1、2013届吉林省长春市高中毕业班第四次调研测试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ，则 为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由题可知 ， ，因此 ，故选 C. 考点：集合的性质与运算 已知空间 4个球，它们的半径均为 2，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这 4个球都外切，则这个小球的半径为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由题意可知，小球球心 为正四面体的中心，到顶点的距离为 ，从而所求小球的半径 . 故选 A. 考点：几何体中点线面的关系，组合体 已知双曲线 以及双曲线 的渐近线将第一象限三等分，则双曲线 的离心率为（ ） A 2或 B 或 C 2或
2、 D 或 答案： C 试题分析：由题可知，双曲线渐近线的倾角为 或 ，则 或 . 则或 ，故选 C. 考点：双曲线的离心率 如图，平面内有三个向量 ，其中 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，且 ，若 ，则（ ） A B C D 答案： C 试题分析：设与 同方向的单位向量分别为 ，依题意有 ， 又， ，则 ，所以 .故选 C. 考点：平面向量的基本定理 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A B C D 8 答案： B 试题分析：由三视图可知，该几何体可分为一个三棱锥和一个四棱锥， 则 ，故选 B. 考点：三视图，几何体的体积 已知直线 ： ，若以点 为圆心的圆与直线 相切于
3、点 ，且在 轴上，则该圆的方程为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由题意 ，又直线 与圆相切于点 ， ，且直线的倾斜角为，所以点 的坐标为 . ，于是所求圆的方程为 ，故选 A. 考点：直线与圆的位置关系 设函数 ，则下列关于函数 的说法中正确的是（ ） A 是偶函数 B 最小正周期为 C 图象关于点 对称 D 在区间 上是增函数 答案： D 试题分析：因 为非奇非偶函数，故 A错；根据图像可知，其周期为 ，故 B错；由绝对值图像变换可知，函数没有对称中心，故 C错；由三 角函数的性质可知：的单调增区间 ，则函数 的单调增区间需求 ，故 ，当 时，故选 D. 考点：三角函数图像与性
4、质 若 在 处取得最小值，则 （ ） A B 3 C D 4 答案： B 试题分析：由 ，当且仅当 即时，取得等号，故选 B. 考点：均值不等式 执行如图所示程序框图，输出的 值为（ ） A 11 B 13 C 15 D 4 答案： B 试题分析：由程序框图可知： ， ， ， ， ， ， ， 而后输出 值为 13，故选 B. 考点：程序框图 已知等比数列 的前 项和为 ，且满足 ，则公比 =（ ） A B C 2 D 答案： D 试题分析：由题可知 ，则 ，得 ，因此，故选 D. 考点：等比数列的求和 下列函数的图像一定关于原点对称的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由奇函数定义
5、可知，函数 中， 的定义域关于原点对称且，故选 B. 考点：复合函数的奇偶性 关于复数 ，下列说法中正确的是（ ） A在复平面内复数 对应的点在第一象限 B复数 的共轭复数 C若复数 为纯虚数，则 D设 为复数 的实部和虚部，则点 在以原点为圆心，半径为 1的圆上 答案： C 试题分析：由题可知 ，对应的点为（ -1,1）为第二象限，故A错； ，故 B错；若 为纯虚数，则 ，故选 C； 为（ -1,1），在半径为 的圆上，故 D错 . 考点：复数的运算与性质 填空题 函数 ，则函数 在区间 上的值域是 _. 答案： 试题分析：由 ，令 ，则 ， 则 ，即 ，由导函数的性质可求得 在区间 上的值
6、域为 . 考点：导数运算，函数的值域 给出下列 5种说法： 在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等； 标准差越小，样本数据的波动也越小； 回归分析就是研究两个相关事件的独立性； 在回归分析中，预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的； 相关指数是用来刻画回归效果的， 的值越大，说明残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好 . 其中说法正确的是 _（请将正确说法的序号写在横线上） . 答案： 试题分析：由统计学的相关定义可知，在频率分布直方图中，平均数左边和右边的直方图的面积相等，故 错；回归分析就是研究两个相关事件的相关性，故 错； 的说法正确 . 考点：频率分布直方图，回归分析
7、已知 为 的三个内角 的对边，满足 ，向量， . 若 ，则角 _. 答案： 试题分析：由 ，可知 ，于是 ，再由 可得 ，解得： ，所以 . 考点：向量坐标运算，解三角形 设 满足约束条件 ，则 的最大值为 _. 答案： 试题分析：如图所示，在线性规划区域内，斜率为 的直线经过该区域并取最大值时，该直线应过点 ，因此 的最大值为 6. 考点：线性规划的目标函数最值 解答题 在极坐标系内，已知曲线 的方程为 ，以极点为原点，极轴方向为 正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线 的参数方程为 （ 为参数） . (1) 求曲线 的直角坐标方程以及曲线 的普通方程； (2) 设点 为曲线
8、上的动点， 过点 作曲线 的两条切线，求这两条切线所成角余弦值的取值范围 . 答案： (1) , ;(2) 试题分析：本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及有关距离等知识内容 .(1)利用极坐标转化公式直接转化求圆的方程，利用消掉参数的方法得到直线的普通方程；（ 2）首先确定两切线成角 最大的情况，借助点到直线的距离和二倍角公式探求余弦值最小，进而得到取值范围 . 试题： (1) 对于曲线 的方程为 ， 可化为直角坐标方程 ，即 ； 对于曲线 的参数方程为 （ 为参数），可化为普通方程 . (5分 ) (2) 过圆心 点
9、作直线 的垂线，此时两切线成角 最大，即余弦值最小 . 则由点到直线的距离公式可知， ，则 ，因此 ， 因此两条切线所成角的余弦值的取值范围是 . (10分 ) 考点： (1)极坐标方程与平面直角坐标方程的互化 ;(2)直线与曲线的位置关系 ;(3)点到直线的距离 . 如图， 是 的切线， 过圆心 ， 为 的直径， 与 相交于 、两点，连结、 . (1) 求证： ； (2) 求证： . 答案： (1)(2)详见 . 试题分析：本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及到共圆图形的判断和圆 的性质以及两个三角形全等的判断和应用等有关知识内容 .本小题针对考生的平面几何思想与数形结合思想作出考
10、查 .(1)利用弦切角进行转化证明；（ 2）借助三角形相似和切割线定理进行证明 . 试题： (1) 由 是圆 的切线，因此弦切角 的大小等于夹弧所对的圆周角，在等腰 中， ，可得 ，所以 . (5分 ) (2) 由 与 相似可知， ，由切割线定理可知， ，则 ，又 ，可得 . (10分 ) 考点：平面几何的证明及其运 算 已知函数 . (1) 当 时，求函数 的单调区间； (2) 当 时，函数 图象上的点都在 所表示的平面区域内，求实数 的取值 范围 答案： (1) 函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ;(2) 试题分析：本小题主要通过函数与导数综合应用问题，具体涉及到用导数来研究函数的
11、单调性等知识内容，考查考生的运算求解能力，推理论证能力，其中重点对导数对函数的描述进行考查，本题是一道难度较高且综合性较强的压轴题，也是一道关于数列拆分问题的典型例题，对今后此类问题的求解有很好 的导向作用 .(1)代入的值，明确函数式，并注明函数的定义域，然后利用求导研究函数的单调性；（ 2）利用构造函数思想，构造 ，然后利用转化思想，将问题转化为只需 ，下面通过对 进行分类讨论进行研究函数的单调性，明确最值进而确定 的取值范围 . 试题： (1) 当 时， ， ， 由 解得 ，由 解得 . 故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . (6分 ) (2) 因函数 图象上的点 都在 所表示
12、的平面区域内， 则当 时，不等式 恒成立，即 恒成立，、 设 ( )，只需 即可 由 ， (i) 当 时， ， 当 时， ，函数 在 上单调递减，故 成立 (ii) 当 时，由 ，因 ，所以 ， 若 ，即 时，在区间 上， ， 则函数 在 上单调递增， 在 上无最大值，当 时， ，此时不满足条件； 若 ，即 时，函数 在 上单调递减， 在区间 上单调递增，同样 在 上无最大值，当 时， ，不满足条件 (iii) 当 时，由 ， ， ， ，故函数 在 上单调递减，故 成立 综上所述，实数 a的取值范围是 (12分 ) 考点： (1)函数的单调区间；（ 2）导数的应用 . 已知 、 是椭圆 的左、
13、右焦点，且离心率 ，点 为椭圆上的一个动点， 的内切圆面积的最大值为 . (1) 求椭圆的方程； (2) 若 是椭圆上不重合的四个点，满足向量 与 共线， 与 共 线，且 ，求 的取值范围 . 答案： (1) ;(2) 试题分析：本小题主要通过对直线与圆锥曲线中椭圆的综合应用的考查，具体涉及到椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识与圆锥曲线的综合知识，提示考生对圆锥曲线的综合题加以重视，本题主要考查考生的推理论证能力，运算求解能力、化归与转化以及数形结合的数学思想 .（ 1）利用方程思想和几何性质，得到含有的两个等量关系，进而利用待定系数法求解椭圆方程；（ 2）通过直线与方程联立，借助 韦达
14、定理和弦长公式将 进行表示为含有 的函数关系式，利用换元法和二次函数求值域的思路寻求范围 . 试题： (1)由几何性质可知：当 内切圆面积取最大值时， 即 取最大值，且 . 由 得 又 为定值， ， 综上得 ； 又由 ，可得 ，即 ， 经计算得 ， ， ， 故椭圆方程为 . (5分 ) (2) 当直线 与 中有一条直线垂直于 轴时， . 当直线 斜率存在但不为 0时，设 的方程为： ，由 消去 可得 ，代入弦长公式得： ， 同理由 消去 可得 ， 代入弦长公式得： ， 所以 令 ，则 ，所以 ， 由 可知， 的取值范围是 . (12分 ) 考点： (1)椭圆方程；（ 2）直线与椭圆的位置关系；
15、（ 3）函数的值域 . 如图，平面四边形 的 4个顶点都在球 的表面上， 为球 的直径， 为球面上一点，且 平面 ， ，点 为 的中点 . (1) 证明：平面 平面 ； (2) 求点 到平面 的距离 . 答案： (1)详见；（ 2） 试题分析：本小题通过立体几何的相关知识，具体涉及到直线与直线垂直的判断、线面的平行关系的判断以及二面角的求法等有关知识，考查考生的空间想象能力、推理论证能力，对学生的数形结合思想的考查也有涉及，本题是一道立体几何部分的综合题，属于中档难度试题 .（ 1）借助几何体的性质，得到 ，借助线面平行的判定定理得到线面平行，进而利用面面平行的判定定理证明平面 平面；（ 2）
16、利用等体积求解几何体的高 ,即为点 到平面 的距离 . 试题： (1) 证明： 且 ， 则 平行且 等于 ，即四边形 为平行四边形，所以 . (6分 ) (2) 由图可知 ，即 则 ，即点 到平面 的距离为 . (12分 ) 考点：（ 1）平行关系；（ 2）点面距 . 为了研究玉米品种对产量的影响，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共 10000 株的生长情况进行研究，现采用分层抽样方法抽取 50株作为样本，统计结果如下： 高茎 矮茎 合计 圆粒 11 19 30 皱粒 13 7 20 合计 24 26 50 (1) 现采用分层抽样的方法，从该样本所含的圆粒玉米中取出 6株玉米，再从这 6株玉
17、米中随 机选出 2株，求这 2株之中既有高茎玉米又有矮茎玉米的概率； (2) 根据对玉米生长情况作出的统计，是否能在犯错误的概率不超过 0.050的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关？ (下面的临界值表和公式可供参考： P(K2k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，其中 ) 答案： (1) ;(2) 能在犯错误的概率不超过 0.050的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关 . 试题分析：本题属于统计概率部分综合题，对考生的统计学的知识考查比较全面，是一道的
18、统计学知识应用的基础试题 .(1)采用列举法进行求解，随机事件的概率；（ 2）根据已知的公式，经过仔细的计算出 的值，然后借助表格进行数据对比，得到相关性的结论 . 试题： (1) 依题意，取出的 6株圆粒玉米中含高茎 2株，记为 ，矮茎 4株，记为，从中随机选取 2株的情况有如下 15种：. 其中满足题意的共有 8种，则所求概率为 . (6分 ) (2) 根据已知列联表： 高茎 矮茎 合计 圆粒 11 19 30 皱粒 13 7 20 合计 24 26 50 所以 .又， , 因此能在犯错误的概率不超过 0.050的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关 . (12分 ) 考点： (1)随机变
19、量的概率 ;(2)统计案例中独立性检验 . 数列 满足 ，且 . (1) 求数列 的通项公式； (2) 若 ，设数列 的前 项和为 ，求证： . 答案： (1) ;(2)详见 . 试题分析：本小题主要通过递推数列通项公式的求取，考查对考生的运算求解能力、逻辑推理能力，对考生化归与转化的数学思想提出较高要求 . 本题属于基础试题，难度相对较低 .(1)采用构造数列的思路进行分析，借助将递推式两边同时除以 达到目的；（ 2）采用裂项相消法求解数列 的前 项和为 ，进而借助放缩法进行不等式的证明 . 试题： (1) 由 可知 ， 所以数列 是公差为 1的等差数列 . 由等差数列的通项公式可知， .
20、所以 . (6分 ) (2) 由 (1)可得 ， 则 的前 项和 . (12分 ) 考点：（ 1）数 列的通项公式；（ 2）数列求和；（ 3）不等式的证明 . 设函数 ， (1) 解不等式 ； (2) 设函数 ，且 在 上恒成立，求实数 的取值范围 . 答案： (1) ;(2) 试题分析：本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明以及解法等内容 .(1)利用数轴分段法求解；（ 2）借助数形结合思想，画出两个函数的图像，通过图像的上下位置的比较，探求 在 上恒成立时实数 的取值范围 . 试题： (1) 由条件知 ， 由 ，解得 . (5分 ) (2) 由 得 ，由函数的图像 可知 的取值范围是 . (10分 ) 考点：（ 1）绝对值不等式；（ 2）不等式证明以及解法；（ 3）函数的图像 .
