1、2013届四川省成都高新区高三 4月统一检测文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知 是虚数单位，复数 （其中 ）是纯虚数，则( ) A -2 B 2 C D 答案： B 试题分析：因为复数 为纯虚数，所以 且，故 ,选 B. 考点：复数的概念 . 若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是( ) A B C D答案： B 试题分析：由题意， ，令，令 ，则 ， ， ，所以 ，所以 .选 B. 考点： 1.不等式的性质； 2.恒成立问题 . 是抛物线 上任意两点（非原点），当 最小时，所在两条直线的斜率之积 的值为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由题意，设 ， ，所以，易知当
2、 ，故此时.故选 B. 考点： 1.抛物线的性质； 2.向量的数量积； 3.斜率公式 . 阅读下面程序框图，则输出结果 的值为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：由题意，当 时，故输出结果为 .故选 D. 考点： 1.算法； 2.循环结构 . 已知实数 满足 ，且目标函数 的最大值为 ，最小值为 ， 其中 的值为 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 答案： A 试题分析：由题意，在可行域内，易知函数 经过 时 ,z有最小值，经过 时， z 有最大值，故有 ，故 ，故选 A. 考点：简单的线性规划问题 . 奇函数 满足对任意 都有 且 则 的值为 ( ) A B C D 答案：
3、D 试题分析：易知， ，所以该函数是周期为 4的周期函数，所以，所以选 D. 考点： 1.函数的周期性； 2.奇偶性； 3.函数值 . 某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为 的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为 的圆（包括圆心），则该零件的体积是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：由题意易知该几何体为一半球内部挖去一圆锥所成，故体积为. 故选 C. 考点： 1.体积； 2.三视图 . 递增等比数列 中， 则 ( ) A B 2 C 4 D 8 答案： B 试题分析： ，又 ，所以 ，所以，所以选 B. 考点：等比数列的性质 . 函数
4、的零点的个数为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析： ，所以 ，令，得 ，故零点的个数为 1,选 B. 考点：零点的个数的判断 . 已知命题 p： “若直线 与直线 垂直，则 ”；命题 q： “ ”是 “ ”的充要条件，则 ( ) A p真， q假 B “ ”真 C “ ”真 D “ ”假 答案： D 试题分析：对于 ，若直线 与直线 垂直，则 ，所以 ， 对于 ，由 ，得 ，反之不成立，故命题 为假命题，命题 为假命题，故 为假 .选 D. 考点： 1.命题的真假判断； 2.直线的垂直判断； 3.充要条件 . 填空题 在直角坐标系内，点 实施变换 后，对应点为 ，给出以下命题： 圆
5、 上任意一点实施变换 后，对应点的轨迹仍是圆； 若直线 上每一点实施变换 后，对应点的轨迹方程仍是则 ； 椭圆 上每一点实施变换 后，对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆； 曲线 ： 上每一点实施变换 后，对应点的轨迹是曲线 ，是曲线 上的任意一点， 是曲线 上的任意一点，则 的最小值为。 以上正确命题的序号是 （写出全部正确命题的序号） . 答案： 试题分析：由题意点 实施变换 后，对应点为 ，对应曲线来说，就是求曲线关于直线 的对应曲线，对于 ，因为圆 的圆心在直线 上，所以圆 上任意一点实施变换 后，对应点的轨迹仍是圆 ，所以 正确； 对于 ，直 线 关于直线 对称的曲线方程为 ，而直线上每
6、一点实施变换 后，对应点的轨迹方程仍是 ，所以，解得 ，或 ,所以 不正确； 对于 ，椭圆 上的每一点实施 后，对应的轨迹方程为 ，对应的离心率不变，故 正确；对于 ，令 ，易求得 时， 为减函数，当 时， 为增函数，所以，由对称性可知，曲线 上的点与其关于直线 的对称曲线上的点的最小值为 ，所以 正确； 故答案：为 . 考点：命题的真假判断与应用 . 已知向量 的模长都为 ，且 ，若正数 满足则 的最大值为 ; 答案： 试题分析： ,所以 ， 所以 ，故 的最大值为 2. 考点： 1.向量的数量积； 2.不等式 . 在区间 内任取两个数 ，则使方程 的两个根分别作为椭圆与双曲线的离心率的概率
7、为 . 答案： 试题分析：依题意，要使方程两根分别作为椭圆，双曲线的离心率，则有，令 ，所以 ， ，所以， ， ，故概率为 . 考点： 1.椭圆、双曲线的性质； 2.几何概型 . 在钝角 中， 分别为角 的对边， ,则的 面积等于 _ 答案： 试题分析：由余弦定理得， ，所以 ，所以. 考点： 1.正弦定理的应用； 2.面积公式 . . 答案： 试题分析：由题意，原式 . 考点： 1.对数的运算； 2.指数运算 . 解答题 已知向量 ， ， ，函数的最大值为 （ ）求 ； （ ）将函数 的图像向左平移 个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图像，求 在上的
8、值域 答案：（ ） ； （ ） . 试题分析：（ ）先将 化简，得 ，再根据最值得 . （ ）先根据变换得到 ，再求得 ，从而得到 在 上的值域 试题：（ ） 因为 ，由题意知 （ ）由（ ） ，将 的图象向左平移 个单位后得到 的图象；再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到 的图象 因此，又 ，所以 ，所以 ，所以 在 上的值域为 考点： 1.向量的数量积； 2.三角恒等变换； 3.三角函数值 . 某同学参加省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级 和获得等级不是 的机会相等，物理、化学、生物获得等级 的事件分别记为 、 、 ，物理、化学、生物获得等级不是 的事件分别记为
9、 、 、 . （ ）试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为 的所有可能结果（如三科成绩均为 记为 ）； （ ）求该同学参加这次水平测试获得两个 的概率； （ ）试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件，使该事件的概率大于 ，并说明理由 . 答案：（ ） 、 、 、 、 、 、 ；（ ） ；（ ）该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 的事件概率大于 . 试题分析：（ ）根据相互独立事件同时发生原理列举； （ ）先列举出 的情况为 、 、 三个，再求得概率；（ ）先把各种情况列出来，再求和概率分析即可得 . 试题：（ ）该同学这次水平测试中物理
10、、化学、生物成绩是否为 的可能结果有 种， 分别为 、 、 、 、 、 、 ； （ ）由（ ）可知，有两个 的情况为 、 、三个， 从而其概率为 （ ）方案一、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 的事件概率大于 ， 理由如下：该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 的事件有如下七种情况： 、 、 、 、 、 ，概率是 . 方案二、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩至少一个 的事件概率大于 ， 10 分 理由如下：该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 的事件有如下七种情况： 、 、 、 、 、 ，概率是 . 考点：古典概型 . 如图 ，在直角梯
11、形 中， ， ， ，将 沿 折起，使平面 平面 ，得到几何体，如图 2所示 ( )求证： 平面 ； ( )求几何体 的体积 答案： ( )详见； ( ) . 试题分析： ( ) 先证 平面 ，再根据 即可证 平面 ； ( )先分析知 为三棱锥 的高，再求得 ，即可得. 试题：（ ）证明：在图 中，可得 ，从而 ，故 ，取 的中点 ，连接 ，则 ，又平面 平面，平面 平面 ， 平面 ，从而 平面 ， ，又 ， ， 平面 . ( )解 由 ( )知 为三棱锥 的高， ， , 由等体积性可知，几何体的体积为 . 考点： 1.直线与平面垂直； 2.体积 . 已知数列 的前 n项和为 ，且 （ ）求数列
12、 的通项公式； （ ）令 ，数列 的前 n项和为 ，若不等式对任意 恒成立，求实数 的取值范围 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）利用 得 ，再求得通项公式 .（ ）先求得 ，再变形得 ，设 ，进而求得 t的取值范围是 试题：（ ）当 时， ，解得 ； 当 时， ， ，故数列 是以 为首项， 2为公比的等比数列， 故 （ ）由（ ）得， ， 令 ，则 ， 两式相减得 , ，故 ， 又由（ ）得， ， 不等式 即为 ， 即为 对任意 恒成立 .设 ，则， ， ，故实数 t的取值范围是 考点： 1.等差数列的性质； 2.不等式恒成立问题 . 设函数 （ ）若函数 在 上单调递减，在区间
13、单调递增，求 的值； （ ）若函数 在 上有两个不同的极值点，求 的取值范围； （ ）若方程 有且只有三个不同的实根，求 的取值范围。 答案：（ ） ；（ ） ；（ ）. 试题分析：（ ）根据题意得 是 的极值点，从而 ，求得. （ ）根据题意可知 且 ，进而求得 的取值范围；（ ）由题意或 ，再对 分类讨论可得 . 试题：（ ） 由题 是 的极值点， ， 得 ， （ ） 由 得 或 ， ， 令 在区间 递增，在区间 上递减， 或 ，则 的取值范围是， （ ） 或 ， 当 时， 在 上递增， 各有一实根，符合要求 ； 当 时， 在 递增，在 递减，在递增， ，原方程有且只有三个不同实根， 则
14、， 当 时， 在 递增，在 递减，在 递增，所以， 则 ，综上： . 考点： 1.导数求函数的单调性的应用 ; 2.函数的极值点 . 设椭圆 的离心率 ， 是其左右焦点，点是直线 （其中 ）上一点，且直线 的倾斜角为 . （ ）求椭圆 的方程； （ ）若 是椭圆 上两点，满足 ，求 （ 为坐标原点）面积的最小值 . 答案： ( ) ；（ ） 试题分析： ( ) 根据 及 得 ；（ ）分斜率存在和不存在进行讨论，当斜率不存在，易求得 ，当斜率存在时，利用弦长公式表示出 再表示出面积 ,得,从而 的最小值为 试题：（ ） , 则 ,故 . （ ）当直线 的斜率不存在时，可设 代入椭圆得 ，此时， , 当直线 的斜率存在时，设代入椭圆得： , 设 , 则 , 由 得： 当 时，取等号，又 ，故 的最小值为 . 考点：直线与椭圆的位置关系综合应用 .
