1、2013届山西省忻州市高三第一次联考文科数学试题（带解析） 选择题 若集合 A -2 1， B 0 2，则集合 AB A x|-1 1 B x|-2 1 C x|-2 2 D 0 1 答案： D 试题分析：因为 AB=x|-2 x 1x|0 x 2=x|0 x 1故选 D 考点：本试题主要考察了集合的交集的运算。 点评：交集的运算是集合中基本的知识点，属于基础题。解决该试题的方法，运用数轴法表示出集合 A,B，然后利用交集的概念表示得到结论 。 给出定义：若 m- xm （其中 为整数），则 叫做离实数 最近的整数，记作 ，即 ，在此基础上给出下列关于函数 的四个命题： 的定义域是 ，值域是
2、(- , ； 点 的图像的对称中心； 函数 的最小正周期为 1； 函数 在 (- , 上是增函数； 则其中真命题的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 答案： C 试题分析：分析题目中，何为离实数最近的函数，同时记号的表示，对记号的理解很是关键。 因为函数 ，那么命题 1中， 故定义域为 R，值域为 (- , ；，成立。正确的命题。 命题 2中， ，那么是一次函数，有对称中心，且为（ m， 0） ,不是 (k,0),故错误的命题。 命题 3中，函数不会有最小正周期，不符合周期函数的定义。 命题 4中 ，函数在 (- , 上符合一次函数的性质，可知为递增函数，因此成立。 故正确的选项为 C.
3、考点：本试题主要是考查了新定义的运用。 点评：解决新定义的问题，关键是审清题意，然后利用已知中的条件结合函数的知识来判定结论。考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题。 已知函数 的最大值为 4，最小值为 0，最小正周期为直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的式为 A B C D 答案： A 试题分析：明确 的含义，同时结合已知条件得到其等式关系，进而求解。因为 最小正周期为，又因为直线是其图象的一条对称轴，则说明在该点处函数值有最值，那么可知 ，然后利用排除法可知， B,D不成立，然后对于 A,C分别验证，满足题意的只有当 能使得函数 值取得最值，故选A. 考点：本试题主要是考查
4、了三角函数的式的求解运用。 点评：解决该试题关键是要利用已知中的性质，寻找参数与性质间的直接关系式，进而求解得到，熟练掌握三角函数的性质，是同学们要必须做到的。 执行右边的程序框图，若 ，则输出的 A B C D 答案： D 试题分析：分析起始值，以及循环结构，关键是注意循环结构终止的条件，到哪一步为止即可。 因为起始值为 n=0,s=0,那么第 一次循环， n=1,s= ,第二次循环， n=2,s= , 第三次循环， n=3,s= ,第四循环， n=4s= ，此时终止循环，输出 s,故选 D. 考点：本试题主要是考查了程序框图的简单运用。 点评：对于程序框图的考查是高考的必考点，一般是容易题
5、型，但是要细心，确定最后一步，是最关键的一步，同时要结合数列的知识来寻规律。 若直线 始终平分圆 的周长，则的最小值为 A 1 B 5 C 3 D 答案： D 试题分析：因为根据题意可知，直线 始终平分圆的周长，则说明圆的标准方程为 是圆心坐标，那么直线过圆心，则有 2a+2b-2=0,a+b=1,那 么，当且仅当时成立，故选 D. 考点：本试题主要是考查了直线与圆的位置关系的运用。 点评：解决该试题的关键是理解，直线平分圆的周长意味着，直线过圆心，这是一个重要的结论，要理解。同时能利用不等式的思想来求解最值，注意一正二定三相等的运用。 下列命题错误的是 A命题 “若 m 0，则方程 x2 x
6、-m 0有实数根 ”的逆否命题为： “若方程 x2 x-m 0无实数根，则 m0” B “x 1”是 “x2-3x 2 0”的充分不必要条件 . C若为假命题，则 p ， q均为假命题 . D对于命题 p： 答案： C 试题分析：四种命题的关系，主要是对于逆否命题的运用，同时利用集合的思想，能判定命题间的包含关系，从而得到充分条件的判定。 由于选项 A中，若 m 0，则方程 x2 x-m 0有实数根 ”的逆否命题为，将原命题的条件的否定作为其逆否命题的结论，将原命题中结论的否定作为其逆否命题的条件，可知为若方程 x2 x-m 0无实数根，则 m0”，因此正确。 选项 B中， 命题的结论 “x2
7、-3x 2 0”等价于 x=1,或 x=2，而命题的条件 是 x=1，可知条件表示的集合小，则利用小集合是大集合成立的充分不必要条件，故正确。 选项 C，中，且命题为假命题，则说明至少有一个假命题，因此错误。 选项 D中，对于特称命题的否定，就是将存在改为任意，结论变为否定即可。故正确，因此答案：为 C. 考点：本试题主要是考查了命题的真值，以及充分条件问题。 点评：简易逻辑的考查主要是侧重于命题的真值，以及四种命题的关系，以及充分条件的判定的考查上，属于基础题。 已知非零向量 ， ，若 2 与 -2 互相垂直，则 | | : | |为 A B 2 C D 4 答案： B 试题分析：对于向量的
8、垂直问题，一般运用其数量积为零来解决。同时向量的平方就是向量的模长的平 方。 那么由于 2 与 -2 互相垂直，则可知（ 2 ） （ -2 ） =0 即 故选 B. 考点：本试题主要是考查了向量的数量积的性质的运用。 点评：向量的数量积是高考中必考点，主要是运用性质解决长度，角度问题。属于基础题。解决该试题的关键利用向量的垂直的充要条件数量积为零，得到结论。 已知 ，则 sin2q A B C D 答案： A 试题分析：因为 ，那么由同角关系式，可知，再根据二倍角正弦公式，故选 A. 考点：本试题主要是考查了二倍角的正弦公式的运用。 点评：解决该试题的关键是利用同角的平方关系，以及二倍角的正弦
9、公式，来得到结论，属于基础题。注意符号是解决该题的易错点。 若点 P(x, y)在以 A(-3,1)， B(-1,0)， C(-2,0)为顶点的 ABC的内部运动 (不包含边界 )，则 的取值范围是 A B C D 答案： D 试题分析：根据已知的条件可知，点 A,B， C围成的三角形 ABC，其内动点 P（ x,y），那么所求的为动点 P与定点 M（ 1,2）两点的斜率的取值范围，则根据已知中的三点 A，B,C的坐标，分别求解 ,则利用倾斜角与斜率的关系，结合正切函数图象可得， 的取值范围是 ，选 D. 考点：本试题主要是考查了线性规划的最优解问题的应用。 点评：解决该试题是高考中的一个常考
10、点，同时一般要结合数形结合的思想来完成，因此关键的一步就是要准确作图，找到平面区域，然后结合表达式的表示的几何意义：斜率的含义来得到。 抛物线 y ax2的准线方程是 y 1，则实数 a的值为 A B - C 4 D -4 答案： B 试题分析：由已知中抛物线方程 又抛物线的准线方程是 y=1， ，选 B. 考点：本试题考查了抛物线的简单性质的简单运用。 点评：抛物线的简单性质，是一道基础题也是高考常考的题型找出抛物线标准方程中的 p值是解本题的关键要求学生掌握抛物线的标准方程如下：（ 1） y2=2px（ p 0），抛物线开口方向向右，焦点 F（ ， 0），准线方程为 x=-；（ 2） y2
11、=-2px（ p 0），抛物线开口方向向左，焦点 F（ - ， 0），准线方程为 x=；（ 3） x2=2py（ p 0），抛物线开口方向向上，焦点 F（ 0，），准线方程为 y=-；（ 4） x2=-2py（ p 0），抛物线开口方向向下，焦点 F（ 0， - ），准线方程为 y= 设 l， m， n表示三条直线， ， ， 表示三个平面，给出下列四个命题： 若 l ， m ，则 l m； 若 m， n是 l在 内的射影， m l，则 m n； 若 m， m n，则 n ； 若 ， ，则 . 其中真命题为 A B C D 答案： A 试题分析：对于空间中点线面的位置关系的判定，一般要根据其概念
12、和判定定理和性质定理来分析得到。 选项 ，可以根据直线与平面垂直的性质定理得出的，故其正确； 选项 ，根据由三垂线定理的逆定理可证可知正确； 选项 ， n在平面 内时不正确； 选项 ，若 ， ，则 ，不正确，如正方体共顶点的三个平面； 故选 A 考 点：本试题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及面面垂直的判定等有关知识 点评：该试题是基础题，通过对于空间中线面位置关系，和面面垂直判定的定理的熟练掌握，结合图形来或者举出反例来否定一个结论，考查了分析问题和解决问题的能力。 设 为实数，若复数 1 i，则 A B C D 答案： A 试题分析：解：由 故选 A 考点：本试题主要是考查了复
13、数的乘除法运算，以及复数相等。 点评：该试题是基础题型，一般可以转换为整式关系式，然后利用复数相等的知识，实部和虚部对应相等，得到参数 a,b的值。 填空题 某老师在校阅试题时发现一个题目： “从 60角的顶点开始，在一边上截 取 9厘米的线段，在另一边截取 a厘米的线段，求所得两个端点之间的距离 ”其中 a厘米在排版时比原稿上多了 1虽然如此，答案：却不必改动，即题目与答案：仍符合，则 a_ 答案： 试题分析：利用余弦定理，根据两边和夹角的特点来求解。 设所求的两点的距离为 x,则根据余弦定理可知,利用 解方程可知 2a=8， a=4,故答案：为 4. 考点：本试题主要是考查了解三角形的运用
14、。 点评： 解三角形问题，主要是对于正弦定理和余弦定理的运用。实施边角的转换时核心思想，合理选择是解决试题的关键，属于基础题。 已知函数 f (x)= lnx- ，则 f (3) _ 答案： 试题分析：因为要求解某点的导数值，关键是求解导函数。 因为函数 f (x)= lnx- ，那么可知 f(x)= ,因此可知 f (3) 故答案：为 考点：本试题主要是考查了导数的计算。 点评：对于常见的基本初等函数的导数，要熟练掌握。尤其是自然对数函数的导数，同时要理解导数的运算性质，准确求解。 某中学为了解学生 的数学学习情况，在 3000名学生中随机抽取 200名，并统计这 200名学生的某次数学考试
15、成绩，得到了样本的频率分布直方图根据频率分布直方图，推测这 3000名学生在该次数学考试中成绩小于 60分的学生数是_ 答案： 试题分析：直方图中统计的是 200名学生的成绩，那么利用直方图可知，在图中，成绩小于 60分的学生的频率为 (0.002+0.006+0.012)10=0.2.，那么用样本估计总体，那么推测这 3000名学生在 该次数学考试中成绩小于 60分的学生的频率为 0.2，则其学生数极为 30000.2=600，故答案：为 600. 考点：本试题主要是考查了直方图的运用。 点评：直方图是统计中常考的知识点，该试题属于基础题型，解决关键是理解方形的面积代表频率。然后利用频率和频
16、数的关系式得到结论。 一个空间几何体的三视图 (单位： cm)如图所示， 则该几何体的体积为 cm3 答案： 试题分析：根据已知条件，分析原几何体的形状，进而结合公式求解运算。 因为结合 三视图可知，该几何体是四棱锥，底面是边长为 2的正方形，高为 2，那么可知棱锥的体积公式为 ，故正确的答案：为 考点：本试题主要是考查了三视图还原几何体的运用，求解体积问题。 点评：解决该试题的关键是能将三视图还原为实物图，同时得到对应的长度和高度，然后结合空间几何体的体积公式计算。突破口是俯视图，确定底面的形状。 解答题 （本题满分 10分） 在极坐标系中，已知两点 O(0， 0)， B(2 ， ) ( )
17、求以 OB为直径的圆 C的极坐标方程，然后化成直角坐标方程； （ ）以极点 O为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l的参数方程为 （ t为参数）若直线 l与圆 C相交于 M， N两点，圆 C的圆心为 C，求 DMNC的面积 答案： (1) (x-1)2 (y-1)2=2 (2) 试题分析：解： ( )设 P(r,q)为圆上任意一点，则 |OP| r， DPOx q- ， 在 RtDPOB中， cos(q- ) ，即 r 2 cos(q- ) r2 2 rcosq 2 rsinq ， 圆 C的直角坐标方程为 (x-1)2 (y-1)2=2 5分 （ ）作 CDMN于 D， C到
18、直线 l的距离为 d ， 在 RtDCDA中， |MN| 2 ， S 10分 考点：本试题主要是对于坐标系与参数方程的考查。 点评：熟练掌握极坐标与直角坐标的互化，同时能利用直线与圆的位置关系，利用圆的半径，点到直线的距离公式以及弦长的关系来求解，并结合三角形正弦面积公式得到，属于中档题。 （本题满分 10分） 如图，已知 C、 F是以 AB为直径的半圆上的两点， 且 CF CB，过 C作 CDAF交 AF的延长线与点 D ( )证明： CD为圆 O的切线； ( )若 AD 3， AB 4，求 AC的长 答案： (1)根据圆的切线的定义，只要证明圆心与点 C的连线垂直于 CD即可。 (2) 试
19、题分析：（ ）证明： ， ， ， 则 ， ， 则 为圆的切线 5分 （ ）解：连接 ，由（ ）知 又 ， . 则 ，所以 10分 考点：本试题主要是考查了直线与圆的知识。 点评：对于线段的长度的求解，一般运用相似的思想来得到。或者借助于切线长定理等等的知识得到关系式来得到。 （本题满分 12分） 已知函数 f (x) - ax3 x2 (a-1)x- (x 0)， (a R) ( )当 0 a 时，讨论 f (x)的单调性； ( )若 f (x)在区间 (a, a 1)上不具有单调性，求正实数 a的取值范围 答案：（ 1）当 0 a 时， f (x)在 (0,1)， ( -1,￥ )递减；在
20、(1, -1)递增 （ 2） (0， ) ( ， 1) 试题分析：解： ( ) f (x)的定义域为 . -a(x-1)x-( -1) 2分 当 0 a 时， -1 1， f (x)在 (0,1)， ( -1,￥ )递减；在 (1, -1)递增； 4分 ( ) f (x)在区间 上不具有单调性等价于 f (x)在区间 内至少有一个极值点 5分 当 a 时 ， f (x) - (x-1)20Tf (x)在 上递减 ,不合题意； 7分 当 a1时， f (x) 0的两根为 x1 1,x2 -1， ，故不合题意； 当 ，且 a 时， f (x)在区间 上不具有单调性等价于： 或 ，且 a 11分 综
21、上可知，所求 的取值范围是 (0， ) ( ， 1) 12分 考点 ：本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。 点评：这类问题的解决一般主要涉及两类题型，求解单调区间，同时证明不等式恒成立问题。前者经常要对于参数分类讨论，注意对于一元二次不等式的熟练运用，是解决这个题型的关键，后者主要是求解函数的最值来证明不等式。如果递增，则说明函数在给定区间上导数恒大于等于零，反之，则恒小于等于零。来分离参数的思想求解参数的范围。 （本题满分 12分） 已知中心在原点 O，焦点在 x轴上的椭圆 E过点 (1， )，离心率为 ( )求椭圆 E的方程； ( )直线 x y 1 0与椭圆 E相交于 A、 B(B
22、在 A上方 )两点，问是否存在直线 l，使 l与椭圆相交于 C、 D(C在 D上方 )两点且 ABCD为平行四边形，若存在，求直线 l的方程与平行四边形 ABCD的面积；若不存在，请说明理由 答案：（ 1） 1（ 2） 试题分析：解： ( )设椭圆的方程为 1(a b 0)，由题意可得 解得 a2 4， b2 3 椭圆的方程为 1 4分 ( )由于直线 x y 1 0过椭圆的左焦点 F1(-1,0)，且斜率为 -1，由对称性可知，存在直线 l过椭圆的右焦点 F2(1,0)，且斜率为 -1的直线 l： x y-1 0符合题意 直线 x y 1 0与直线 x y-1=0的距离为 d 7分 联立得
23、7x2-8x-8 0 设 C(x1,y1)， B(x2,y2)，则 x1 x2 ， x1x2 - 9分 |CD| 故平行四边形 ABCD的面积 S 12分 考点：本试题主要是考查了椭圆方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系。 点评：对于圆锥曲线方程的求解，一般应用待定系数法来得到。同时要采用设而不求的联立方程组的思想，研究直线与圆锥曲线的位置关系。 （本题满分 12分） 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧面 ABB1A1， ACC1A1均为正方形， BAC 90，AB 2，点 D1、 D分别是棱 B1C1、 BC的中点 ( )求证： A1D1 平面 BB1C1C； ( )求证： AB1
24、平面 CA1D1； （ ）求多面体 A1B1D1-CAD的体积 答案：（ 1）利用面面垂直的性质定理，只要证明 A1D1B1C1， 再结合面面垂直侧面BCC1B1平面 A1B1C1，得到结。（ 2）通过线线平行来证明线面平行。（ 3） 试题分析：（ I）证明：由已知得 AA1平面 A1B1C1， 侧面 BCC1B1平面 A1B1C1， 又 A1B1 A1C1， A1D1B1C1 A1D1 平面 BB1C1C 4分 （ ）解： D1、 D分别是棱 B1C1、 BC的中点， B1D CD1， CD1 平面 AB1D 又 ADD1A1为矩形， A1D1 AD， A1D1 平面 AB1D ADDB1
25、D， 平面 CA1D1 平面 ADB1 又 AB1平面 AB1D， AB1 平 面 CA1D1 8分 （ ）解：三棱柱 ABC-A1B1C1的体积 V1 222 4， 三棱锥 C-A1C1D1与三棱锥 B1-ABD的体积均为 V2 2 ， 多面体 A1B1D1-CAD的体积 V V1-2V2 4- 12分 考点：本试题主要是考查了空间中点线面的位置关系的运用。 点评：对于空间中，线面的垂直的证明，以及线面平行的判定，一般运用其判定定理，找到关键的线，同时能利用等体积法来求解体积是常用的求解方法。 （本题满分 12分） 甲 乙两名运动员在一次射击预选赛中，分别射击了 4次，成绩如下表（单位：环）
26、： 甲 6 7 9 10 乙 6 8 8 10 ( )从甲 乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率； ( )现要从中选派一人参加正式比赛，你认为选派哪位运动员参加比较合适 请说明理由 答案：（ 1） （ 2）选派乙运动员参加决赛比较合适 试题分析：解： ( )记甲被抽到的成绩为 x，乙被抽到成绩为 y，用数对 (x, y)表示基本事件从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，则共有 (6,6)， (6,8)， (6,8)， (6,10)，(7,6)， (7,8)， (7,8)， (7,10)， (9,6)， (9,8)， (9,8)， (9,10)， (10,6)， (10,8)， (
27、10,8)， (10,10)共 16种结果 3分 记 甲的成绩比乙高 ，则 包含 (7,6)， (9,6)， (9,8)， (9,8)， (10,6)， (10,8)， (10,8)共 7种结果， P(A) 6分 ( )甲的成绩平均数 8，乙的成绩平均数 8， 甲的成绩方差 2.5, 乙的成绩方差 2.0 10分 ， ， 选派乙运动员参加决赛比较合适 12分 考点：本试题主要是考查了概率的求解，以及数据的特征来分析平均水平的应用。 点评：解决该试题的关键是理解概率的公式，是运用概率求解概率呢，还是运用古典概型求解概率呢，同时对于数据的平均值，以及方差的意义要理解。 （本题满分 12分） 在等差
28、数列 an中， Sn为其前 n项和，且 a5 9， S3 9 ( )求数列 an的通项 an; ( )若数列 的前 n项 和为 Tn，求 2Tn 的最小正整数 n的值 答案：（ 1） an=2n-1（ 2） 1006 试题分析：解： ( )由已知得 2分 解得 a1 1， d 2， 4分 an=2n-1 6分 ( ) ， 8分 Tn (1- - - ) (1- ) 10分 由 2Tn ， n1006 12分 考点：本试 题主要是考查了等差数列的通项公式和数列求和的运用。 点评：对于等差数列和等比数列的基本只是要熟练的掌握。同时要熟悉裂项求和，进而求解得到。分析求和主要是通过数列的通项公式得到。
29、 （本题满分 10分） 已知函数 f (x) | x-a | + | x + 2 |(a为常数，且 a R) （ ）若函数 f (x)的最小值为 2，求 a的值； （ ）当 a 2时，解不等式 f (x)6 答案： (1) a 0或 a -4(2) -3， 3 试题分析：解：（ ） f (x) |x-a| |x 2| | a-x | |x 2| |a-x x 2| |a 2|， 由 |a 2| 2，解得 a 0或 a -4 5分 （ ） f (x)= |x-2| |x 2| 当 x -2时，不等式为 2-x-x-26，其解为 -3x -2； 当 -2x 2时，不等式为 2-x x 26恒成立，其解为 -2x 2； 当 x2时，不等式为 x-2 x 26，其解为 2x3； 所以不等式 f (x)6的解集为 -3， 3 10分 如有其它解法，相应给分 考点：本试题主要是考查了绝对值不等式的求解。 点评：零点分段论是解决多个绝对值的函数的一般 方法，同时能利用分段函数的性质，求解最值，属于基础题。
