1、2013届浙江省桐乡市高三模拟考试（ 2月）文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ,则 = A B C D 答案： B 试题分析：因为， ， 所以， = ，选 B。 考点：简单不等式的解法，集合的运算。 点评：简单题，为进行集合的运算，需要首先确定集合中的元素。注意借助于数轴处理。 已知单位向量 满足 ，其中 k0，记函数 f( )= ，当 f( )取得最小值时，与向量 垂直的向量可以是 A B C D 答案： D 试题分析：因为，单位向量 满足 ， 所以， ， 即 f( )= = = ，即 = 时， f( )最小为， + 在 k=1时为 0，所以与向量 垂直的向量可以是，选 D。 考
2、点：平面向量的数量积，平面向量垂直的条件。 点评：中档题，涉及平面向量模的问题，往往 “化模为方 ”。两向量垂直，它们的数量积为 0 过双曲线 的右顶点 A作斜率为 -1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B， C若 ，则双曲线的离心率是 A、 B、 C、 D、 答案： C 试题分析：直线 l： y=-x+a与渐近线 l1： bx-ay=0交于 B（ ）， l与渐近线 l2： bx+ay=0交于 C（ ）， A（ a， 0）， ）， ）， ， ， b=2a， c2-a2=4a2， e2= =5， e= ，故选 C 考点：平面向量的坐标运算，双曲线的几何性质。 点评：中档题，通过确定
3、直线 l和两个渐进线的交点，进而表示出 ，利用 得到 a,b,c,e的关系。 已知函数 在 上单调递减，则 的取值范围 A B C D 答案： C 试题分析： x ， 0， x+ + , + 函数 f(x)=sin(x+ )在 上单调递减， 周期 T= ，解得 4, f(x)=sin(x+ )的减区间满足： +2k x+ +2k， k Z, 取 k=0，得 + , + ，解之得 故选 C. 考点：正弦型函数的单调性 点评：中档题，对正弦型函数的研究，注意将 看作一个整体。 现由黑白小球各 3个，将它们任意排成一排，左边 3个小球恰好颜色相同的概率是 A B C D 答案： D 试题分析：给小球
4、分别编号，总的排法数是 ，左边开始排起，有两种选择，黑色或者白色， 所以有 2 种排法，左边 3个小球恰好颜色相同的概率是 ，选 D。 考点：古典概型概率的计算 点评：简单题，古典概型概率的计算，关键是弄清两个 “事件数 ”，计算二者之比。 阅读下图程序框图，该程序输出的结果是 A 4 B 81 C 729 D 2187 答案： C 试题分析：第一圈，否， s=9,a=2; 第二圈， a=2,否， s=81,a=3; 第三圈，否， s=729,a=4; 第四圈，是，输出 s=729,故选 C。 考点：程序框图功能识别 点评：简单题，利用程序框图，逐次运算。 设 m， n是两条不同的直线， 是三
5、个不同的平 面，则下列为假命题的是 A若 ，则 B若 C若 D若 答案： D 试题分析：因为， ，所以， ； A正确； 因为， ， B正确； 因为， ， C正确；综上知，选 D。 考点：立体几何平行关系、垂直关系。 点评：简单题，关键是掌握平行、垂直的判定定理及性质定理。 设非负实数 x， y满足约束条件 , 若目标函数 z=ax+by（ a0，b0）的最大值为 12，则 的值为 A 12 B 26 C 24 D 6 答案： D 试题分析：画出可行域及直线 ax+by=0，平移直线 ax+by=0，经过点 A（ 4,6）时，使 z=ax+by最大值 12， 即 4a+6y=12,所以， 2a+
6、3y=6.选 D。 考点：简单线性规划的应用 点评：简单题，简单线性规划问题，一般遵循 “画，移，解，答 ”等步骤。 已知 a,b是实数，则 “a0或 b0”是 “a+b0且 ab0” A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：当 a+b0且 ab0”时，可得 a0且 b0，但 “a0或 b0”时 ，不一定有 “a+b0且 ab0”，即 “a0或 b0”是 “a+b0且 ab0”必要而不充分条件，选 B。 考点：不等式的性质，充要条件的概念。 点评：简单题，涉及充要条件问题，往往综合性较强，充要条件的判断有 “定义法 ”“等价关系法
7、“集合关系法 ”。 已知复数 z= -1+2i(其中 i为虚数单位 )，则 = A 2-i B 2+i C -2-i D -2+i 答案： A 试题分析：因为， = ，所以选 A。 考点：复数的代数运算 点评：简单题，复数的除法，要注意分子分母同乘分母的共轭复数，实现分母实数化。 填空题 已知实数 a0， b0，点 A、 B分别是曲线 （ ）与曲线（ ）上任意两点，则 | |最小值为 . 答案： 试题分析： = ， =，两双曲线的对称中心分别为（ - ， ），（ - ，），所以， | |最小值是双曲线实轴长 。 考点：双曲线的几何性质 点评：中档题，本题以函数的形式出现，利用转化与化归思想及双
8、曲线的几何性质，确定得到 | |最小值。 以点 C (t, )(t R , t 0)为圆心的圆过原点 O，直线 y = -2x-4与圆 C交于点 M, N， 若 ，则圆 C的方程 答案： 试题分析：圆心 C（ t， ），半径 r=|OC|= ， 因此圆方程为 ， 由于 ， |CM|=|CN| ，所以 OCAMN ， 则 ， 即 ，解得 t=2 或 t= -2 ， 当 t=2 时，直线与圆无交点，因此舍去， 所以，圆 C 的方程为 。 考点：圆的方程，直线垂直的条件。 点评：中档题，利用直线垂直的条件，建立 t的方程，注意检验。本题易错，忽视检验。 已知实数 a,b满足 a2+b2=1, 则 的
9、取值范围是 . 答案： 试题分析：由 得， ， 又 = ，故答案：为 。 考点：均值定理的应用，二次函数的图象和性质。 点评：中档题，综合应用均值定理及二次函数的性质，确定取值范围。应用均值定理，要注意 “一正，二定，三相等 ”， 缺一不可。 数列 满足 ，则 _. 答案： 试题分析：因为， ，所以，考点：数列的递推公式，对数函数的性质，等比数列的求和公式。 点评：简单题，利用数列的递推公式，可归纳出数列的通项公式，从而利用对数函数的运算性质及等比数列的求和公式使问题得解。 对某地 2009年至 2011年房产中介公司发展情况进行了调查，制成了该地区房产中介公司个数情况的条形图和中介公司二手房
10、交易量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区二手房年平均交易量为 套。答案： 试题分析：三年中该地区二手房年平均交易量为： = =85（百套），故答案：为 8500。 考点：条形统计图，平均数。 点评：简单题，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键掌握平均数的计算方法 如图，是由若干个相同的小正方体堆成的几何体的三视图（各视图由小正方形拼接而成，现如图进行编号），则该几何体中含面 的小正方体也含面 （填写序号） ; 答案： ， 试题分析：根据三视图的知识，几何体的底面有 3个小正方体，该几何体有两层，第二层有 1 个小正方体，共有 4 个，几何
11、体中含面 的小正方体也含面 ， 考点：三视图 点评：简单题，三视图已成为高考必考知识内容，关键是掌握三视图画法规则，“高平齐，长对正，宽相等 ”。 已知函数 若 f(x)=2，则 x= ; 答案： .5 试题分析：因为， ，所以，由 f(x)=2，得， 或，综上知， x=0.5. 考点：分段函数的概念 点评：简单题，利用分段函数，当自变量取不同数值时，函数的表达式不同。 解答题 在 中，角 , , 的对边是 , , ，且 . （ ）求 的值； （ ）若 ，求 面积的最大值 . 答案：（ ） ；（ ） 的面积的最大值为 . 试题分析：（ ）解法一： 由 及正弦定理得 ， （ 2分） 即 ， 所以
12、 ， （ 4分） 由 及诱导公式得 ， （ 6分） 又 中 ，得 . （ 7分） 解法二： 由 及余弦定理得 （ 3分） 化简得 : （ 5分） 所以 （ 7分） （ ）由（ ）知 （ 8分） 由 及余弦定理得 （ 11分） 即 （当且仅当 时取到等号） 所以 的面积为 所以 的面积的最大值为 . （ 14分 考点：两角和与差的三角函数，正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积。 点评：中档题，三角形中的问题，往往利用两角和与差的三角函数公式进行化简，利用正弦定理、余弦定理建立边角关系。本题综合性较强，综合考查两角和与差的三角函数，正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积。 在数列 中，已知 （ .
13、（ ）求 及 ； （ ）求数列 的前 项和 . 答案：（ ） ， =2n。 （ ） 。 试题分析：（ ）因为 （ ， 所以当 时， ，解得 ； （ 2分） 当 时， 所以 是一个以 2为首项，以 2为公差的等差数列， 所以 =2n （ 7分） （ ）因为 ，数列 的前 项和 ， 所以 ， （ 8分） ， （ 9分） 两式相减得： （ 10分） = （ 13分） 所以 （ 14分） 考点：等差数列的通项公式， “错位相减法 ”。 点评：中档题，涉及数列的通项公式的确定，往往利用已知条件，建立相关元素的方程组。 “分组求和法 ”“裂项相消法 ”“错位相减法 ”是高考常常考查的数列的求和方法。 如图
14、，在三棱柱 中， ， ， ，点 是 的中点， . （ ）求证： 平面 ； （ ）设点 在线段 上， ，且使直线 和平面 所成的角的正弦值为 ，求 的值 . 答案：（ ）连接 交 于点 ，连接 ，得到 ，进一步可得 平面 . （ ） 。 试题分析：（ ）证明：在三棱柱 中， 连接 交 于点 ，连接 ，则 是 的中点 在 中，点 是 的中点， 所以 ， 又 ， ， 所以 平面 . （ 5分） （ ）在 中， ， ，点 是 的中点 所以 ，又 ， 是平面 内的相交直线， 所以 平面 ，可知 . （ 7分） 又 ， 是平面 内的相交直线，交点是 D， 知 平面 . 平面 在三棱柱 中， 为线段 上的点
15、， 过 分别作 于点 ， 于点 ，连接 由 平面 ， ，得 又 ， 、 是平面 内的相交直线 所以 平面 ， 是 在平面 内的射影， 是直线 和平面 所成的角 . （ 12分） 设 ，由 得 ， 可得 ， 所以在 中， 相关试题 2013届浙江省桐乡市高三模拟考试（ 2月）文科数学试卷（带） 已知函数 . ( ) 若函数 在 处的切线方程为 ，求实数 的值 . （ ）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围 . 答案： ( ) ； （ ） 。 试题分析： ( ) 由 得 （ 2分） 函数 在 处的切线方程为 ， 所以 ，解得 （ 5分） （ ）当 时，不等式 恒成立， 所以 ， ，而 （ 6
16、分） 由（ ）知 令 得 或 （ 8分） （ 1）当 即 时， 恒成立，所以 在 上递增，成立 （ 9分） （ 2）当 即 时，由 解得 或 当 即 时， 在 上递增，在 上递减， 所以 ，解得 ； 当 即 时， 在 上递增，在 上递减， 在 上递增， 故 ， 解得 ； （ 12分） （ 3）当 即 时，由 解得 或 当 即 时， 在 上递减，在 上递增，舍去； 当 即 时， 在 上递增，在 上 递减， 在 上递增， 所以 ，解得 （ 14分） 所以实数 的取值范围为 （ 15分） 考点：导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题。 点评：中档题，利用导数研究函数的单调性、极值
17、，是导数应用的基本问题，主要依据 “在给定区间，导函 已知抛物线 C： 与椭圆 共焦点， （ ）求 的值和抛物线 C的准线方程； （ ）若 P为抛物线 C上位于 轴下方的一点，直线 是抛物线 C在点 P处的切线，问是否存在平行于 的直线 与抛物线 C交于不同的 两点 A， B，且使？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由 . 答案：（ ） ；（ ）不存在满足条件的直线 . 试题分析：（ ）因为抛物线 C： 与椭圆 共焦点， 所以抛物线 C： 的焦点为（ 1,0） （ 1分） 所以 得 （ 3分） 抛物线 C的准线方程为 （ 4分） （ ）由（ ）知抛物线 C： 因为 P为抛物线 C上位
18、于 轴下方的一点， 所以点 P满足 ， 所以点 处的切线 的斜率为 所以平行于 的直线 方程可设为 （ 6分） 解方程组 ，消去 得： ，（ 7分） 因为直线 与抛物线 C交于不同的两点 A， B， 所以 即 ， （ 8分） 设 ，则 ， （ 10分） 所以线段 AB的中点为 ， 线段 AB的中垂线方程为 （ 12分） 由 知点 P在线段 AB的中垂线上 所以 ， （ 13分） 又 得 代人上式得 ，（ 14分） 而 且 ，所以无解 . 从而不存在满足条件的直线 . （ 15分） 考点：椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，简单不等式解法。 点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题求抛物线准线方程时，主要运用了椭圆、抛物线的定义及几何性质。（ 2）作为研究直线与抛物线相交时弦长的范围问题，应用韦达定理，建立了 k的不等式，进一步使问题得解。
