1、2013届广东省新兴县惠能中学高三第五次月考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知复数 的实部是 ，虚部是 ，其中 为虚数单位，则 在复平面对应的点在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： C 试题分析：由题意易知 ，所以 ，所以在复平面对应的点在为 ，在第三象限。 考点：复数的运算；复数的有关概念。 点评：复数在考试中一般是必出的一道小题，放在较靠前的位置，属于简单题，要求学生必须得分。因此，要对复数中的每个知识点都熟练掌握。复数在复平面对应的点为 。 有下列四种说法： 命题 “ ”的否定是 “ ” ； “命题 为真 ”是 “命题 为真 ”的必要不充分条件； “若 ”的
2、逆命题为真； 若实数 ,则满足 : 的概率为 . 其中 错误 的个数是 A B 1 C 2 D 3 答案： B 试题分析： 因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“ ”的否定是 “ ”，正确 ； “命题 为真 ”是 “命题 为真 ”的必要不充分条件，正确。 “若 ”的逆命题为 “若 ”，逆命题为假，当m=0时就不成立。 若实数 ,则满足 : 的概率为 . 考点：特称命题的否定；复合命题真假的判断；四种命题；几何概型。 点评：做本题的时候一定要看清最后求的是错误的个数，很多同学没看清题目，求成了正确的个数。 已知 ， ，则 的值为 A B C D 答案： D 试题分析：因为 ， ，所以 ，所以
3、，所以 = 。 考点：二倍角公式；和差公式；同角三角函数关系式。 点评：做本题的关键是凑角： 。属于基础题型。 台风中心从 A地以每小时 20千米的速度向东北方向移动，离台风中心 30千米内的地区为危险区，城市 B在 A的正东 40千米处， B城市处于危险区内的时间为 A 0.5小时 B 1小时 C 1.5小时 D 2小时 答案： B 试题分析：点（ 40,0）到直线 y=x的距离为 ，设台风中心到 C点的时候 B城市处于危险区，处于 D点的时候， B城市正好不为危险区，则 BC2- ，所以 CD=20.所以 B城市处于危险区内的时间为 1小时。 考点：应用题；点到直线的距离公式。 点评：准确
4、理解题意，分清已知和所求，画出示意图，将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，是做这类问题的主要思路。 某种细菌经 60分钟培养，可繁殖为原来的 2倍，且知该细菌的繁殖 规律为，其中 为常数， 表示时间（单位：小时）， 表示细菌个数， 10个细菌经过 7小时培养，细菌能达到的个数为 A 640 B 1280 C 2560 D 5120 答案： B 试题分析：细菌经 60分钟培养，可繁殖为原来的 2倍，所以 1个细菌经过 7小时的培养可使细菌能达到 27=128个 则 10个细菌经过 7小时培养，细菌能达到的个数 1280。 考点：指数型函数的实际应用；数列应用。 点评：本题主要考查了有理数的乘
5、方，细菌培养 60分钟，细菌个数为 21；培养2个小时，细菌个数为 22； ；培养 n小时，细菌个数为 2n，学生做题时总结出此规律是解本题的关键，属于基础题 如图，在 中，已知 ，则 A B C D 答案： C 试题分析： ,因此选 C。 考点：向量的运算：向量的加法、向量的减法、向量的数乘运算。 点评：本题直接考查向量的运算，属于基础题型。 如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为 A B C D答案： B 试题分析：由三视图知：原几何体为三棱柱，三棱柱的底面是直角边为 2 的等腰直角三角形，三棱柱的高为 4，所以该几何体的体积 。 考点：三视图；
6、棱柱的体积公式。 点评：本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的体积的求法，准确还原几何体的形状是解题的关键，同时还考查了学生的空间想象能力和基本的运算能力熟记棱柱、棱锥、棱台的体积公式。 如果实数 满足： ，则目标函数 的最大值为 A 4 BC D -4 答案： B 试题分析：画出线性约束条件 的可行域，由可行域可求目标函数的最大值为 . 考点：线性规划的有关知识。 点评：对于解决线性规划的问题我们的关键点在于分析目标函数。目标函数除了我们常见的 这 种形式外，还有常见的两种： ，第一种的几何意义为：过点 与点 (a,b)直线的斜率。第二种的几何意义为：点 与点 (a,b)的距离。 数列
7、是等差数列， 是它的前 项和，若 那么 = A 43 B 54 C 48 D 56 答案： D 试题分析： ，所以 ，所以 。 考点：等差数列的性质；等差数列的前 n项和。 点评：直接考查等差数列前 n项和的性质，属于基础题型。本题也可以用最基本的方法：列出关于 的方程组求解。 与 的图像关于 A 轴对称 B 轴对称 C原点对称 D 对称 答案： D 试题分析：因为 与 互为反函数，所以 与 的图像关于 对称。 考点：指数函数的图像；对数函数的图像；反函数的性质。 点评：若两个函数互为反函数，则这两个函数的图像关于直线 对称。 填空题 （几何证明选讲选做题）如图 , ABC中， D、 E分别在
8、边 AB、 AC 上， CD平分 ACB， DE BC，如果 AC=10， BC=15，那么 AE=_. 答案： 试题分析：由角平分线的性质知：,即。 考点：角平分线的性质。 点评：熟记角平分线的性质，属于基础题型。 （坐标系与参数方程选做题）若直线 （ t为参数）与直线 垂直，则常数 = . 答案： 试题分析：把直线 转化为 ，因为直线 与直线垂直，所以 ，所以 。 考点：直线的参数方程。 点评：直线 与直线 垂直的条件： 。 如图，该程序运行后输出的结果是 答案： 试题分析：第一次循环： ，不满足 ，再次循环； 第二次循环： ，不满足 ，再次循环； 第三次循环： ，不满足 ，再次循环； 第
9、 8 次循环： ，满足 ，结束循环，此时输出 。 考点：程序框图。 点评：程序框图是课改之后的新增内容，在考试中应该是必考内容。一般情况下是以一道小题的形式出现，属于较容易题目。 设函数 （ ），将 图像向左平移 单位后所得函数图像对称轴与原函数图像对称轴重合，则 答案： 试题分析：因为将 图像向左平移 单位后所得函数图像对称轴与原函数图像对称轴重合，所以 ，由周期公式得： ，所以 ，又因为 ，所以 。 考点：函数 的周期公式；三角函数的性质。 点评：函数左右平移变换时，一是要注意平移方向：按 “左加右减 ”，如由 f(x)的图象变为 f(x a)(a0)的图象，是由 “x”变为 “x a”，
10、所以是向左平移 a个单位；二是要注意 x前面的系数是不是 1，如果不是 1，左右平移时，要先提系数 1，再来计算。 双曲线 的一条渐近线为 ，双曲线的离心率为 答案： 试题分析：因为双曲线 的一条渐近线为 ，所以 ,所以 =2. 考点：双曲线的简单性质。 点评：求圆锥曲线的离心率是常见题型，常用方法： 直接利用公式 ； 利用变形公式： （椭圆）和（双曲线） 根据条件列出关于 a、 b、 c的关系式，两边同除以 a,利用方程的思想，解出 。 解答题 （本小题满分 12分）已知 ，函数. （ 1）求函数 的最小正周期； （ 2）在 中，已知 为锐角， , ,求 边的长 . 答案：（ 1） ；（ 2
11、） 。 试题分析： (1) 由题设知 2 分 4 分 6 分 (2) 8 分 12 分 考点：向量的数量积；诱导公式；二倍角公式；和差公式；同角三角函数关系式；正弦定理。 点评：本题以向量的方式来给出题设条件，来考查三角的有关知识，较为综合。同时本题对答题者公式掌握的熟练程度要求较高，是一道基础题 （本小题满分 13分）一车间生产 A， B， C三种样式的 LED节能灯，每种样式均有 10W和 30W两种型号，某天的产量如右表 (单位：个 )： 按样式分层抽样的方法在这个月生产的灯泡中抽取 100个，其中有 A样式灯泡25个。 （ 1）求 z的值； （ 2）用分层抽样的方法在 A样式灯泡中抽取
12、一个容量为 5的样本，从这个样本中任取 2个灯泡，求至少有 1个 10W的概率 型号 A样式 B样式 C样式 10W 2000 z 3000 30W 3000 4500 5000 答案：（ 1） z 2500；（ 2） 。 试题分析： (1).设该厂本月生产的 B样式的灯泡为 n个 ,在 C样式的灯泡中抽取 x个，由题意得 , ,所以 x=40. 2 分 则 100-40-25 35，所以， n=7000， 故 z 2500 7 分 (2) 设所抽样本中有 m个 10W的灯泡 , 因为用分层抽样的方法在 A样式灯泡中抽取一个容量为 5的样本 , 所以 ,解得 m=2 9 分 也就是抽取了 2个
13、 10W的灯泡 ,3个 30W的灯泡 , 分别记作 S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取 2个的所有基本事件为 (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3) 共 10个 , 10 分 其中至少有 1个 10W的灯泡的基本事件有 7个基本事件： 11 分 (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取 2个 ,至少有 1个 10W的灯泡的
14、概率为 13 分 考点：分层抽样；随机事件的概率；古典概型。 点评：本题考查列举法计算基本事件数及随机事件发生的概率，解题的关键是熟练运用分类列举的方法及事件的性质将所有的基本事件一一列举出来， 运用公式求出概率，列举法求概率适合基本事件数不太多的概率求解问题。 （本小题满分 13分）矩形 中， ， 是 中点，沿 将折起到 的位置，使 ， 分别是 中点 . （ 1）求证： ； （ 2）设 ，求四棱锥 的体积 . 答案：（ 1）只需证 平面 ；（ 2） 。 试题分析：（ 1）证明：矩形 中， 分别是 、 中点 1 分 2 分 3 分 4 分 平面 6 分 8 分 （ 2） ， 在等腰直角三角形
15、中， 且 9 分 且 、 不平行 平面 10 分 几何体 的体积 13 分 考点：线面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理；棱锥的体积公式。 点评：本题主要考查了空间的线线垂直的证明，充分考查了学生的逻辑推理能力，空间想象力，以及识图能力。 （本小题满分 14分）在平面直角坐标系中，已知两圆 ：和 ： ，动圆 在 内部且和圆 相内切且和圆 相外切，动圆圆心 的轨迹为 （ 1）求 的标准方程； （ 2）点 为 上一动点，点 为坐标原点，曲线 的右焦点为 ，求的最小值 答案：（ 1） ；（ 2） 13. 试题分析：（ 1）设动圆圆 心 ，半径为 ，由题意动圆 内切于圆 ，且和圆 相外切， ， ， 分
16、 , 分 点的轨迹图形 是 为焦点的椭圆 , 分 , 其中 ， ， ， 点的轨迹图形 的标准方程是： 分 （ ）设 ， （ 7分） 则 ， （ 8分） （ 9分） （ 10分） 点 满足 ， ， （ 11分） = （ 12分） ， 当 时， 的最小值为 13（ 14分） 考点：圆与圆的位置关系；圆的简单性质；椭圆的简单性质；轨迹方程的求法。 点评：求轨迹方程的一般方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。本题求轨迹方程用到的是定义法。用定义法求轨迹方程的关键是条件的转化 转化成某一已知曲线的定义条件。 （本小题满分 14分）已知函数 ， （ 1）求 的单调区间； （ 2）若 时
17、， 恒成立，求实数 的取值范围 答案：（ 1） 的单调增区间为： ， 单调减区间为： 。（ 2） 。 试题分析：（ 1） ， 分， 分 当 ， 在 上为增函数， 4 分 当 ， 有两个零点 ， 此时 的单调增区间为： 单调减区间为： 6 分 （ 2） 时， 恒成立等价于 时， 恒成立，即 时， 恒成立 即 时， 恒成立， 9 分 令 ， ， 10 分 时， ， 单调递增， 11 分 故 ， ， 12 分 13 分 的范围是 14 分 考点：利用导数研究函数的单调性；二次不等式的解法；恒成立问题。 点评：解本题用到的主要数学思想是分类讨论。解决恒成立问题常用变量分离法，变量分离法主要通过两个基本
18、思想解决恒成立问题， 思路 1： 在上恒成立 ；思路 2: 在 上恒成立 。 （本小题满分 14 分）已知函数 ，数列 满足 ，；数列 的前 项和为 ，数列 的前 项积为 ， （ 1）求证： ； （ 2）求证： 答案：（ 1） ， ；（ 2）只须征成立，又 ， ， 试题分析：（ 1）解： = =2 （ 2）证明：若证明 成立，只须征 成立 由 且由 知，若 则 由（ ）知 又 是递增的正项数列 是递减的正项数列 考点：导数的运算；数列通项公式的求法；数列前 n项和的求法。 点评：根据题意把数列 转化为 和 两种形式，从而有利于求数列 的前 n项和与前 n项积。这是解答第一问法关键是所在。此题考查的较为综合，对学生的能力要求较高。
