1、2013届广东省揭阳一中高三上学期第二次段考数学试卷与答案（带解析） 选择题 复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： D 试题分析：因为 所以复数在复平面对应的点的坐标是 ，所以它对应的点在第四象限 . 考点：复数代数形式的乘除运算 复数的代数表示法及其几何意义 点评：判断复数对应的点所在的位置，只要看出实部和虚部与零的关系即可，把所给的式子展开变为复数的代数形式，得到实部和虚部的取值范围，得到结果 在 所在的平面上有一点 ，满足 ，则 与的面积之比是（ ） A B C D 答案： D 试题分析： 由 ， 得 , 所以
2、， 即 所以 是 边上的第二个三等分点，故 . 考点：平行向量 点评：本题考查的知识点是平行向量与共线向量，其中根据数乘向量的几何意义，分析出 在 边上且为 边上靠近 点的三等分点，是解答本题的关键 在 ABC中，内角 的对边分别是 ，若 ，则 ） A B C D 答案： C 试题分析：由 得 ，所以 ，即 ，所以 ，又 ，所以 . 考点：正弦定理 余弦定理 点评：此题考查学生灵活运用正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，根据三角函数的值求角，是一道基础题 若正数 满足 ,则 的最小值是（ ） A 6 B 5 CD 答案： B 试题分析：因为 所以 ， 所以 当且仅当 ，即 取等号
3、. 考点：基本不等式 点评：本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑 . 在等差数列 中 ,已知 ,则该数列前 11项和 （ ） A 58 B 88 C 143 D 176 答案： B 试题分析： 考点： ： 等差数列的前 n项和 点评：本题考查等差数列的通项公式和前 n项和公式的灵活运用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答 要得到函数 的图像，只需要将函数 的图像（ ） A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 答案： C 试题分析：根据左加右减的原则，要得到函数 的图像，只需要将函数的图像向左平移 个单位 .
4、考点：函数 的图像变换 点评：本题主要考查两角和与差的公式和三角函数平移，平移中一定要遵从 “左加右减，上加下减 ”的原则 . 是 “实系数一元二次方程 有虚根 ”的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：因为实系数一元二次方程 有虚跟， 所以 ，解得 ，所以 是 “ ”的必要不充分条件 .故选 A 考点：必要条件 充分条件 充要条件的判断 点评：本题考查必要条件 充分条件和充要条件的应用，解题时应严格按定义来判断，认真审题，仔细解答 . 已知全集 ,则 =（ ） A B C D 答案： A 试题分析：易求得 ， ，由数轴可知 =
5、考点：集合的 运算 点评：此题属于以其它不等式的解法为平台，考查了集合的运算，是高考中常考的基本题型 . 填空题 已知不等式 在 时恒成立，则 的取值范围是_. 答案： 试题分析： 在 时恒成立，转化成 在时恒成立，即 的图像恒在 的图像的下方 , 画图可知，当 时， ,所以 考点：函数恒成立问题 对数函数的图像与性质 点评：本题主要考查函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和数形结合的思想，属于中档题 在数列 中， ，若 是单调递增数列，则 的取值范围为 _ 答案： 试题分析：因为 所以 - 得 ，若数列 单调递增，则 对任意都成立，即 ，移向得 ，即 只需小于 的最小值即可，所以 . 考点：
6、数列的函数特性 点评：本题考查数列的函数性质及恒成立问题 ，考查了转化能力，计算能力，分离参数法的应用 . 在 中， ， 的面积 ，则 与 夹角的取值范围是 _. 答案： 试题分析： 这就是 与 夹角范围 . 考点：数量积表示两个向量的夹角 点评：本题考查平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角，注意向量的夹角的应用，考查计算能力，属基础题 . 已知函数 在 上满足 ，则曲线 在点 处的切线方程是 _. 答案： 试题分析：因为 ，所以 所以 又 所以 即 . 根据导数的几何意义可得曲线 在点 处的切线斜率 ， 所以过点 的切线方程为 考点：利用导数研究曲线上的切线方程 点评：本题主要考查
7、学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，解题的关键是要由已知先要求出函数的导数，进而可求 ，从而可求切线方程 已知点 的坐标 满足： 及 ，则 （ 为坐标原点）的最大值是 _. 答案： 试题分析： 可行域如图所示：因为 ， 所以 由 可得 所以 的最大值为 5 ，所以 的最大值为 10. 考点：简单线性规划的应用 点评：本题考查线性规划知识，考查数形结合的思想，属于中档题 . 计算： =_. 答案： 试题分析： 考点：两角和的正切公式 点评：本题主要考查两角和的正切公式变形的运用，抓住和角是特殊角，是解题的关键 . 解答题 设 是公比 大于 1 的等比数列， 为数列 的前 项和，已知 ，且
8、 构成等差数列 . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）令 ，求数列 的前 项和 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）由已知得 ，即 ，结合 解得 （ 2）由（ 1）得， ， ， 是以为首项，公差 的等差数列， 即 考点：等比数列的通项公式；数列的求和 点评：解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式及前 n项和公式，然后代入进行运算 已知函数 （其中 为正常数， ）的最小正周期为 （ 1）求 的值； （ 2）在 中，若 ，且 ，求 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1） 的最小正周期为 ，
9、为正常数， ， （ 2）由（ 1）可知 设 是三角形的内角，则 ， 令 ，得 ， 或 ，解得 或 由已知， 是 的内角， 且 ， ， ， 由正弦定理，得 考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数； y=Asin（ x+）中参数的物理意义 点评：本题主要考查三角函数的诱导公式，二倍角公式和三角函数的周期及其求法，并结合解斜三角形知识考查了正弦定理等知识属于三角函数章节与解斜三角形的综合考查 设函数 的定义域为 ，对任意的实数 都有 ；当 时， ，且 .（ 1）判断并证明 在 上的单调性； （ 2）若数列 满足： ，且 ，证明：对任意的， 答案：（ 1）单调递增（ 2） ，再利用. 试
10、题分析：（ 1） 在 上单调递增，证明如下： 设任意，且 ， ， ， 即 ， 在 上单调递增 . （ 2）在 中，令 ，得 .令， 得 ， .令 ，得 ，即下面用数学归纳法证明： 当 时， ，不等式成立； 假设当 时，不等式成立，即 ，则 在 上单调递增， ， ，即当 时不等式也成立 . 综上 ，由数学归纳法原理可知对任意的 ， 考点：数学归纳法；抽象函数及其应用；数列与函数的综合 点评：本题考查函数的单调性，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 已知向量 ， （ 1）求 及 ； （ 2）若函数 的最小值为 ，求 的值 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）
11、， （ 2）由（ 1）可得 ， 当 时，当且仅当 时， 取得最小值 -1，不合题意； 当 时，当且仅当 时， 取得最小值 ，由已知，解得 当 时，当且仅当 ， 取得最小值 ，由已知 ，解得 ，这与 矛盾 . 综上所述， 即为所求 . 考点：平面向量数量积的运算；向量的模；数量积表示两个向量的夹角；同角三角函数基本关系的运用 点评：本题考查向量的数量积公式、向量模的坐标公式、三角形的余弦定理、三角函数的二倍角公式、整体思想求三角函数的最值 已知函数 ， R. （ 1）求函数 的单调区间； （ 2）是否存在实数 ，使得函数 的极值大于 ？若存在，求 的取值范围；若不存 在，说明理由 . 答案：（
12、1）当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间 为 ；当 时，函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间 . （ 2）存在，范围为 试题分析：（ 1）函数 的定义域为 ， . 当 时， ， ， 函数 单调递增区间为 当 时，令 得 ，即 ， . （ ）当 ，即 时，得 ，故 ， 函数 的单调递增区间为 . （ ）当 ，即 时，方程 的两个实根分别为， . 若 ，则 ，此时，当 时， . 函数 的单调递增区间为 ，若 ，则 ，此时，当时， ，当 时， 函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为. 综上所述，当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间 为 ；当 时，函数 的单调递增区间为 ，无
13、单调递减区间 . （ 2）由 (1)得当 时，函数 在 上单调递增，故函数 无极值 当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为， 有极大值，其值为 ，其中 . ，即 ， . 设函数 ，则 ， 在 上为增函数，又 ，则 ， . 即 ，结合 解得 ， 实数 设曲线 ： 上的点 到点 的距离的最小值为 ,若 , （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）求证 : ； （ 3）是否存在常数 ,使得对 ,都有不等式 : 成立 请说明理由 . 答案：（ 1） （ 2）先证 ，累加即得证 .（ 3）存在常数,对 ,都有不等式 : 成立 .（ M 取值不唯一） 试题分析：（ 1）设点 ,则 , , 当 时 , 取得最小值 ,且 , 又 , ,即 ， 将 代入 得两边平方，得 ,又 , ， 数列 是首项为 ,公差为 的等差数列 , , , （ 2） , , ， 将以上 个不等式相加，得 . （ ）由（ 1）得 ,当 时 , , , ， , . 存在常数 ,对 ,都有不等式 : 成立 .（ M取值不唯一） 考点：数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数列与函数的综合 点评：本题考查数列的通项，考查数列与不等式的综合，考查放缩法的运用，解题的关键是根据目标，适当放缩，难度较大
