1、2013届广东省湛江一中高三上学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 复数 等于 A B C D 答案： A 试题分析： 。 考点：复数的运算。 点评：复数在考试中一般是必出的一道小题，放在较靠前的位置，属于简单题，要求学生必须得分。因此，要对复数中的每个知识点都熟练掌握。同时，也要熟记一些常用公式： 。 从 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9这 10个数字中任取 3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标 ，若 是 3的倍数，则满足条件的点的个数为 A 252 B 216 C 72 D 42 答案： A 试题分析：设 x+y+z=3n， 若 n=1，则 3个
2、数字为 0,1,2，三数的排列共 6种； . 若 n=2，则 3个数字为 0,1,5， 4,2,0， 3,2,1，总共排列共 18； 若 n=3，则 3个数字为 8,1,0， 7,2,0， 6,3,0， 6,2,1， 5,4,0， 5,3,1， 4,3,2，排列共42； 若 n=4，则 3个数字为 9,0,3， 9,2,1， 8,0,4， 8,1,3， 7,0,5， 7,4,1， 7,3,2， 6,5,1，6,4,2， 5,4,3，排列共 60； 若 n=5，则 3个数字为 9,6,0， 9,5,1， 9,4,2， 8,7,0， 8,6,1， 8,5,2， 8,4,3， 7,6,2，7,5,3
3、， 6,5,4，排列共 60； 若 n=6，则 3个数字为 9,8,1， 9,7,2， 9,6,3， 9,5,4， 8,7,3， 8,6,4， 7,6,5，排列共42； 若 n=7，则 3个数字为 9,8,4， 9,7,5， 8,7,6，总共排列共 18； 若 n=8，则 3个数字为 9,8,7，排列共 6。 总计： 252 考点：基本事件个数。 点评：在计算基本事件总数时，最好按一定的规律来数，这样能避免重复和遗漏。此题基本事件总数较多，我们在列举时一定要注意。 若函数 是偶函数，则 图象的对称轴是 A B C D 答案： A 试题分析：因为函数 是偶函数，所以函数 的图像关于y轴对称。又函
4、数 向左平移 个单位可以得到 的图像。 考点：函数的奇偶性；函数的对称性；函数图像的变换。 点评：本题主要考查三角函数图像的平移变换平移的原则是左加右减、上加下减但要注意，左右平移时，若 x前面有系数，一定要先提取系数再加或减数。此题是易错题，容易错选 B，其错误的主要原因是忘记提取 x前的系数。 已知函数 在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是 ， 则 等于 A B C D 答案： B 试题分析：因为 ，所以 。 考点：三角函数 的周期与最值。 点评：熟记三角函数 的周期公式 。属于基础题型。 已知两个非零向量 与 ，定义 ，其中 为 与 的夹角若 ， ，则 的值为 A B
5、C D 答案： C 试题分析：因为 ， ，所以， 所以 。 考点：向量的数量积；向量的夹角。 点评：注意向量夹角的取值范围： 。属于基础题型。 函数 y lgx- 的零点所在的大致区间是 A (6,7) B (7,8) C (8,9) D (9,10) 答案： D 试题分析：因为 ，所以函数 y lgx-的零点所在的大致区间是 (9,10)。 考点：零点存在性定理。 点评：函数 的图像在闭区间 是连续不断的，且 ，则函数 在 上有零点。零点存在性定理只能判断函数在 上有零点但没有判断出零点的个数。 命题 ： “任意非零向量 ，都有 ”，则 A 是假命题； ：任意非零向量 ，都有 B 是假命题；
6、 ：存在非零向量 ，使 C 是真命题； ：任意非零向量 ，都有 D 是真命题； ：存在非零向量 ，使 答案： B 试题分析：命题 P为假命题，因为当向量 共线且反向时， 。因为全称命题的否定为特称命题，所以命题 ： “任意非零向量 ，都有”的否定为 “存在非零向量 ，使 ”。 考点：命题真假的判断；命题的否定。 点评：本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握全称命题的否定为特称命题即 “ x A， p（ x） ”的否定是 “ x A，非 p（ x） ”，是解答本题的关键 函数 的图象大致是答案： B 试题分析：因为函数 的图像与函数 关于 y轴对称，所以答案：选B。 考点：指数函数的图像；函
7、数图像的变换。 点评：把函数 的图像关于 x轴对称得 的图像；把函数 的图像关于 y轴对称得 的图像；把函数 的图像关于原点对称得的图像。 填空题 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图 2中的实心点个数 1， 5， 12， 22， ，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作 ，第 2个五角形数记作 ，第 3个五角形数记作，第 4 个五角形数记作 ， ，若按此规律继续下去，得数列 ，则 ；对 ， 答案： 试题分析：因为 ， ， ， 所以 以上 n个式子相 加，得 。 考点：数列的应用；数列
8、通项公式的求法。 点评：做这类题目最重要的就是寻找规律。此题通过寻找前一项与后一项差的规律，进而求出数列 的通项公式。 在锐角 中， ， ，则 的取值范围是 答案： 试题分析：由正弦定理得： 。因为 为锐角三角形，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 的取值范围是 。 考点：正弦定理；二倍角公式。 点评：此题的关键是确定角 A的范围。在确定角 A的范围的时候，一定要考虑周全，即三个内角都要限制！属于中档题。 已知正方形 ， 是 的中点，由 确定 的值，计算定积分 答案： 试题分析：如图， 易知： ， 又因为 ，所以 ， 所以 。 考点：平面向量的运算；微积分定理；平面向量基本定理。 点评：考查
9、了平面向量基本定理，解答此题的关键是根据图形求出 m和 n的值，此题属中档题 等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 . 答案： 试题分析：因为数列 是等比数列，所以 是等比数列，所以，所以 126. 考点：等比数列的性质。 点评：若 为等比数列，则， 仍为等比数列。 集合 为函数 的值域，集合 为函数 的值域，则 答案： 或 试题分析： ，因为 ，所以集合 A= ；因为 ，所以集合 B= ，所以。 考点：集合的运算；函数的值域。 点评：此题主要考查函数值域求法。对于一些比较简单的函数，其值域可以通过观察得到，这是求函数值域的直接观察法。 若 ，则 答案： 试题分析：因为 ，所以 。 考点：对数的
10、运算；三角函数求值；诱导公式。 点评：本题主要考查公式的熟练应用。熟记公式是做本题的前提条件。 解答题 （ 12分）已知向量 ， ，且 （）求 的值； （ 2 ）求 的值 答案：（） ；（ 2 ） 。 试题分析：（） ，得 即 ， 5 分 （） 原式 10 分 12 分 考点：向量的数量积；向量垂直的条件；同角三角函数关系式；和差公式；二倍角公式。 点评：本题以向量的方式来给出题设条件，来考查三角的有关知识，较为综合。同时本题对答题者公式掌握的熟练程度要求较高，是一道基础题 （ 12分）已知数列 的前 n项和为 ，且 ，（ =1， 2， 3 ） （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）记 ，求
11、答案：（ 1） ；（ 2） 。 试题分析：（ 1） 当 时， .2 分 即 4 分 ， 即 6 分 （ 2） 7 分 8 分 - 得 9 分 即 10 分 12 分 考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式；数列前 n项和的求法。 点评：我们要熟练掌握求数列通项公式的方法。公式法是求数列通项公式的基本方法之一，常用的公式有：等差数列的通项公式、等比数列的通项公式及公式 。此题的第一问求数列的通项公式就是用公式，用此公式要注意讨论 的情况。 （ 14分）如右图，简单组合体 ABCDPE，其底面 ABCD为边长为 的正方形， PD 平面 ABCD， EC PD，且 PD 2EC . (1)若 N为
12、线段 PB的中点，求证： EN/平面 ABCD； (2)求点 到平面 的距离 答案： (1)只需证 NE FC； (2) 。 试题分析： (1)解法 1：连结 AC与 BD交于点 F，连结 NF， .1分 F为 BD的中点， NF PD且 NF PD.3 又 EC PD，且 EC PD， NF EC，且 NF EC， 四边形 NFCE为平行四边形， 4 NE FC. . .5 NE 平面 ABCD，且 平面 ABCD 所以 EN/平面ABCD； .6 (2)（体积法）连结 DE，由题 ，且 ，故 是三棱锥的高， . 7 在直角梯形 中，可求得 ，且 由（）所以9 ， 11 又 ， 12 设所求
13、的距离为 ，则 .14 解法 2： (1)以点 D为坐标原点，以 AD所在的直线为 x轴建立空间直角坐标系如图所示 1 ， 则 B(2,2,0)， C(0,2,0)， P(0,0， 2)， E(0,2， 1)， N(1， 1， 1)， 2 (1， -1， 0)， .3 ， 4 又 是平面 ABCD的法向量 NE 平面 ABCD 所以 EN/平面 ABCD； .6 （ 2）由（ 1）可知 ， .8 设平面 的法向量为 来源 :学科网 由 得 . 10 解得其中一个法向量为 .11 点 到平面 的距离为 14 考点：线面垂直的性质定理；线面平行的性质定理；点到平面的距离。 点评：设 A是平面 外一
14、点， B是 内一点， 为 的一个法向量，则点 A到平面 的距离 。 （ 14分）如图， ABCD是正方形空地，边长为 30m，电源在点 P处，点 P到边 AD， AB距离分别为 m， m某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕 ， 线段 MN必须过点 P，端点 M， N分别在边 AD， AB上，设 AN=x（ m），液晶广告屏幕 MNEF的面积为 S(m2) (1)求 S关于 x的函数关系式及该函数的定义域； （ 2）当 x取何值时，液晶广告屏幕 MNEF的面积 S最小？ 答案： (1) ，定义域为 （ 2）当 AN长为 m时，液晶广告屏幕 的面积 最小 试题分析：解：（ 1） 2分
15、4 分 ， 6 分 定义域为 7 分 （ 2） = ， 9 分 令 ，得 （舍）， . 10 分 当 时， 关于 为减函数； 当 时， 关于 为增函数； 当 时， 取得最小值 13 分 答：当 AN长为 m时，液晶广告屏幕 的面积 最小 14 分 考点：函数的应用题；生活中的优化问题；导数的实际应用。 点评：研究数学模型，建立数学模型，进而借鉴数学模型，对提高解决实际问题的能力，以及提高数学素养都是十分重要的建立模型的步骤可分为： (1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示； (2) 根据所给条件，运用数学知识，确定等量关系； (3) 写出 的式并指明定义域。 （ 14分）已知数
16、列 中 , , ( ) (1)求数列 的通项公式； (2）设 ,数列 的前 项和为 ,求证 : . 答案： (1) ； (2）只需求出 ，即可证明。 试题分析 ：（ 1）由 得 ， .3 分 又 ，所以 是等到比数列 5 ，即 .7 （ 2） 10 .13 . .14 考点：等比数列的性质；数列通项公式的求法；数列前 n项和的求法。 点评：在求数列的通项公式时，常用的一种方法是构造新数列，通过构造的新数列是等差数列或等比数列来求。对于递推公式形如 的形式，我们常用配凑系数构造新数列。 （ 14分）已知函数 ，其中常数 。 （ 1）当 时，求函数 的单调递增区间； （ 2）当 时，是否存在实数
17、，使得直线 恰为曲线的切线？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由； （ 3）设定义在 上的函数 的图象在点 处的切线方程为，当 时，若 在 内恒成立，则称 为函数的 “类对称点 ”。当 ，试问 是否存在 “类对称点 ”？若存在，请至少求出一个 “类对称点 ”的横坐标；若不存在，说明理由 答案：（ 1） 。（ 2）不存在；（ 3） 存在 “类对称点 ”，是一个 “类对称点 ”的横坐标。 试题分析：（ 1） ，其中 ， . . 2 令 得 或 . 当 及 时， 当 时， 3 的单调递增区间为 。 .4 （ 2）当 时， ，其中 ， 令 ， 5 方程无解， 6 不存在实数 使得直线 恰为曲线 的切
18、线。 7 （ 3）由（ 2）知，当 时，函数 在其图象上一点 处的切线方程为.8 设则 .9 若 在 上单调递减， 时， ，此时 . 若 在 上单调递减， 时， ，此时 在 上不存在 “类对称点 ”.11 若 在 上是增函数， 当 时， ，当 时， ，故 即此时点 是 的 “类对称点 ” 综上， 存在 “类对称点 ”， 是一个 “类对称点 ”的横坐标。 .14 考点：导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性。 点评： 本题主要考查函数的单调增区间的求法，以及探索满足条件的实数的求法，探索函数是否存在 “类对称点 ”解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用 利用导数求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域。
