1、2013-2014学年浙江省台州中学高二下学期第一次统练理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 A= 4， 5， 7， 9， B= 3， 4， 7， 8， 9，全集 U = A B，则集合 的真子集共有（ ） A 3个 B 6个 C 7个 D 8个 答案： C 试题分析： A B=3,4,5,7,8,9； AB= 4,7,9 ；所以 Cu（ AB） =3,5,8 所以其真子集的个数为 个，故选 C. 考点：集合的子集、真子集的交、并、补集运算 . F1， F2是双曲线 的左、右焦点，过左焦点 F1的直线与双曲线 C的左、右两支分别交于 A， B两点，若 ，则双曲线的离心率是（ ） A B
2、 C 2 D 答案： A 试题分析：设 | |=m， |AB|=3n，则 | |=4n， | |=5 n， 根据双曲线的定义，得 | |-| |=| |-| |=2a 即 5 n m=（ 3 n +m） -4 n =2a，解之得 m=3 n， a= n ，得 是以 B为直角的直角三角形， cos = ，可得 cos = ， 在 中， = ，可得 因此，该双曲线的离心率 e= 故选： A. 考点：双曲线的简单性质 对于曲线 =1，给出下面四个命题： （ 1）曲线 不可能表示椭圆； （ 2）若曲线 表示焦点在 x轴上的椭圆，则 1 ； （ 3）若曲线 表示双曲线，则 1或 4； （ 4）当 1 4
3、时曲线 表示椭圆，其中正确的是 （ ） A (2)(3) B (1)(3) C (2)(4) D (3)(4) 答案： A 试题分析： 若曲线 C 表示椭圆，则 ，即 k （ 1， ） （ ， 4）时，曲线 C表示椭圆，故（ 1）错误； 若曲线 C 表示焦点在 x轴上的椭圆，则 ，解得 1 k ，故（ 2）正确； 若曲线 C表示双曲线，则（ 4-k）（ k-1） 0，解得 k 4或 k 1，故（ 3）正确； 由（ 1）可知，（ 4）错误 . 考点：圆锥曲线的特征 已知 ,若 是 的充分不必要条件 ,则实数 的取值范围为 ( ) A (-,3 B 2,3 C (2,3 D (2,3) 答案： C
4、 试题分析：由 所以 2 x3，又 ， a-1 x a+1，因为 p是q的充分不必要条件，所以 ，解得 a （ 2， 3故选 C . 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中， AA1 2AB， E为 AA1的中点，则异面直线 BE与 CD1所成的角的余弦值为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：如图连接 ，则有 ， 就是异面直线 BE与 所成角， 设 AB=a，则 =AE=1， BE= ， = 由余弦定理可知： cos = 故选 C . 考点：异面直线及其所成的角 若圆 与圆 的公共弦长为 ，则 的值为 A B C D无解 答案： A 试
5、题分析：圆 的圆心为原点 O，半径 将圆 与圆 相减， 可得 ， 即得两圆的公共弦所在直线方程为 原点 O到 的距离 d=| |， 设两圆交于点 A、 B，根据勾股定理可得 ( )2+( )2 ， =2故选 A . 考点：圆与圆的位置关系 设 是两条直线， 是两个平面，则 的一个充分条件是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：利用反例可知 A、 B、 D不正确， A、 B、 D的反例如下图 故选 C 考点： 1.空间中直线与直线之间的位置关系； 2.必要条件、充分条件与充要条件的判断 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A 2 B 1 CD 答案： C 试题分析：由三视图
6、可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个对角线为 2的正方形，高为 1，故其底面面积 S= 2=2,则 V= Sh= ,故选 C. 考点：由三视图求面积、体积 直线 与圆 的位置关系是 A相交 B相切 C相离 D与 值有关 答案： D 试题分析：圆心为 ，所以圆心到直线的距离为 ，所以与 值有关，故选 D. 考点：直线与圆的位置关系 . 直线 xsin y 2 0的倾斜角的取值范围是 ( ) A 0， ) B C D 答案： B 试题分析： xsin y+2=0的斜率为 -sina， -sina取值范围为 -1,1，故斜率范围为-1,1，即倾斜角的范围就是 . 考点：倾斜角与斜率 . 填空题 如
7、图，已知抛物线的方程为 ，过点 作直线 与抛物线相交于 两点，点 的坐标为 ，连接 ，设 与 轴分别相交于两点如果 的斜率与 的斜率的乘积为 ，则 的大小等于 答案： 试题分析：设直线 PQ的方程为： y=kx-1， P（ x1， y1）， Q（ x2， y2）， 由 得 则 x1+x2=2pk， x1x2=2p， kBP ， kBQ ， kBP+kBQ + = + = =0，即 kBP+kBQ=0 又 kBP kBQ=-3 ， 联立 解得 kBP ， kBQ ， 所以 BNM ， BMN ， 故 MBN=- BNM- BMN= . 考点： 1.直线与圆锥曲线的关系； 2.直线的斜率 已知圆
8、,圆内有定点 ,圆周上有两个动点 ， ，使，则矩形 的顶点 的轨迹方程为 答案： 试题分析：设 A（ ）， B（ ）， Q（ ），又 P（ 1， 1）， 则 ， ， ( )， ( ) 由 PA PB，得 0，即（ x1-1）（ x2-1） +（ y1-1）（ y2-1） =0 整理得： x1x2+y1y2-（ x1+x2） -（ y1+y2） +2=0， 即 x1x2+y1y2=x+1+y+1-2=x+y 又 点 A、 B在圆上， x12+y12 x22+y22 4 再由 |AB|=|PQ|，得 (x1 y1)2+(x2 y2)2 (x 1)2+(y 1)2， 整理得： x12+y12+x22
9、+y22 2(x1y1+x2y2) (x 1)2+(y 1)2 把 代入 得： x2+y2=6 矩形 APBQ的顶点 Q的轨迹方程为： x2+y2=6 故答案：为： x2+y2=6 . 考点：直线与圆 已知点 P是抛物线 上一点，设 P到此抛物线准线的距离是 ，到直线 的距离是 ，则 的最小值是 答案： 试题分析： 抛物线方程是 y2=-8x 抛物线的焦点为 F（ -2， 0），准线方程是 x=2 P是抛物线 y2=-8x上一点，过 P点作 PQ与准线垂直，垂足为 Q， 再过 P作 PM与直线 x+y-10=0垂直，垂足为 M 则 PQ=d1， PM=d2 连接 PF，根据抛物线的定义可得 P
10、F=PQ=d1，所以 d1+d2=PF+PM， 可得当 P、 F、 M三点共线且与直线 x+y-10=0垂直时， dl+d2最小（即图中的F、 P0、 M0位置） dl+d2的最小值是焦点 F到直线 x+y-10=0的距离， 即 . 考点：直线与圆锥曲线的关系 四棱锥 的五个顶点都在一个球面上，且底面 ABCD是边长为 1的正方形， ， ，则该球的体积为 _ 答案： 试题分析：四棱锥 P-ABCD，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径， 所以 R= ，所以球的体积为： 考点： 1.球内接多面体； 2.球的体积和表面积 一束光线从点 出发经 轴反射到圆 C： 上的最短路程是 . 答案
11、： 试题分析：先作出已知圆 C关于 x轴对称的圆 C，如下图 则圆 C的方程为： ，所以圆 C的圆心坐标为（ 2， -3），半径为 1， 则最短距离 d=|AC|-r= . 考点： 1.直线与圆的位置关系； 2.图形的对称性 在平面直角坐标系 中，若圆 上存在 ， 两点关于点成中心对称，则直线 的方程为 . 答案： x+y=3 试题分析：由题意，圆 的圆心坐标为 C（ 0， 1）， 圆 上存在 A， B两点关于点 P（ 1， 2）成中心对称， CP AB， P为 AB的中点， ， ， 直线 AB的方程为 y-2=-（ x-1），即 x+y-3=0 考点：直线与圆的位置关系 在平面直角坐标系 中
12、，若点 到直线 的距离为 ，且点 在不等式 表示的平面区域内，则 . 答案： 试题分析： 点 P（ m， 1）到直线 4x-3y-1=0的距离为 4， ,解得： m=6，或 -4， 点 P（ 6， 1）满足不等式 2x+y3，（ -4， 1）不满足不等式 2x+y3， 点 P（ 6， 1）在不等式 2x+y3表示的平面区域内，（ -4， 1）不在不等式2x+y3表示的平面区域内， 即 m=6 考点：二元一次不等式（组）与平面区域 解答题 已知集合 A x|10时， A x| x ，要使 A B，必须 ，所以 a2. ()当 a0 时， A x| x ，要使 A B，必须 ，即 a-2.综上可知
13、，a-2或 a 0或 a2. 考点：集合关系中的参数取值问题 设命题 p： f(x) 在区间 (1， )上是减函数；命题 q： x1， x2是方程x2-ax-2 0的两个实根，且不等式 m2 5m-3|x1-x2|对任意的实数 a -1,1恒成立若 p q为真，试求实数 m的取值范围 答案： (1， ) 试题分析：先根据分式函数的单调性求出命题 p为真时 m的取值范围，然后根据题意求出 |x1-x2|的最大值，再解不等式，若 -p q为真则命题 p假 q真，从而可求出 m的取值范围 . 试题：由于 f(x) 的单调递减区间是 (-， m)和 (m， )，而 f(x)又在 (1， )上是减函数，
14、所以 m1，即 p： m1.对于命题 q： |x1-x2| 3，则 m2 5m-33，即 m2 5m-60， 解得 m1或 m-6，若 p q为真，则 p假 q真，所以 解之得m 1，因此实数 m的取值范围是 (1， ) 考点： 1.函数恒成立问题； 2.复合命题的真假 已知圆 C： x2 y2 2x-4y 3 0. (1)若圆 C的切线在 x轴和 y轴上的截距相等，求此切线的方程； (2)从圆 C外一点 P(x1， y1)向该圆引一条切线，切点为 M， O为坐标原点，且有|PM| |PO|，求使得 |PM|取得最小值的点 P的坐标 答案：（ 1） y (2 )x或 x y 1 0或 x y-
15、3 0；（ 2） . 试题分析：（ 1）圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，再分类讨论，设出切线方程，利用直线是切线建立方程，即可得出结论； （ 2）先确定 P的轨迹方程，再利用要使 |PM|最小，只要 |PO|最小即可 . 试题： (1)将圆 C配方得： (x 1)2 (y-2)2 2. 当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为 y kx，由直线与圆相切得： y (2 )x. 当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直 线方程为 x y-a 0，由直线与圆相切得： x y 1 0或 x y-3 0.故切线方程为 y (2 )x或 x y 1 0或x y-3 0. (2)由 |PO| |PM
16、|，得： (x1 1)2 (y1-2)2-2 2x1-4y1 3 0.即点 P在直线 l： 2x-4y 3 0上，当|PM|取最小值时即 |OP|取得最小值，直线 OP l. 直线 OP的方程为： 2x y 0.解方程组 得 P点坐标为. 考点：直线和圆的方程的应用 已知在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是矩形，且 AD 2， AB 1， PA平面 ABCD， E、 F分别是线段 AB、 BC的中点 (1)证明： PF FD； (2)判断并说明 PA上是否存在点 G，使得 EG 平面 PFD； (3)若 PB与平面 ABCD所成的角为 45，求二面角 A-PD-F的余弦值 答案： (1)
17、详见； (2)详见； (3) . 试题分析：解法一（向量法） （ I）建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz，分别求出直线 PF与 FD的平行向量，然后根据两个向量的数量积为 0，得到 PF FD； （ 2）求出平面 PFD的法向量（含参数 t），及 EG的方向向量，进而根据线面平行，则两个垂直数量积为 0，构造方程求出 t值，得到 G点位置； （ 3）由 是平面 PAD的法向量，根据 PB与平面 ABCD所成的角为 45，求出平面 PFD的法向量，代入向量夹角公式，可得答案： 解法二（几何法） （ I）连接 AF，由勾股定理可得 DF AF，由 PA 平面 ABCD，由线面垂直性质定理可得
18、 DF PA，再由线面垂直的判定定理得到 DF 平面 PAF，再由线面垂直的性质定理得到 PF FD； （ 2）过点 E作 EH FD交 AD于点 H，则 EH 平面 PFD，且有 AH AD，再过点 H作 HG DP交 PA于点 G，则 HG 平面 PFD且 AG AP，由面 面平行的判定定理可得平面 GEH 平面 PFD，进而由面面平行的性质得到 EG平面 PFD从而确定 G点位置； （ ）由 PA 平面 ABCD，可得 PBA是 PB与平面 ABCD所成的角，即 PBA=45，取 AD的中点 M，则 FM AD， FM 平面 PAD，在平面 PAD中，过 M作 MN PD于 N，连接 F
19、N，则 PD 平面 FMN，则 MNF即为二面角A-PD-F的平面角，解三角形 MNF可得答案： . 试题： (1)证明： PA 平面 ABCD， BAD 90， AB 1， AD 2，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz，则 A(0,0,0)， B(1,0,0)， F(1,1,0)， D(0,2,0) 不妨令 P(0,0， t)， (1,1， -t)， (1， -1,0)， 11 1(-1) (-t)0 0， 即 PF FD. (2)解：设平面 PFD的法向量为 n=(x， y， z)， 由 得 令 z=1，解得： x=y= . n= . 设 G点坐标为 (0,0， m)， E ，则 ，
20、 要使 EG 平面 PFD，只需 n=0，即 ，得 m= ，从而满足 AG= AP的点 G即为所求 (3)解： AB 平面 PAD， 是平面 PAD的法向量，易得 =(1,0,0)，又 PA 平面 ABCD， PBA是 PB与平面 ABCD所成的角，得 PBA=45，PA=1，平面 PFD的法向量为 n= . . 故所求二面角 A-PD-F的余弦值为 . 考点： 1.用空间向量求平面间的夹角； 2.空间中直线与直线之间的位置关系； 3.直线与平面平行的判定 已知中心在坐标原点 ,焦点在 轴上的椭圆过点 ,且它的离心率 . (1)求椭圆的标准方程 ; (2)与圆 相切的直线 交椭圆于 两点 ,若
21、椭圆上一点 满足 ,求实数 的取值范围 . 答案： (1) ;(2) . 试题分析：（ 1）设椭圆的标准方程为 ，由已知得，解出即可求得 a， b； （ 2）由直线 l： y=kx+t与圆（ x+1） 2+y2=1相切，可得 k， t的关系式 ，把y=kx+t代入 消掉 y得 x的二次方程，设 M（ x1， y1）， N（ x2， y2），由 得 (x1+x2， y1+y2)，代入韦达定理可求得 C点坐标，把点 C代入椭圆方程可用 k， t表示出 ，再由 式消掉 k得关于 t的函数，由 t2范围可求得 2的范围，进而求得 的范围； . 试题： (1)设椭圆的标准方程为 由已知得 : 解得 ，所以椭圆的标准方程为 : (2)因为直线 : 与圆 相切所以 ,把 代入 并整理得 : 7分 设 ,则有 因为 , ,所以 , 又因为点 在椭圆上 ,所以 , 因为 所以 所以 ,所以 的取值范围为 考点： 1.直线与圆锥曲线的关系； 2.椭圆的标准方程
