1、2013-2014学年江西省宜春市高二上学期期末统考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 不等式 的解集是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：二次函数开口向上，方程 的两根为 ，所以不等式的解集为 ，故选 B. 考点：一元二次不等式的解法 . 设实数 成等差数列，则下列不等式一定成立的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为 成等差数列，所以 ，整理得，当且仅当 取等号， ，又 ，当且仅当 取等号，所以 ，所以，故选 D. 考点： 1.不等关系与不等式； 2.等差数列的性质 . 如图，已知 为 内部（包括边界）的动点，若目标函数仅在点 处取得最大值，则实数 的取值范围是
2、（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由 可得 ， 表示这条直线的纵截距，直线的纵截距越大， 就越大，依题意有， ，要使目标函数 仅在点 处取得最大值，则需直线的斜率处在 内，即 ，从中解得 ，故选B. 考点： 1.线性规划问题； 2.直线的斜率 . 与椭圆 共焦点，且渐近线为 的双曲线方程是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为椭圆 的焦点为 、 ，设双曲线的方程为， ，依题意可知 ，所以 ，解得 ，所以双曲线的方程为 ，故选 A. 考点： 1.椭圆的标准方程； 2.双曲线的标准方程与几何性质 . 设 ，若 是 与 的等比中项，则 的最小值为（ ） A 8 B 4 C 1
3、 D 答案： B 试题分析：由题意 ，所以 ，则，故选 B. 考点： 1.等比数列的性质 ; 2均值不等式的应用 . ，则方程 表示的曲线不可能是（ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 答案： D 试题分析：因为 ，所以若 ，方程表示圆；若 ，方程表示焦点在 轴上的椭圆；若 ，方程表示焦点在 轴上的双曲线，所以方程表示的曲线不可能是抛物线，故选 D. 考点： 1. 圆锥曲线的标准方程； 2. 分类讨论的思想 . 已知 满足 ，且 ，下列选项中一定成立的是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为 满足 ，且 ，所以 ，由此知 B中正确；因为 可能为 0，知 A不正确；由于 知 C选
4、项不正确，因为 ，所以 ， D不正确，故选 B. 考点：不等式的性质 . 使不等式 成立的充分不必要条件是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：设 命题所对应的集合为 ， 命题所对应的集合为 ，则 “ 成立的充分不必要条件是 ” ，所以不等式 成立的充分不必要条件是集合 的真子集，根据选项，只有 A符合要求，故选 A. 考点：充分必要条件 . 命题 “存在 使得 ”的否定是（ ） A存在 使得 B存在 使得 C对于任意的 D对于任意的 答案： C 试题分析：特称命题的否定为全称命题，所以命题 “存在 ，使得”的否定是 “对于任意的 ， ”，故选 C. 考点：全称命题与特称命题 . 不等
5、式组 表示的平面区域是 ( ) 答案： B 试题分析： 表示直线 以及该直线下方的区域，表示直线 的上方区域，故选 B. 考点：二元一次不等式组所表示的区域 . 填空题 下列命题正确的有 . “一元二次方程 ”有实数解的一个充分不必要条件是 ； 命题 “ 且 ，则 ”的否命题是假命题； 若不等式 的解集是 ，则不等式 的解集； 数列 满足 : 若 是递增数列，则 . 答案： 试题分析：对于 “一元二次方程 ”有实数解的充要条件是，而集合 ，故 是“一元二次方程 ”有实数解的一个充分不必要条件；对于 命题“ 且 ，则 ”的否命题为 “ 或 ，则 ”，这个命题显然是假命题，如 ，此时 ；对于 ，由
6、不等式的解集是 可得 与 是方程 的两个根，所以 ，解得 ，所以不等式 可变为，解得 ；对于 ，因为 是递增数列，所以 即 ，解得 ；综上可知， 正确，而 是错误的 . 考点： 1.充分必要条件； 2.命题及其关系； 3.一元二次不等式； 4.数列的单调性 . 已知椭圆 的左右焦点为 ，若存在动点，满足 ，且 的面积等于 ，则椭圆离心率的取值范围是 . 答案： 试题分析：设 ，则 ， ，所以 ，存在动点 ，使得 的面积等于 ， ， ，即 ， 即 ， 或，又 ，所以 . 考点：椭圆的标准方程及其几何性质 . 已知 ， ，则 的最小值为 _. 答案： 试题分析：由 得 ，再结合基本不等式可得 即，
7、当且仅当 时等号成立，所以 ，所以. 考点：基本不等式 . 若 的内角 所对的边 满足 ，且 ，则的值为 . 答案： 试题分析：因为 ，所以由余弦定理可得 即，又由 ，所以. 考点：余弦定理 . 已知数列 对于任意 有 ，若 ，则 . 答案： 试题分析：因为对任意 ，有 ，故当 时有即 ，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 ，所以 . 考点：等差数列的定义及通项公式 . 解答题 （ 1）平面 过坐标原点 ， 是平面 的一个法向量，求到平面 的距离； （ 2）直线 过 , 是直线 的一个方向向量，求 到直线的距离 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：这是空间向量在空间距离
8、上的应用问题 .（ 1）先求出向量 的坐标，然后点 到平面 的距离由公式 即可算出；（ 2）先算出 的坐标，然后计算出 的值，再由同角三角函数的基本关系式求出，最后由公式 计算出所求的距离即可 . 试题：（ 1）依题意可得， ，设 到平面 的距 离为 ，则 （ 2）设 到直线 的距离为 ，依题意有 所以 所以 所以 . 考点：空间向量在解决空间距离中的应用 . 在锐角 中 ,角 , , 对应的边分别是 , , .已知 . （ 1）求角 的大小； （ 2）若 的面积 , ,求 的值 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）把已知的等式变形为 : ，并利用正弦定理化简，根据 不为 0
9、，可得出 的值，由三角形为锐角三角形，得出 为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出 的度数；（ 2）由面积公式 求得，由余弦定理 计算出 ，由 计算出 ，最后由正弦定理化简 ，代入数值即可得到结果 . 试题： (1)由 可得 ，而 ，所以 因为 为三角形的内角，所以 ，所以由 可得 又因为 为锐角三角形，所以 ，所以 6分 (2) ,由余弦定理得 : 由正弦定理可知 或 12分 . 考点：正余弦定理在解三角形中的应用，面积公式 . 已知 ，设 ：函数 在 上单调递减； ：函数在 上为增函数 . （ 1）若 为真， 为假，求实数 的取值范围； （ 2）若 “ 且 ”为假， “ 或 ”为真，求实数
10、 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：先结合指数函数、二次函数的图像与性质得出 为真时的 的取值范围，对于（ 1）只须求出 为真时的 的取值范围的共同部分即可；对于（ 2）先由题中条件判断出 一真一假，从而求出 真 假时的取值范围的共同部分及 假 真时的取值范围的共同部分，最后求出这两种情况的并集即可 . 试题： 函数 在 上单调递减， 即 2分 函数 在 上为增函数， 即 4分 （ 1） 为真， 为假 由 所以实数 的取值范围是 6分 （ 2）又 “ 或 ”为假， “ 且 ”为真， 真 假或 假 真 所以由 或 解得 所以实数 的取值范围是 12分 . 考点： 1.指数
11、函数的性质； 2.二次函数的性质； 3.逻辑联结词 . 已知 是等比数列 的前 项和 , 、 、 成等差数列 ,且 . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）是否存在正整数 ,使得 若存在 ,求出符合条件的所有 的集合；若不存在，说明理由 . 答案：（ 1） ；（ 2）存在符合条件的正整数 的集合为. 试题分析：（ 1）设数列 的公比为 ，依题意，列出关于首项 与公比 的方程组，解之即可求得数列 的通项公式；（ 2）依题意，可得 ，对 的奇偶性进行分类讨论，即可求得答案： . 试题：（ 1）解 ：设数列 的公比为 ,则 , 由题意得 即 解得 故数列 的通项公式为 6分 （ 2）由（ 1）有
12、7分 若存在 ,使得 ,则 ,即 8分 当 为偶数时 , ,上式不成立 9分 当 为奇数时 , ,即 ,则 11分 综上 ,存在符合条件的正整数 的集合为 12分 . 考点： 1.等比数列； 2.等差数列； 3.数列的求和 . 已知平面五边形 关于直线 对称（如图（ 1）， ，将此图形沿 折叠成直二面角，连接 、 得到几何体（如图（ 2） （ 1）证明： 平面 ； （ 2）求平面 与平面 的所成角的正切值 . 答案：（ 1）证明详见；（ 2） . 试题分析：（ 1）先以 B 为坐标原点，分别以射线 BF、 BC、 BA 为 x轴、 y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出各点的坐标以及 和
13、的坐标，进而得到两向量共线，即可证明线面平行；（ 2）先根据条件求出两个半平面的法向量的坐标，再求出这两个法向量所成角的余弦值，再结合同角三角函数的基本关系式可求得结果 . 试题：（ 1）以 B为坐标原点，分别以射线 BF、 BC、 BA为 x轴、 y轴、 z轴的正方向建立如图所示的坐标系 . 由已知与平面几何知识得， ， ， AF DE， 又 6分 （ 2）由（ 1）得 四点共面， ，设 平面，则 不妨令 ，故 ，由已知易得平面 ABCD的一个法向量为 ，设平面 与平面 的所成角为 所求角的正切值为 13分 . 考点： 1.直线与平面平行的判定； 2.用空间向量求二面角 . 已知定点 ，曲线
14、 C是使 为定值的点 的轨迹，曲线 过点 . （ 1）求曲线 的方程； （ 2）直线 过点 ，且与曲线 交于 ，当 的面积取得最大值时，求直线 的方程； （ 3）设点 是曲线 上除长轴端点外的任一点，连接 、 ，设 的角平分线 交曲线 的长轴于点 ，求 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） 和 ；（ 3）. 试题分析：（ 1）依题意并结合椭圆的定义，先判断出曲线 的轨迹是以原点为中心，以 为焦点的椭圆，从而得出椭圆中参数 的值，由 计算出参数 的值，最后由 计算出 的取值即可得到曲线 的方程；（ 2）设点 ，联立直线与椭圆的方程，消去 得到，从而由二次方程根与系数的关系得到，再由弦长公式
15、计算出 ，再计算出点 到直线 的距离 ，由公式 计算出三角形的面积（含参数），结合基本不等式可确定面积最大时的 值，从而可确定直线方程；（ 3）设 ，由角平分线可得 = ， 化简并代入坐标进行运算，即可得出 ，然后根据 ，可确定 的取值范围 . 试题：（ 1） 2分 曲线 C为以原点为中心， 为焦点的椭圆 设其长半轴为 ,短半轴为 ,半焦距为 ，则 ， 曲线 C的方程为 4分 （ 2）设直线 的为 代入椭圆方程 ，得 ，计算并判断得 ， 设 ,得 到直线 的距离 ，设 ，则 当 时，面积最大 的面积取得最大值时，直线 l的方程为： 和 9分 （ 3）由题意可知： = , = 10分 设 其中 ，将向量坐标代入并化简得： m（ ， 12分 因为 ，所以 ， 13分 而 ，所以 相关试题 2013-2014学年江西省宜春市高二上学期期末统考理科数学试卷（带）
