1、2013届北京市海淀区高三 5月期末练习（二模）理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 集合 ， ，则 ( ) A B C D 答案： B 试题分析： ， ，故选 B 考点：集合的运算、一元二次不等式的解法 若数列 满足：存在正整数 ，对于任意正整数 都有 成立，则称数列 为周期数列，周期为 . 已知数列 满足 ，则下列结论中错误的是 ( ) A若 ，则 可以取 3个不同的值 B若 ，则数列 是周期为 的数列 C 且 ，存在 ， 是周期为 的数列 D 且 ，数列 是周期数列 答案： D 试题分析：当 时，有 或 ，从而有： 或同理：由 可得： 或 即： 或 ；由可得： 或 ，即 综上可知， 可取
2、 三个不同的值，故 A中的结论是正确的；当 时， ， ，数列 是周期为 3的数列，故 B中的结论是正确的， C由 B可知，当 时，数列 是周期为 3的数列，所以 C正确 .由以上可知，四个选项中，结论错误的为 D 考点：分段函数、周期数列 双曲线 的左右焦点分别为 ，且 恰为抛物线 的焦点，设双曲线 与该抛物线的一个交点为 ，若 是以 为底边的等腰三角形，则双曲线 的离心率为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析： 抛物线 的焦点为 ， ，又 是以为底边的等腰三角形， ，不妨设 A点横坐标为 ，由抛物线定义可知， ，从而有 ，所以 ，由此可知 为等腰直角三角形， 由双曲线定义可知：，又
3、 ，所以，故选 B 考点：抛物线定义、双曲线定义及性质 用数字 1， 2， 3， 4， 5组成没有重复数字的五位数，且 5不排在百位， 2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：先安排 2， 4，因为 2， 4不在个位和万位，所以 2， 4只能在十、百、千三个位置， 若 2， 4均为在百位，即 2， 4只占十位和千位，则数字 5只能从个位和万位选择一个位置，这样共有 个五位数； 若 2， 4某一个数字占据了百位，另一数字占据十位或千位，共有 种可能，此时剩下的三个数字安排到余下的三个位置即可，这样的五位数就有 个由 可知，这样的五位数一共有
4、32个，故选 A 考点：排列组合综合 在四边形 中， “ ，使得 ”是 “四边形 为平行四边形 ”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： C 试题分析：在四边形 ABCD中， ，使得四边形 ABCD为平行四边形，故选 C 考点：充要条件、向量共线 某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 ( ) A 180 B 240 C 276 D 300 答案： B 试题分析：该组合体下方为棱长为 6的一正方体，下方为一正四棱锥，其底面边长为 6，侧面三角形的高为 5，所以该组合体的表面积为，故选 B 考点：三视图；柱体、锥体的表面积
5、 如图，在边长为 的正方形内有不规则图形 . 向正方形内随机撒豆子，若撒在图形 内和正方形内的豆子数分别为 ，则图形 面积的估计值为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：设图形 的面积为 S，则豆子撒在图形 内的概率 ，所以 ，故选 C 考点：几何概型 已知数列 是公比为 的等比数列，且 ， ，则 的值为 ( ) A B C 或 D 或 答案： D 试题分析：由已知可得： ，解得： 或 ，所以，故选 D 考点：等比数列的通项公式、等比数列的基本运算 填空题 在平面直角坐标系中，动点 到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离，记点 的轨迹为曲线 . (I) 给出下列三个结论： 曲线 关于
6、原点对称； 曲线 关于直线 对称； 曲线 与 轴非负半轴， 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 ； 其中，所有正确结论的序号是 _; ( )曲线 上的点到原点距离的最小值为 _. 答案： ； 试题分析： (I)P点到两坐标轴距离分别为 曲线 方程为，该方程中用 分别替换原方程中的 方程改变，所以曲线 不关于原点对称；而用 分别替换原方程中的 方程不变，所以曲线 关于直线 对称曲线 与 x轴非负半轴， 轴非负半轴围成的封闭图形即为 与 x轴非负半轴， 轴非负半轴围成的封闭图形，由 化简得： ，它的图象可由向左平移一个单位，再向下平移 1个单位而得到，它的图象与两坐标轴的交点为 ，结合图象可知：
7、，故正确的序号为 ( )由 得：，即 ，当 时，该式可化简为 ；当 时，该式可化简为 ，即 或 ，进而可以画出曲线 ，结合图象可知，曲线与直线 在第一象限的交点距离原点最近，由 解得：，故最短距离为 考点：曲线与方程 正方体 的棱长为 ，若动点 在线段 上运动，则的取值范围是 _. 答案： 试题分析：建立空间直角坐标系如图，则所以 。因为动点 P在线段 上运动，所以设 .。所以 ，因为 ，所以，即 的取值范围是 考点：空间向量的数量积运算 在 中， ，则 答案：， 试题分析：在 中由正弦定理； 可得：； 考点：正弦定理 直线 过点 且倾斜角为 ，直线 过点 且与直线 垂直，则直线与直线 的交点
8、坐标为 _. 答案： 试题分析：直线 方程为： ，直线 方程为： ， 、方程联立可得： 考点：两条直线的位置关系 已知 ，则 按照从大到小排列为 _. 答案： 试题分析： ， 且正弦函数 在 是增函数，即 ， ， 考点：指数、三角函数的单调性及分数指数幂的计算 在极坐标系中，极点到直线 的距离为 _. 答案： 试题分析：极点的直角坐标为 ，直线 的直角坐标方程为 ，到 的距离为 2 考点：极坐标方程 解答题 已知函数 . （ ）求函数 的定义域； ( ) 求函数 的单调递增区间 . 答案： (I) ； (II) 试题分析：（ ）由 解得函数的定义域； ( ) 利用三角恒等变换公式将 化简为 的
9、形式，再求单调区间 试题： （ I）因为 所以 2分 所以函数的定义域为 4分 （ II）因为 6分 8分 又 的单调递增区间为 ， 令 解得 11分 又注意到 所以 的单调递增区间为 ， 13分 考点： 1、函数的定义域； 2、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式； 3、三角函数的单调性 福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业 ,现在福彩中心准备发行一种面值为 5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（ 1）该福利彩票中奖率为 50%；（ 2）每张中奖彩票的中奖奖金有 5元， 50元和 150元三种；（ 3）顾客购买一张彩票获得 150元奖金的概率为 ，获得 50元奖金的概率为 . (
10、I)假设某顾客一次性花 10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率； （ II）为了能够筹得资金资助福利事业 , 求 的取值范围 . 答案： (I)0.75 ； (II) 试题分析：第 (I) 利用互斥事件的概率公式 进行求解 ；第 (II)需仔细随机变量的各种取值进行分析，写出对应随机变量的分布列 试题： （ I）设至少一张中奖为事件 则 4分 (II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为 则 可以取 6分 的分布列为 8分 所以 的期望为 11分 所以当 时，即 12分 所以当 时，福彩中心可以获取资金资助福利事业 13分 考点： 1、互斥事件的概率公式； 2、随机变量的概率分布
11、列 如图 1，在直角梯形 中， ， ， ， . 把 沿对角线 折起到 的位置 ,如图 2所示 ,使得点 在平面上的正投影 恰好落在线段 上，连接 ,点 分别为线段 的中点 (I)求证：平面 平面 ； (II)求直线 与平面 所成角的正弦值； (III)在棱 上是否存在一点 ,使得 到点 四点的距离相等？请说明理由 . 答案： (I) 详见； (II) ； (III) 存在点 M满足条件 试题分析： (I)借助三角形中位线得到线线平行，进而得到面面平行； (II)建立空间直角坐标系，应用空间向量知识求线面角； (III) 记点 为 ，证明即可 试题： （ I）因为点 在平面 上的正投影 恰好落在
12、线段 上 所以 平面 ，所以 1分 因为在直角梯形 中， ， ， ， 所以 ， ，所以 是等边三角形， 所以 是 中点， 2分 所以 3分 同理可证 又 所以 平面 5分 （ II）在平面 内过 作 的垂线 如图建立空间直角坐标系， 则 ， ， 6分 因为 ， 设平面 的法向量为 因为 ， 所以有 ，即 ， 令 则 所以 8分 10分 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 11分 (III)存在，事实上记点 为 即可 12分 因为在直角三角形 中， ， &n 已知函数 ,点 为一定点 ,直线 分别与函数 的图象和 轴交于点 , ,记 的面积为 . （ I）当 时 ,求函数 的单调区间； （ II
13、）当 时 , 若 ,使得 , 求实数 的取值范围 . 答案： (I) 增区间 ，减区间： ； (II) 试题分析： (I) 先表示出 的式，应用导数求解担单调区间； (II)转化为使在 上的最大值大于等于 e即可 试题： (I) 因为 ，其中 2分 当 ， ，其中 当 时， ， ， 所以 ，所以 在 上递增， 4分 当 时， ， ， 令 ， 解得 ，所以 在 上递增 令 ， 解得 ，所以 在 上递减 7分 综上， 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 （ II）因为 ，其中 当 ， 时， 因为 ，使得 ，所以 在 上的最大值一定大于等于 ，令 ，得 8分 当 时，即 时 对 成立， 单调递增
14、 所以当 时， 取得最大值 令 ，解得 ， 所以 10分 当 时，即 时 对 成立， 单调递增 对 成立， 已知椭圆 的四个顶点恰好是一边长为 2，一内角为的菱形的四个顶点 . （ I）求椭圆 的方程； （ II）直线 与椭圆 交于 ， 两点，且线段 的垂直平分线经过点 ，求 （ 为原点）面积的最大值 . 答案： (I) ； (II) 试题分析： (I)由图形的对称性及椭圆的几何性质，易得 ，进而写出方程； (II) AOB的面积可以用 ，所以本题需要用弦长公式表示AB的长度，用点到之间的距离公式表示坐标原点 O到直线的距离，而这些都需要有直线的方程作为前提条件。所以本题应先考虑设出直线 AB
15、的方程此外，设方程的过程中，注意对于特殊情形的讨论 试题： (I)因为椭圆 的四个顶点恰好是一边长为 2， 一内角为 的菱形的四个顶点 , 所以 ,椭圆 的方程为 4分 (II)设 因为 的垂直平分线通过点 ， 显然直线 有斜率， 当直线 的斜率 为 时 ,则 的垂直平分线为 轴 ,则 所以 因为 ， 所以 ，当且仅当 时， 取得最大值为 7分 当直线 的斜率不为 时 ,则设 的方程为 所以 ，代入得到 当 , 即 方程有两个不同的解 又 ， 8分 所以 ， 又 ，化简得到 代入 ，得到 10分 又原点到直线的距离为 所以 化简得到 12分 因为 ，所以当 时，即 时， 取得最大值 综上， 面
16、积的最大值为 考点：直线与圆锥曲线的位置关系 设 是由 个实数组成的 行 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次 “操作 ”. ( ) 数表 如表 1所示，若经过两次 “操作 ”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次 “操作 ”后所得的数表（写出一种方法即可）； 表 1 1 2 3 1 0 1 ( ) 数表 如表 2所示，若必须经过两次 “操作 ”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数 的所有可能值； 表 2 ( )对由 个实数组成的 行 列的任意一个数表 ，能否经过有限次 “操作
17、 ”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由 . 答案： (I) 详见； (II) 或 ； ( ) 能，理由详见 试题分析：（ I）根据题中一次 “操作 ”的含义，将原数表改变第 4列，再改变第 2行即可；或者改变第 2行，改变第 4列也可得（写出一种即可）；（ II） 每一列所有数之和分别为 2， 0， -2， 0，每一行所有数之和分别为 -1， 1； 如果操作第三列，第一行之和为 2a-1，第二行之和为 5-2a，列出不等关系解得 a，b范围进而分情况进行第二次操作； 如果操作第一行 ，易由条件得 a的值；（ III） 按要求对某行（或某列）操作一次时，则该
18、行的行和（或该列的列和），由负数变为正数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中 mn个数之和增加 . 解：法 1： 法 2： 法 3： 3分 (II) 每一列所有数之和分别为 2， 0， ， 0，每一行所有数之和分别为 ， 1; 如果首先操作第三列，则 则第一行之和为 ，第二行之和为 ， 这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数， 所以 或 当 时，则接下来只能操作第一行， 此时每列之和分别为 必有 ，解得 当 时，则接下来操作第二行 此时第 4列和为负，不符合题意 . 6分 如果首先操作第一行 则每一列之和分别为 ， ， ， 当 时，每列各数之和已经非负，不需要进
19、行第二次操作，舍掉 当 时， ， 至少有一个为负数， 所以此时必须有 ，即 ，所以 或 经检验， 或 符合要求 综上： 9分 （ III）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。证明如下： 记数表中第 行第 列的实数为 （ ），各行的数字之和分别为 ，各列的数字之和分别为 ， ，数表中 个实数 之和为 ，则 。记 按要求操作一次时，使该行的行和（或该列的列和）由负变正，都会引起（和 ）增大，从而也就使得 增加，增加的幅度大于等于 ，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，必然小于等于最初的数表中 个实数的绝对值之和，可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时，必是所有的行和与所有的列和均为非负实数，否则，只要再改变该行或该列的符号， 就又会继续上升，导致矛盾，故结论成立。 13分 考点：推理与证明
