1、2013-2014学年浙江杭州七校高二上学期期中联考数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知过点 的直线的倾斜角为 45，则 的值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 答案： B 试题分析：由题意可知： ，即 ，故 ，解得 ， 故选 B 考点：直线的倾斜角 已知直线 x+y+m=0与圆 x2+y2=4交于不同的两点 A,B,O是坐标原点， ,则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：根据题意画图 直线 与圆 交于不同的两点即 有两解得由 知 ,当 时 所以当 满足题意 故选 B 考点：向量合成 ,直线与圆位置关系 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E， F
2、分别为棱 AB， CC1的中点，在平面 ADD1A1内且与平面 D1EF平行的直线（ ） A不存在 B有 1条 C有 2条 D有无数条 答案： D 试题分析： 过平面 在正方体的中截面 , 作 的延长线交 延长线于 连接 交 于 ,作 的延长线交 延长线于 连接 交 于 ,连接 如图中平面 为截面 ,在平面 中与 平行的无数条直线都与平面平行 . 故选 D 考点：空间几何三个公理 ,线面平行判定 已知圆 ： ， 是 轴上的一点， 分别切圆 于两点，且 ，则直线 的斜率为（ ） A 0 B C 1 D 答案： A 试题分析：如图 数形结合可设点 ,由 与 知 由 可求出 然后求出 所以直线 的斜
3、率为 0故选 A 考点：圆的标准方程 ,两点距离 ,直线斜率 已知 和 是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为 A，异于点 A的两动点 B、 C分别在 、 上，且 BC= ，则过 A、 B、 C三点的动圆所形成的图形面积为（ ） A B. C. D. 答案： B 试题分析：学生作此题时应注意：过 A、 B、 C三点的动圆所形成的区域面积，不是过 A、 B、 C三点的圆的面积而是将所有圆的面积（只能算不重合的部分）即半径为 BC最大圆的面积此题是一道易错题 直角三角形外接圆的直径就是斜边长 , 中斜边 不变 ,所以过 A、 B、 C三点的动圆所形成的图形是以 A为圆心 ,以 3为半径的圆 ,
4、过 A、 B、 C三点的动圆所形成的图形面积为 故选 C 考点：直角三角形外接圆 设 ，若直线 与线段 AB没有公共点，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：几何用数形结合方法是快速解题最直接的方法 如图 若直线 与线段 AB没有公共点则直线 OA逆时针旋转 (斜率增大 )到 OB都是满足条件的直线 又 , 故选 C 考点：直线方程的斜率 已知实数 是常数，如果 是圆 外的一点，那么直线与圆 的位置关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D都有可能 答案： A 试题分析：判定直线与圆的位置关系可用几何法 (圆心到直线的距离 )和代数法 (联立方程判别式为 0). 本题用几
5、何法圆心为 到直线的距离 又因为是圆 外的一点 ,所以 ,所以 故选 A 考点：圆的方程 ,点到直线距离公式 ,直线与圆的位置关系 在正方体 中，异面直线 与 所成的角为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：如图 连接 ,因为在正方体 中 ,所以 所以角 为异面直线 与 所成的角为 , 因为在正方体中各面对角线相等 所以 为等边三角形 ,所以 故选 C 考点：异面直线所成角 已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A若 ，则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，则 答案： B 试题分析： A命题中平行于同一平面的两条直线可以相交 ,异面 ,平行 B命题正确 C
6、命题平行于同一直线的两个平面可以相交 ,平行 D命题中若 , 可以相交 ,平行 ,含于 , 考点：线线、线面、面面平行与垂直的判定及性质。 用斜二测画法作一个边长为 2的正方形，则其直观图的面积为（ ） A B 2 C 4 D 答案： D 试题分析：用斜二测画法作一个边长为 2的正方形， 则其直观图与 轴平行的长度不变其长度为 2，与 轴平行的一边长度变为原来 其长度为 1，相邻两边所成角是 45，所以其面积为 . 故选 D 考点：斜二测画法 填空题 如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1中， AA1 底面 A1B1C1， 底面为直角三角形， ACB 90， AC 2， BC 1， CC1
7、， P是 BC1上一动点，则 A1P PC的最小值是 。 答案： 试题分析：连 ，沿 将 展开与 在同一个平面内，不难看出的最小值是 的连线（在 上取一点与 构成三角形，因为三角形两边和大于第三边）由余弦定理即可求解 作展开图 由 ACB 90， AC 2， BC 1得 ,又 所以 , , 所以 , ,所以 由余弦定理 考点：棱柱的结构特征 ,三角形性质 已知点 A（ 2,0）， B 是圆上的定点，经过点 B的直线与该圆交于另一点 C，当 面积最大时，直线 BC的方程为 . 答案： 试题分析：根据题意画图 在三角形中 长度是定值 ,所以当 面积最大时 ,即点 在圆上且到 距离最远时 当点 为弦
8、 的垂直平分线 与圆的交点时 ,点 在圆上且到 距离最远这时因为, , 所以 ,即可得 ,所以 为等边三角形 所以 即 ,所以直线 的方程为 考点：直线圆的位置关系 ,最长弦与最短弦 ,两点间距离公式 已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是顶角为 的等腰三角形，则该三棱锥的侧视图面积为 答案： 试题分析：三视图中长对正；高平齐；宽相等可画出侧视图 因为俯视图是顶角为 的底边长为 等腰三角形所以其高为 即三视图中宽为由图知三视图的高为 ,所以侧视图面积为 考点：由三视图求面积 若圆锥的侧面积为 ，底面积为 ，则该圆锥的母线长为 . 答案： 试题分析：由圆锥的侧面积公式 ,底面积公式
9、为 得 解得 考点：圆锥的表面积公式 经过原点，圆心在 x轴的负半轴上，半径等于 2的圆的方程是 . 答案： 试题分析：设圆的标准方程 经过原点则 ,圆心在 x轴的负半轴上则 ，半径等于 2即 所以圆的方程是 考点：圆的标准方程 两条平行直线 与 的距离为 . 答案： 试题分析：由直线的一般式研究直线平行注意验证 先由平行线判定 可得 , 由平行线间距离公式 考点：平行线的判定 ,平行线间距离公式 A(1,-2,1）， B(2,2,2），点 P在 z轴上，且 |PA|=|PB|,则点 P的坐标为 . 答案： 试题分析：由点 P在 z轴上设 ,又由 可得解得 : 故点 P的坐标为 考点：空间中两
10、点距离公式 解答题 如图，直线 过点 P(2,1)，夹在两已知直线 和 之间的线段 AB恰被点 P平分 . （ 1）求直线 的方程； （ 2）设点 D(0,m)，且 AD/ ，求： ABD的面积 . 答案： (1) (2) 试题分析： (1)先点 在直线 上设出 点的坐标，因为 为线段 的中点，利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关系式，得出 的坐标，把 的坐标代入直线 ，即可求出 的坐标，然后由 和 的坐标，利用两点式即可写出直线 的方程 (2)由 (1)知 的坐标 , 由 AD/ 即 可得 的坐标 ,由点到直线距离公式可求得点 到 的距离 ,再由两点间距离公式求得 的长度 . 试题： （
11、 1） 点 B在直线 上，可设 ，又 P（ 0,1）是 AB的中点， 点 A在直线 上， 解得 ，即 （ 4分） 故直线 的方程是 （ 6分） （ 2）由（ 1）知 ，又 ，则 （ 8分） 点 A到直线 的距离 ， ， （ 10分） （ 12分） 考点：两条直线的交点坐标；直线的一般式方程与直线的平行关系 如图，在四棱锥 P-ABCD中， PA 面 ABCD， AB=BC=2， AD=CD=， PA=， ABC=120，G为线段 PC的中点 . （ 1）证明： PA/平面 BGD； （ 2）求直线 DG与平面 PAC所成的角的正切 值 . 答案： (1)见 (2) 试题分析： (1) 求证线面
12、平行就要找够平行条件 ,平面 外直线 ,差平面内直线 ,在四棱锥中找过 的平面 与平面 相交 ,再证明交线 与 平行 ; (2)由三角形的中位线性质以及条件证明 DGO为 DG与平面 PAC所成的角，求出 GO和 AC的值，可得 OC、 OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得 tan DGO的值 试题： (1)证明：设点 O为 AC、 BD的交点，由 AB=BC,AD=CD，得 BD是线段 AC的中垂线，所以 O为 AC的中点， 连结 OG又因为 G为 PC的中点，所以 （ 3分） 又因为 所以 PA/面 BGD （ 6分） (2) ,又由 (1)知 ,所以 与面 所成的角是 .（ 8分）
13、 由 (1)知 : ， ，所以 在直角 中， 在直角 中， ， 所以直线 与面 所成的角的正切值是 . （ 12分） 考点：直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角 （本小题满分 14分）如图，在四面体 A BCD中， AD平面 BCD， BCCD， AD=2，BD=2 M是 AD的中点 . （ 1）证明：平面 ABC 平面 ADC； （ 2）若 DBDC=60，求二面角 C BM D的大小 答案： (1)见 (2) 试题分析： (1)证明面面垂直几何法就要证线面垂直 ,要证线面垂直就要证线线垂直 ;线线、线面、面面垂直之间相互转化 . 由题意知从点 出发的三条件直线两两垂直 ,从而 ,又 在
14、平面 内 ,所以可证得平面 ABC 平面 ADC.证明面面垂直向量法可证法向量垂直 ,由题意知从点 出发的三条件直线两两垂直 ,可以建立空间直角坐标系 . (2)求二面角可用两种向量法 (面向量和法向量 )或几何法 ,面向量法即在两个半平面内分别从顶点 出发与棱 垂直的两个向量所成的角 .几何法 (三垂线法 )重点是找到二面角的平面角 , 在几何体内找第三个平面与二面角的两个半平都垂直 ,交线所成角即为平面角 ;如果找不到可以退而求其次 ,找第三个平面与二面角的其中一个半平垂直 . 与另外一个半 交于点 ,过点 作交线 的垂线 过点 作棱 的垂线 连 所得到的为二面角的平面角 在直角三角形 求
15、角 .用法向量法求二面角不容易判断 所求出的是二面角还是其补角 ,所以尽量不用它 . 试题： （ 1） 又 （ 4分） 又 （ 6分） （ 2）作 CGBD于点 G，作 GHBM于点 HG，连接 CH. （ 8分） 又 又 又 所以 DCHG为二面角的平面角 . （ 10分） 在 RtBCD中， CD=BD = ， CG=CD ， BG=BC 在 RtBDM中， HG= = 在 RtCHG中， tanDCHG= 所以 即二面角 C-BM-D的大小为 60. （ 14分） 考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂 直的判定；平面与平面垂直的判定 已知圆 A过点 ，且与圆 B： 关于直线对称 .
16、(1)求圆 A的方程； (2)若 HE、 HF是圆 A的两条切线， E、 F是切点，求 的最小值。 (3)过平面上一点 向圆 A和圆 B各引一条切线 ,切点分别为 C、 D，设 ，求证：平面上存在一定点 M使得 Q到 M的距离为定值，并求出该定值 . 答案： (1) (2) (3) 试题分析： (1)求圆的方程即找到圆心和半径 . 由圆的标准方程可看出圆 B的圆心 , 圆A 与圆 B 关于直线对称可求出圆 A的圆心 .再由圆 A 通过过点 通过两点距离公式求出半径可求出圆 A的标准方程 . (2) 求 的最小值最好用一个变量来表示 , 表示长度和夹角都与 长度有关 ,所以设 ,则由切割弦定理得
17、 ,在直角三角形中 ,则由二倍角公式可得 ,由数量积公式得 ,利用均值定理可求出最小值 . (3)切线长 用 到点 距离和半径表示出来，再根据 得到关于 一个方程 可知 轨迹是一个圆，所以存在一个定点 到 的距离为定值 . 试题： （ 1）设圆 A的圆心 A（ a， b），由题意得： 解得 , 设圆 A的方程为 ，将点 代入得 r 2 圆 A的方程为： （ 4分） （ 2）设 ， ， 则 当且仅当 即 时取等号， 的最小值为 （ 9分） （ 3）由（ 1）得圆 A的方程为：，圆 B： ，由题设得 ，即 ， 化简得： 存在定点 M( )使得 Q到 M的距离为定值 . （ 14分） 考点：直线与圆的位置关系；圆关于点、直线对称的圆方程；圆的标准方程 ;平面向量数量积的运算
