 考点：函数的奇偶性，函数零点 设 是关于 t的方程 的两个不等实根，则过 ,两点的直线与双曲线 的公共点的个数为 A 3 B 2 C 1 D 0 答案： D 试题分析：关于 t的方程 的不同的两根为 0， ，不妨取 =0，= ，直线 AB过原点，斜率为 = = ，恰是双曲线的一条渐近线，故与该双曲线的公共点的个数为 0，故选 D. 考点：直线的方程，双曲线的渐近线， 根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 0.5 得到的回归方程为 ，则 A ， B ， C ， D ， 答案： B 试题分析：作出散点图如下： 观察图象可知，回归直线 bx a的斜率 b0
5、.故 a0， b3.841. 所以有 95%的把握认为 “该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关 ” 12分 考点：分层抽样方法，总体估计，独立性检验 在平面 内，不等式 确定的平面区域为 ，不等式组确定的平面区域为 . （ 1）定义横、纵坐标为整数的点为 “整点 ”在区域 任取 3个整点，求这些整点中恰有 2个整点在区域 的概率； （ 2）在区域 每次任取 个点，连续取 次，得到 个点，记这 个点在区域的个数为 ，求 的分布列和数学期望 答案：（ 1） （ 2） 的分布列为 0 1 2 3 的数学期望为 . 试题分析：（ 1）作出平面区域 和平面区域 ，打出网格，找出整点，数出在区域 中整
6、点的个数及这些点落在区域 中的个数，运用排列组合知识和古典概型公式求出所求事件的概率；（ 2）由独立重复试验的概念知，每次在区域中取一点该点落在区域 内的概率为定值，取 3次，的 3个点，落在区域内点的个数服从二项分布，根据二项分布的概率公式和期望公式即可求出分布列与期望 . 试题：（ 1）依题可知平面区域 的整点为：共有 13个，上述整点在平面区域 的为： 共有 3个， （ 4分） （ 2）依题可得，平面区域 的面积为 ， 平面区域 与平面区域 相交部分的面积为 . （设扇形区域中心角为 ，则 得 ，也可用向量的夹角公式求 ） . 在区域 任取 1个点，则该点在区域 的概率为 ，随机变量 的
7、可能取值为 ： . ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 的数学期望： . （ 12分） （或者： ，故 ） . 考点：二元一次不等式组表示的平面区域，古典概型，二项分布 如图， 分别是正三棱柱 的棱 、 的中点，且棱， . （ 1）求证： 平面 ； （ 2）在棱 上是否存在一点 ，使二面角 的大小为 ，若存在，求 的长，若不存在，说明理由。 答案：（ 1）见（ 2）不存在 试题分析：（ 1）连结 交 于 F，连结 DF， EF，因为 E是 的中点，所以 EF平行且等于 的一半，又因为 D是 的中点，所以 ，所以是平行四边形，所以 DF A1E，所以 平面 ；（ 2）在正三棱柱中建立空间
8、直角坐标系，假设在 AA1上存在 M满足条件，求出 ，设 =( )，用 表示出 M点坐标，利用向量法求出二面角 M-BC1-B1的大小的余弦值，根据题意列出关于 的方程，若能解出 则存在，否则不存在 . 试题：【法一】（ 1）在线段 上取中点 ，连结 、 . 则 ，且 ， 是平行四边形 3 ，又 平面 ， 平面 ， 平面 . 5 （ 2）由 ， ，得 平面 . 过点 作 于 ，连结 . 则 为二面角 的平面角 8 在 中，由 ， 得 边上的高为 ， ，又 ， ， . 11 在棱 上时，二面角 总大于 . 故棱 上不存在使二面角 的大小为 的点 12 【法二】建立如图所示的空间直角坐标系， 则
9、、 、 、 、 、 . 、 、 、 相关试题 2013-2014学年江西省上高二中高二下学期期末考试理科数学试卷（带） 如图 ,在平面直角坐标系 中 , 分别是椭圆 的左、右焦点，顶点 的坐标为 ，连结 并延长交椭圆于点 A，过点 A作 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连结 . （ 1）若点 C的坐标为 ,且 ,求椭圆的方程； （ 2）若 求椭圆离心率 e的值 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）由 |BF2|= 知 =2，将 C点坐标代入椭圆方程即可求出 b，从而写出椭圆方程；（ 2）由两点式求出 BF2方程，将 BF2方程与椭圆方程联立求出 A点坐标，从而写出 C的坐标，利用 则其
10、斜率之积为 -1，列出关于a,c方程，从而求出椭圆的离心率 . 试题：设椭圆的焦距为 ,则 且 点的坐标分别为 （ 1）因为 因为点 在椭圆上 ,故 , 所以 ,所求椭圆的方程为 . （ 2）因为 在直线 上 ,所以直线 的方程是 由 或 所以 点坐标为 ,又 轴 ,由椭圆的对称性 ,可得 点坐标为 因此直线 的斜率为 因为直线 的斜率是 ,由 考虑到 ,化简得 所以 ,椭圆的离心率为 . 考点：椭圆的几何性质与标准方程，直线与椭圆的位置关系 已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数 . （ 1）设 是函数 的导函数，求函数 在区间 上的最小值； （ 2）若 ，函数 在区间 内有零点，求 的取值
11、范围。 答案：（ 1）当 时， g(x)在 0， 1上的最小值是 1-b；当 时，g(x)在 0， 1上的最小值是 g(ln(2a) 2a-2aln(2a)-b;当 时， g(x)在 0， 1上的最小值是 e-2a-b.（ 2） (e-2， 1). 试题分析：（ 1）先求出 的导函数即为 的式，再求出 的导函数，研究 的值在 0,1上的正负变化情况，得出 的单调性，根据单调性求出 在 0,1上的最小值，因导数函数参数，故需要分类讨论；（ 2）设函数 在区间 内有零点，利用 =0，判定出 在 0,1间的单调性，从而得出 在 0,1间的正负变化情况，得出 在 0,1上零点的个数，结合（ 1）的结论
12、，得出 在零点所在区间的端点的正负，列出关于 的不等式，求出 的范围 . 试题：（ 1）由 ，有 所以 因此，当 x 0， 1时， 当 时， ，所以 g(x)在 0， 1上单调递增 因此 g(x)在 0， 1上的最小值是 g(0) 1-b 当 时， ，所以 g(x)在 0， 1上单调递减 因此 g(x)在 0， 1上的最小值是 g(1) e-2a-b 当 时，令 g(x) 0，得 x ln(2a) (0， 1) 所以函数 g(x)在区间 0， ln(2a)上单调递减，在区间 ln(2a)， 1上单调递增 于是， g(x)在 0， 1上的最小值是 g(ln(2a) 2a-2aln(2a)-b 综
13、上所述，当 时， g(x)在 0， 1上的最小值是 1-b； 当 时， g(x)在 0， 1上的最小值是 g(ln(2a) 2a-2aln(2a)-b; 当 时， g(x)在 0， 1上的最小值是 e-2a-b. （ 2）设 x0为 f(x)在区间 (0， 1)内的一个零点，则由 f(0) f(x0) 0可知 f(x)在区间 (0， x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减， 则 g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负 . 故 g(x)在区间 (0， x0)内存在零点， 同理， g(x)在区间 (x0， 1)内存在零点 所以， g(x)在区间 (0， 1)内至少有两个零点 由（ 1）可知，当 时
14、， g(x)在 0， 1上单调递增，故 g(x)在 (0， 1)内至多有一个零点， 当 时， g(x)在 0， 1上单调递减，故 g(x)在 (0， 1)内至多有一个零点， 所以， 此时， g(x)在区间 0， ln(2a)上单调递减，在 ln(2a)， 1上单调递增 因此， x1 (0， ln(2a)， x2 (ln(2a)， 1)，必有 g(0) 1-b 0， g(1) e-2a-b 0 由 f(1) 0有 a b e-1 2有 g(0) 1-b a-e 2 0， g(1) e-2a-b 1-a 0 解得 e-2 a 1 当 e-2 a 1时， g(x)在区间 0， 1内有最小值 g(ln
15、(2a)， 若 g(ln(2a)0，则 g(x)0(x 0， 1) 从而 f(x)在区间 0， 1上单调递增，这与 f(0) f(1) 0矛盾，所以 g(ln(2a) 0 又 g(0) a-e-2 0， g(1) 1-a 0 故此时 g(x)在 (0， ln(2a)和 (ln(2a)， 1)内各有一个零点 x1和 x2， 由此可知， f(x)在 0， x1上单调递增，在 x1， x2上单调递减，在 x2， 1上单调递增 . 所以 f(x1) f(0) 0， f(x2) f(0) 0 故 f(x)在 (x1， x2)内有零点 综上所述， a的取值范围是 (e-2， 1). 考点：导数的运算 ,导数在研究函数中的应用，函数的零点，推理论证能力，运算求解能力，创新意识，
