1、2013届宁夏银川一中高三第五次月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 M -1,0,1， N x|x2 x，则 MN ( ) A 0 B 0,1 C -1,1 D -1,0,1 答案： B 试题分析： N x|x2 x ,所以 MN 0,1. 考点：本小题主要考查集合的运算 . 点评：解决集合的问题，要注意看清集合中的元素是什么 . 已知定义在 上的奇函数 满足 ，且 时，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：甲： ；乙：函数 在 上是增函数；丙：函数 关于直线 对称；丁：若，则关于 的方程 在 上所有根之和为 -8，其中正确的是（ ） A甲，乙 ,丁 B乙 ,丙 C甲 ,乙 ,丙 D
2、甲 ,丁 答案： D 试题分析：因为定义在 上的奇函数 满足 ，所以为对称轴，所以丙错误；又，所以函数的周期为 8，而当 时，所以 ，所以甲正确；当时，函数单调递增，因为是奇函数，所以当 时，函数单调递增，即当 时，函数单调递增，因为函数关于 对称，所以在上单调递增，所以在 上单调递减，所以乙错误；根据前面得到的函数的性质画出函数的简图，可知方程 在 上所有根之和为 -8，所以丁正确 . 考点：本小题综合考查函数的性质的判断和应用，是比较综合的问题，难度较大 . 点评：函数的性质是历年高考考查的重点内容，要灵活应用，必要时借助图象数形结合解决 . 已知 , ( 0 , ) ， A、 B为图象上
3、两点， B是图象的最高点， C为 B在 x轴上的射影，且点 C的坐标为 则 ( ). A. B. C. 4 D. 答案： D 试题分析：由题意和图象可知， 由图象可知，该函数的最小正周期为 ，所以 ，所以 考点：本小题主要考查三角函数的图象和性质以及向量的坐标运算，考查学生根据三角函数图象研究函数性质的能力和推理能力以及运算求解能力 . 点评：对于三角函数图象来说，一般是最值点确定 A，周期确定 ，代入特殊值确定 . 已知 ， 都是定义在 上的函数，且满足以下条件： = （ ）； ； ； 若 ，则 等于 ( ) A B 2 CD 2或 答案： A 试题分析：由 知 ，所以，又因为 ，所以为单调
4、减函数，所以 等于 . 考点：本小题主要考查由导数判断函数的单调性、构造函数研究性质等，考查学生构造函数的能力和利用函数性质研究函数的能力 . 点评：解决本小题的关键是由 得出 为单调减函数 . 与直线 和圆 都相切的半径最小的圆的方程是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：由题意可知，符合要求的圆中半径最小的圆的圆心在 上，而且半径为 ，所以所求圆的方程为 . 考点：本小题主要考查直线和圆的位置关系的判断和应用，考查学生数形结合思想的应用和运算求解能力 . 点评：要解决此类问题，关键是画出图象，数形结合找出符合要求的圆的圆心和半径 . 已知函数 有两个零点 ，则（ ） A B C
5、D 答案： C 试题分析：由题意不妨设 ，所以，所以 + =- ，所以，所以. 考点：本小题主要考查函数的零点的判断和应用以及函数性质的应用，考查学生对问题的转化能力和分析问题、解决问题的能力 . 点评：解决本小题的关键是将问题转化为 + = - ，进而求解 . 双曲线 的离心率为 2，有一个焦点与抛物线 的焦点重合，则 mn 的值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：抛物线 的焦点为 ，所以双曲线的一个交点为 ，所以 又离心率为 考点：本小题主要考查抛物线和双曲线中基本量的计算，考查学生的运算求解能力 . 点评：双曲线和抛物线以及椭圆中基本量的关系是圆锥曲线中的基础内容，也是考查的
6、重点内容，要重点掌握 . 同时具有性质 最小正周期是 ； 图像关于直线 对称； 在上是增函数的一个函数是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： A， D 中函数的最小正周期为 ，所以排除； B 中当 时，不单调，所以排除，只有 C是符合要求的 . 考点：本小题主要考查三角函数的图象和性质，考查学生数形结合思想的应用 . 点评：三角函数的周期性、奇偶性和对称性、单调性等是比较重要的性质，要准确掌握，灵活应用 . 设 ，则 “ ”是 “直线 与直线 平行 ”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：若直线 与直线 平行，则
7、需要，所以 “ ”是 “直线 与直线平行 ”的充分不必要条件 . 考点：本小题主要考查直线平行的条件的应用和充分条件、必要条件的判断，考查学生的推理能力 . 点评：两直线平行，最好用 ,这样可以省去讨论直线的斜率不存在的情况 . 在等差数列 an中，已知 a4 a8 16，则该数列前 11项和 S11（ ） A 58 B 88 C 143 D 176 答案： B 试题分析：根据等差数列的性质有 所以该数列的前 11项的和 考点：本小题主要考查等差数列的性质的应用和等差数列的前 n项和的求解，考查学生的运算求解能力 . 点评：等差数列和等比数列是两类重要的数列，它们的性质的灵活应用是求解数列题目
8、的关键 . 已知向量 ，则 在 方向上的投影为 ( ) A B C -2 D 2 答案： D 试题分析：因为向量 ，所以 在 方向上的投影为考点：本小题主要考查向量的投影的计算，考查学生的运算求解能力 . 点评：注意到向量的投影是一个数量而不是向量 . 命题 ： ，都有 sinx-1，则 ( ) A ： ，使得 B ： ，都有 sinx-1 C ： ，使得 D ： ，都有 sinx-1 答案： A 试题分析：题中所给的命题是全称命题，全称命题的否定是特称命题 . 考点：本小题主要考查全称命题的否定 . 点评：要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题 . 填空题 给出下列四个命题
9、： 已知 都是正数，且 ，则 ； 若函数 的定义域是 ，则 ； 已知 x （ 0， ），则 的最小值为 ； 已知 a、 b、 c成等比数列， a、 x、 b成等差数列， b、 y、 c也成等差数列，则的值等于 2. 其中正确命题的序号是 _. 答案： 试题分析： 因为 都是正数，所以由 可得，所以正确； 若函数 的定义域是 ，则 ，所以错误； 中因为 ，所以取不到最小值 ； 中由 a、 b、 c成等比数列，得 ；由 a、 x、 b成等差数列， b、y、 c也成等差数列，得 所以 考点：本小题主要考查不等式的性质、对数函数的定义域、基本不等式的应用和等差数列、等比数列的综合应用，考查学生综合运用
10、所学知识分析问题、解决问题的能力 . 点评：利用基本不等式求最值时，尤其要注意等号能否取到；等差数列和等比数列的性质的综合应用是解决数列问题的基础 . 已知函数 f(x) x2 ax b(a， b R)的值域为 0， )，若关于 x的不等式f(x) c 的解集为 (m， m 6)，则实数 c的值为 _ 答案： 试题分析：因为函数 f(x) x2 ax b(a， b R)的值域为 0， )，所以，设 的两个根为 ，则考点：本小题主要考查二次函数的值域问题和二次函数与二次不等式之间的关系和二次函数根与系数关系的应用，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力以及数形结合思想的应用 . 点评：二
11、次函数与二次不等式的关系要熟练应用 . 设函数 f(x) ， D是由 x轴和曲线 y f(x)及该曲线在点 (1,0)处的切线所围成的封闭区域，则 z x-2y在 D上的最大值为 _ 答案： 试题分析：当 时， ，所以该曲线在点 (1,0)处的切线方程为 ，画出可行域，在画出目标函数 z x-2y，可知在 处 取到最大值，最大值为2. 考点：本小题主要考查导数几何意义的应用和由线性规划知识解决最值问题，考查学生的运算求解能力和数形结合思想的应用 . 点评：解决线性规划问题的关键是正确画出可行域 . 已知圆 x2 y2-6x-7 0与抛物线 的准线相切，则此抛物线的焦点坐标是 _。 答案： 试题
12、分析：抛物线 的准线方程为 ，因为圆与 相切，所以 ，解得 ，所以抛物线的焦点坐标为 . 考点：本小题主要考查抛物线准线方程的求解、直线与圆的位置关系的应用，考查学生的运算求解能力 . 点评：直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆半径，用这种几何法比用代数方法运算简单 . 解答题 (本小题满分 12分 ) 已知函数 (1)将 写成 的形式，并求其图象对称中心的横坐标； (2)如果 ABC的三边 依次成等比数列，且边 所对的角为 ，试求 的取值范围及此时函数 的值域 答案：（ 1） ，对称中心的横坐标为 （ 2），值域为 试题分析：（ 1）由题意知， 3 分 由 得： ， 即对称中心的横坐标为
13、6 分 (2)由已知 ， ， ， 9 分 因为 ， ， 即 的值域为 12分 考点：本小题主要考查二倍角公式和辅助角公式的应用、三角函数的图象和性质及其应用，考查学生的运算求解能力和数形结合思想的应用 . 点评：三角函数的解答题是每年高考的必考题目，一般出现在第 17题的位置，难度不大，但需要仔细 . (本小题满分 12分 ) 已知数列 的前 项和 ，数列 为等比数列，且满足， （ 1）求数列 ， 的通项公式； （ 2）求数列 的前 项和。 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）由已知 ，得 1 分 当 2时， 3 分 所以 5 分 由已知， ， 设等比数列 的公比为 ，由 得 ，所以
14、， 7 分 所以 8 分 （ 2）设数列 的前 项和为 ， 则 ， ， 两式相减得 10 分 11 分 所以 12 分 考点：本小题主要考查由 求 、等比数列的通项公式和错位相减法求数列的前 n项的和，考查学生对问题的分析和转化能力以及运算求解能力 . 点评：由 求 时，一定不要忘记验证 时的情形，另外，错位相减法求数列的前 n项的和是高考常考的内容，要灵活应用，仔细运算以防出错 . (本小题满分 12分 ) 已知圆 C： ，直线 过定点 A (1， 0). （ 1）若 与圆 C相切，求 的方程； （ 2）若 与圆 C相交于 P、 Q 两点，求三角形 CPQ 的面积的最大值，并求此时直线 的方
15、程 . 答案：（ 1） 或 （ 2） 或 试题分析： (1) 若直线 的斜率不存在，则直线 ，符合题意 . 2 分 若直线 斜率存在，设直线 的方程为 ，即 由题意知，圆心（ 3， 4）到已知直线 的距离等于半径 2， 即： ，解之得 . 所以所求直线 的方程是 或 . 6 分 （ 2）因为直线与圆相交，所以斜率必定存在，且不为 0, 设直线方程为 ， 则圆心到直线 的距离为 ， 又 CPQ 的面积 当 d 时， S取得最大值 2. ， 或 ， 所以所求直线 方程为 或 . 12 分 考点：本小题主要考查直线圆的位置关系的求解和应用、直线方程的求解和三角函数面积公式的应用以及二次函数求最值，考
16、查学生综合运用所学知识解决问题的能力和运算求解能力 . 点评：设直线方程的点斜式时，要考虑直线的斜率存在与不存在两种情况，不能漏掉直线斜率不存在的情形 . (本小题满分 14分 ) 已知函数 ， . (1)如果函数 在 上是单调增函数，求 的取值范围； (2)是否存在实数 ，使得方程 在区间 内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出 的取值范围；若不存在，请说明理由 答案：（ 1） （ 2） ( ) 试题分析：（ 1）当 时， 在 上是单调增函数，符合题意 1 分 当 时， 的对称轴方程为 ， 由于 在 上是单调增函数， 所以 ，解得 或 ， 所以 3 分 当 时，不符合题意 综上， 的取
17、值范围是 4 分 （ 2）把方程 整理为 ， 即为方程 . 5 分 设 ， 原方程在区间 ( )内有且只有两个不相等的实数根 , 即为函数 在区间 ( )内有且只有两个零点 . 6 分 ， 7 分 令 ，因为 ，解得 或 （舍）， 8 分 当 时 , , 是减函数； 当 时 , ， 是增函数 . 10 分 在 ( )内有且只有两个不相等的零点 , 只需 13 分 即 ， 解得 , 所以 的取值范围是 ( ) 14 分 考点：本小题主要考查二次函数的单调性和利用导数解决函数的单调性、最值问题，考查学生对导数的工具性的应用能力和分类讨论思想和数形结合思想的应用 . 点评：研究高次函数的单调性一般用
18、导数，前提是合理构造函数并正确求导，而不论用什么方法考查函数的性质，都不能忘记函数的定 义域 . （本小题满分 10分）选修 44 ：坐标系与参数方程 平面直角坐标系中，直线 的参数方程是 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 （ 1）求直线 的极坐标方程； （ 2）若直线 与曲线 相交于 、 两点，求 答案：（ 1） 或 或 （ 2） 试题分析：（ 1）消去参数得直线 的直角坐标方程： ， 2 分 由 代入得 . （ 也可以是： 或 ） 5 分 （ 1） 得 ， 7 分 设 ， ，则 . 10分 （若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给
19、分） 考点：本小题主要考查参数方程与普通方程的互化和极坐标下两点间距离的计算，考查学生的运算求解能力 . 点评：对参数方程，能正确进行与普通方程间的互化即可，而极坐标问题，通常转化为直角坐标方程求解 . (本小题满分 l0 分 )选修 45 ：不等式选讲 已知函数 （ 1）求证： ； （ 2）解不等式 . 答案：（ 1）去掉绝对值符号，写成分段函数即可得出结论（ 2） 试题分析：（ 1）由题意可知 ， 3 分 又当 时， ， . 5 分 （ 2）当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 8 分 综合上述，不等式的解集为： . 10 分 考点：本小题主要考查含绝对值的不等式的求解，考查学生分类讨论思想的应用 . 点评：解决含绝对值的不等式的问题，要通过分类讨论去掉绝对值符号 .
