1、2013届江苏省泰州二中高三第二次限时作业数学试卷与答案（带解析） 填空题 若函数 的最小正周期是 ，则 答案： 试题分析：由题意可知 ，所以 考点：本小题主要考查三角函数最小正周期的求法 . 点评：如果不说明 ，则应讨论 的正负 . 设等差数列 的前 项和为 ，若对任意的等差数列 及任意的正整 数 都有不等式设等差数列 的前 项和为 ，若对任意的等差数列 及任意的 正整数 都有不等式 成立，则实数 的最大值成立，则实数 的最大 值为 答案： 试题分析： 因为 ，所以 ，令 ，则 而 的最小值为 ，所以 考点：本小题主要考查等差数列的通项公式、前 项和的计算和灵活应用，以及不等式 恒成立问题，
2、考查学生转化问题的能力和运算求解能力 . 点评：解决此题的关键在于将不等式转化为 解答此类问题时要注意 灵活转化 . 已知函数 ，给定条件 ： ，条件 ： ，若 是 的充分条件，则实数 的取值范围为 答案： 试题分析 :因为 是 的充分条件，所以由 能推出 ，所以当 时， ，所以 ，所以 且 ，解得 考点：本小题主要以充要条件为载体考查三角函数求值问题和集合的运算问题，考查学 生的逻辑推理能力 和运算求解能力 . 点评：求解实数 的取值范围时，要特别注意端点处的函数值能否取到 . 设 是函数 定义域内的一个区间，若存在 ，使 ， 则称 是 的一个 “次不动点 ”，也称 在区间 上存在次不动点若
3、函数 在区间 上存在次不动点，则实数 的取值范围 是 答案： 试题分析：由题意，存在 ，使 当时，使 ；当 时，解得 设 ，则由 ，得 或 （舍去），且 在 上递增，在上递减因此当 时， ，所以 的取值范围是 考点：本小题主要是在新定义的背景下考查函数的值域问题，考查学生转化问题的的能 力和运算求解能力 . 点评：新定义问题是近几年高考常考的问题，要仔细读题，关键是在新定义背景下抽象 出我们熟悉的数学模型 . 在 中， 边上的中线 ，若动点 满足 ，则 的最小值是 答案： -2 试题分析：因为 且，所以点 在线段 上，故 ，设，则 ，当 时取最小值. 考点：本小题主要考查向量的线性运算和向量的
4、数量积运算以及二次函数求最值问题， 考查学生数形结合思想的应用和运算求解能力 . 点评：进行向量的线性运算时，要注意向量加减法的三角形法则和平行四边形法则的灵 活应用 . 若动点 在不等式组 表示的平面区域内部及其边界上运动， 则 的取值范围是 答案： 试题分析：画出可行域（如图所示阴影部分），而 ，其中表示 与点 连线的斜率 ，由图可知 ，故考点：本小题主要考查利用线性规划问题求最值，考查学生画图用图的能力和转化问题 的能力 . 点评：本题解题的关键在于将 看成可行域内的点与点 连线的斜率，有时有 的题目也会转化成距离等 . 设函数 ，若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围为 答案：
5、试题分析：对任意 ， .函数 ，所以 ，令 在 上单调递减，所以 的最大值为 ，所以 ，所以实数 的取值范围为 . 考点：本小题主要考查利用导数研究高次函数的单调性和恒成立问题，考查学生的转化 问题的能力和运算求解能力 . 点评：恒成立问题一般转化为最值问题解决，而导数是研究函数性质的很好的工具，要 灵活应用 . 已知二次函数 的值域是 ，则 的最小值是 答案： 试题分析：因为二次函数 的值域是 ，即该二次函数的最小值为 1，所以 ，即 ，所以 考点：本小题主要考查二次函数的最值以及利用基本不等式求最值问题，考查学生的运算求解能力 . 点评：利用基本不等式求最值时，一定要注意 “一正二定三相等
6、 ”三个条件缺一不可 . 设直线 与圆 相交于 A、 B两点，且弦 AB的长为 2 ，则 _. 答案： 试题分析：当直线与圆相交时，半径、弦长的一半和圆心到弦的距离组成一个直角三角形，所以本题中圆心到直线的距离为 ，应用点到直线的距离公式有 考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系的应用和点到直线的距离公式的应用，考查学生转化问题的能力和运算求解能力 . 点评：当直线与圆相交时，半径、半弦长和圆心到弦的距离构成一个直角三角形，这个三角形应用十分广泛， 要注意灵活应用 . 给出下列四个命题： （ 1）如果平面 与平面 相交，那么平面 内所有的直线都与平面 相交 （ 2）如果平面 平面 ，那么平面
7、内所有直线都垂直于平面 （ 3）如果平面 平面 ，那么平面 内与它们的交线不垂直的直线与平面也不垂直 （ 4）如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 真命题的序号是 （写出所有真命题的序号） 答案：（ 3）（ 4） 试题分析：如果平面 与平面 相交，平面 平面考点：本小题主要考查两个平面平行或垂直的判定和性质，考查学生的空间想象能力和推理论证能力 . 点评：解决此类问题的关键是紧扣定理，定理中的条件缺一不可 . 右图是某程序的流程图，则其输出结果为 答案： 试题分析：由流程图可知，该程序是求数列 的前 2011项的和，所以输出的结果为考点：本小题主要考查流程图的执行和裂
8、项相消法求数列的前 n项的和，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力 . 点评：考查流程图时一般考查循环结构，要弄清楚到底执行了多少次才退出循环；裂项相消法求数列的前 n项和也是常考的内容，要牢固掌握，灵活应用 . 已知集合 ,若 ,则实数 = . 答案： 试题分析： ， 考点：本小题主要考查集合的关系，考查学生的逻辑推理能力 . 点评：集合的关系是常考的内容，但难度一般较低 . 已知平面向量 ， ，且 ，则实数 答案： 试题分析：由题意知 考点：本小题主要考查向量数量积的坐标运算 . 点评：两向量垂直则两向量的数量积为零 . 若复数 是纯虚数，则实数 的值是 答案： 试题分析： 考点：本小题主
9、要考查复数的概念和运算，考查学生的运算能力 . 点评：注意到纯虚数要求实部为零，虚部不为零 . 解答题 已知 (1)如果函数 的单调递减区间为 ，求函数 的式； (2)在 (1)的条件下 ,求函数 的图像过点 的切线方程； (3)对一切的 , 恒成立 ,求实数 的取值范围 . 答案： (1) (2) 或 (3) 试题分析： (1) 由题意 的解集是 ,即 的两根分别是 ,将 或 代入方程 得 ， . 4 分 (2)设切点坐标是 .有 , 将 代入上式整理得 ,解得 或 . 函数 的图像过点 的切线方程 为 或 . 10 分 (3)由题意： 在 上恒成立， 即 可得 ， 设 ,则 ， 令 ,得
10、(舍 )，当 时 , ;当 时 , 当 时 , 取得最大值 , =-2， . ，即 的取值范围是 . 16 分 考点：本小题主要考查利用导数判断单调性、导数几何意义的应用和构造新函数利用导数解决恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力 . 点评：利用导数的几何意义求切线方程时，要分清是某点处的切线还是过某点的切线，还要分清已知点在不在曲线上；恒成立问题一般转化为求最值问题解决，如果需要，可以构造新函数用导数解决 . 如图，已知：椭圆 的中心为 ，长轴的两个端点为 ，右焦点为 ，若椭圆 经过点 ， 在 上的射影为 ，且 的面积为5 （ ）求椭圆 的方程； （ ）已知圆 ： =1
11、，直线 =1，试证明：当点 在椭圆上 运动时，直线 与圆 恒相交；并求直线 被圆 截得的弦长的取值范围 答案：（ ） （ ）证明见，弦长的取值范围为 试题分析：（ ）由题意设椭圆方程为 ，半焦距为 ， 由 ，且 ，得 .（ 1） 由题意 ，设点 坐标 ， 在 上，代入得 由 ABC的面积为 5，得， =5.（ 2） 解（ 1）（ 2）得 =94=5 所求椭圆 的方程为： 6 分 ( ) 圆 到直线 =1距离 ， 由点 在椭圆 上，则 ， 显然 ， 1， 1, ， 而圆 的半径为 1，直线 与圆 恒相交 12 分 弦长 =2 =2 ,由 得 ， , =2 , ， ， ， ， 弦长 的取值范围是
12、16 分 考点：本小题主要考查椭圆标准方程的求法、直线与圆的位置关系的判断和弦长公式的应用，考查学生的运算求解能力和数学结合思想的应用 . 点评：判断直线与圆的位置关系，首先要用圆心到直线的距离和半径比较大小，而不要用代数法，另外弦长公式运算比较复杂，要仔细计算 . 如图所示：一吊灯的下圆环直径为 4m，圆心为 O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即 ）为 2m，在圆环上设置三个等分点 A1， A2， A3。点 C为 上一点（不包含端点 O、 B），同时点 C与点 A1， A2， A3， B均用细绳相连接，且细绳 CA1， CA2， CA3的长度相等。设细绳的总长为
13、 ， （ 1）设 CA1O = (rad)，将 y表示成 的函数关系式； （ 2）请你设计 ，当角 正弦值的大小是多少时，细绳总长 最小，并指明此时 BC 应为多长。 答案：（ 1） (2) 当角 满足 时， 最小，最小为 ；此时 试题分析：（ 1）解：在 COA1中， ， ， 2 分 ， 7 分 （ ） ， 令 ，则 ， 10 分 当 时， ； 时， ， 在 上是增函数， 当角 满足 时， 最小，最小为 ；此时 .14分 考点：本小题主要考查利用三角函数和导数解决实际问题中的最值问题，考查学生抽象数学模型、转化问题和运算求解能力 . 点评：解决实际问题，关键是从实际问题中抽象出数学模型，还要
14、注意实际问题的定义域 . 如图，直四棱柱 中，底面 是直角梯形， ， （ 1）求证： 是二面角 的平面角； （ 2）在 上是否存一点 ，使得 与平面 与平面 都平行？证明你的结论 答案：（ 1）见 (2) 存在点 ， 为 的中点，证明见 试题分析：（ 1） 直棱柱 中， 平面 ， 2 分 又 ， ， ， 5 分 平面 ， 是二面角 的平面角 7 分 （ 2）存在点 ， 为 的中点 8 分 由 为 的中点，有 ，且 又 ， ， ，且 ， 为平行四边形，从而 11 分 又 面 ， 面 ， 面 12 分 同理， 面 14 分 考点：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理
15、论证能力 点评：证明一个问题，首先要分析需要什么条件，需要用到什么定理，然后把需要用到的定理的条件一一列举出来，缺一不可，数学证明题必须严谨 . 已知 中， A， B， C的对边分别为 ，且 （ 1）求角 的大小； 20070316 的值 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）由正弦定理可得， ， 2 分 所 . 3分 因为 ，所以 . 所以 . 5 分 因为 ，所以 . 6 分 （ 2）因为 8 分 所以 10 分 所以当 时， 取最大值， 此时 （ ），于是， 12 分 所以 . 14 分 考点：本题主要考查平面向量的数量积、边角关系的互化，考查运算求解能力 点评：注意第（ 1）中求
16、出三角函数值后要判断角的范围才能求角，因为三角函数值和角不是一一对应的 . 各项均为正数的等比数列 ， ，单调增数列 的前 项和为 ， 且 （ ） （ ）求数列 、 的通项公式； （ ）令 （ ），求使得 的所有的值，并说明理由 （ ) 证明 中任意三项不可能构成等差数列 答案：（ ） ， （ ）所有的值为 1， 2， 3， 4，理由见（ )证明见 试题分析：（ ）设等比数列 的公比为 ， = ， ， =4， ， ， . 3 分 +2 当 时， +2 - 得 ，即， =3， 是公差为 3的等差数列 当 时， +2，解得 =1或 =2， 当 =1时， ，此时 =7，与 矛盾； 当 时 ，此时此时 =8= ， 6 分 （ ） ， ， =21， = 1， , ， 下面证明当 时， 事实上，当 时， 0 即 ， ， 当 时， ， 故满足条件 的所有 的值为 1， 2， 3，4 11 分 ( )假设 中存在三项 ( , N*)使 构成等差数列， ，即 ， 因左边为偶数，右边为奇数，矛盾 假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列 &nb
