1、2013届广东省汕头四中高三第四次月考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知实数 、 、 满足 ，且 ，那么下列不等式一定成立的是 A B C D 答案： D 试题分析：因为 c0,因为 bc,所以 abac,故应选 D. 考点：不等式的性质 . 点评：本小题用到了不等式的性质：若 ab,c0则 acbc;若 ab,c1为增函数， 01在 上是增函数 , 05包含的基本结果有 3个，所以其概率为 . 由 得 ，从而 2分 由 得 ，从而 4分 (1) 所有可能的结果有： ，共 10个 . 6分 (2)记 “从集合 中任取一个元素 ，其中 ”为事件 ，则事件 包含的基本事件有 ，共 2个 .
2、故 9分 (3) 记 “从集合 中任取一个元素 ，其中 ”为事件 ，则事件 包含的基本事件有 ，共 3个 .故 12分 考点：列举法表示集合，古典概率计算公式 . 点评：当集合中元素个数不多时可以采用列举法，对于古典概型概率问题，要先求出试验发生的基本结果的总数，然后再求出事件包含的基本结果的个数，再利用概率计算公式计算即可 . 本小题满分 12分） 对于函数 f(x) (asin x cos x)cos x- ，已知 f( )=1 (1)求 a的值； (2)作出函数 f(x)在 x 0， 上的图像 (不要求书写作图过程 ) (3)根据画出的图象写出函数 在 上的单调区间和最值 . 答案： (
3、1) ； (2)由 (1)知， 函数 在 上的图像如图 . (3) 在 上的增区间为 ， ，减区间为 ， 当 时， ；当 时， . 试题分析： (1)利用 可得到关于 a的方程，求出 a的值 . (2)由 (1)知， ,然后利用五点法作出其在区间 上的图像即可 . (3)观察图像可得其增区间和减区间，以及最值 . (1) ，即 ，解得 4分 (2)由 (1)知， 函数 在 上的图像如图 . 8分 (3)由图可知， 在 上的增区间为 ， ，减区间为 10分 当 时， ；当 时， . 12分 考点：三角方程，函数 的图像及性质，五点法作图 . 点评：利用五点法作出 的图像，第一步：分别令求值对应的
4、 x 的值，然后求出 y 值，列出表格；第二步：描点；第三步：用平滑的曲线把这此点连接起来 . （本小题满分 14分） (1)已知正项等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 成等比数列 .求 的通项公式 . (2)数列 中， ， .求 的通项公式 答案： (1) ； (2) ，. 试题分析： (1)根据 ，且 成等比数列可得到关于 a1和 d的两个方程，进而得到 的通项公式 . (2) 由 ,可知数列 是首项为 ，公比为 的等比数列 ,因而可求出 的通项公式，进一步根据对数的运算性质可求出 bn. (1)记 的公差为 ，即 ，所以 2分 又 ， ， 成等比数列， ，即 4分 解得， 或 （舍去），
5、 ，故 7分 (2) 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列 2分 故 4分 5分 . 7分 考点：等差数列的前 n项和，等比数列的定义，对数的运算性质 . 点评：利用方程的思想来考虑如何求 a1和 d.这样须建立关于它们俩个的两个方程 .由于 显然可确定 是首项为 ，公比为 的等比数列 ,到此问题基本得解 . （本小题满分 14分） 已知向量 ， 且满足 . (1)求函数 的式； (2)求函数 的最小正周期、最值及其对应的 值； (3)锐角 中，若 ，且 ， ，求 的长 答案： (1) ； (2)函 数的最小正周期 ， 时， 的最大值为 ， 时， 的最小值为 ； (3) 。 试题分析： (1)
6、根据数量积的坐标表示，由 可求出 f(x)，然后再根据, 求得 m值，从而得到 f(x)的式 . (2)在（ 1）的基础可知 ,所以其周期为 , 然后再根据正弦函数 y=sinx,当 时，取得最大值 1；当时，取得最小值 - ,求出 f(x)的最值 . (3)先由 ,求出 A角，再利用余弦定理求出 BC. (1) 且 1分 又 3分 5分 (2)函数的最小正周期 6分 当 ，即 时， 的最大值为 ， 当 ，即 时， 的最小值为 8分 (3) 因为 ， 即 9分 是锐角 的内角， 10分 ， 由余弦定理得： 13分 14分 考点：本小题以平面向量为知识载体重点考查了三角函数 的周期及最值，三角方
7、程，解三角形 . 点评：掌握向量数量积的坐标表示是求解的突破口，而掌握 的周期及最值的求法是求解本题的关键，知道什么情况下适用正弦定理及余弦定理是求解第三问的基础 . （本小题满分 14分） 在三棱锥 中， 和 都是边长为 的等边三角形， ，分别是 的中点 (1)求证： 平面 ； (2)求证：平面 平面 ； (3)求三棱锥 的体积 答案： (1)见 (2) 见； (3) 。 试题分析： (1)根据线面平行的判定定理，只须判定 OD/PA即可 . （ 2）根据面面垂直的判定只须证明 平面 PAB即可 . （ 3）在（ 1）（ 2）的基础上，可利用三棱锥可换底的特性知 . 解： (1) 分别为 的
8、中点， 2分 又 平面 ， 平面 平面 4分 (2) 连结 ， , 又 为 的中点， ， 同理 , 6分 又 , , 8分 又 , 平面 . 由于 平面 ， 平面 平面 10分 (3)由（ 2）可知 平面 为三棱锥 的高，且 11分 故 14分 考点：线面平行，线面垂直，面面垂直的判定及性质，三棱锥的体积 . 点评：掌握线线，线面，面面平行与垂直的判定与性质是解决此类的前提，勿必熟记，同是在求三棱锥体积时，要注意可换底的特性 . （本小题满分 14分） 已知函数 . (1)求证：函数 在 上是单调递增函数； (2)当 时，求函数在 上的最值； (3)函数 在 上恒有 成立，求 的取值范围 .
9、答案： (1) 函数 在 上是单调递增函数 . (2) 的最小值为 ，此时 ；无最大值 . (3) 的取值范围是 . 试题分析： (1)证明函数 在 上是单调递增函数本质就是证明在 上恒成立 . （ 2）当 时 ,令 ，然后得到极值点，进 而求出极值，再与 值比较从而得到 f(x)的最大值与最小值 . (3) 函数 在 上恒有 成立问题应转化为 , 然后利用导数研究 f(x)在区间 1,2的极值，最值即可求出其最小值，问题得解 . (1)（法一：定义法） 任取 且 ,则 . 1分 ， . 3分 函数 在 上是单调递增函数 . 4分 （法二：导数法） 当 ， 函数 在 上是单调递增函数 . 4分 (2) 当 时， ； 由（ 1）知函数 在 上是单调递增函数 . 5分 ，即 7分 的最小值为 ，此时 ；无最大值 . 8分 (3) 依题意， ，即 在 上恒成立 . 函数 在 上单调递减， 11分 ， 又 . 故 的取值范围是 . 14分 考点：导数在研究函数单调性，极值，最值当中的应用 . 点评：（ 1）连续可导函数在某个区间 I上单调递增（减）等价于在区间 I上恒成立 . （ 2）在求某个区间上的最值时，应先求出极值，然后从极值与区间端点对应的函数值当中找到最大值和最小值 . （ 3）不等式恒成立问题一般要转化为函数最值来研究 .
