1、2013届海南琼海嘉积中学高三上质量监测（三）理科数学试题（带解析） 选择题 已知 是非空集合，命题甲： ，命题乙： ，那么 （ ） A甲是乙的充要条件 B甲是乙的充分不必要条件 C甲是乙的既不充分也不必要条件 D甲是乙的必要不充分条件 答案： D 试题分析：由 可以得出 或 ，反之，由 可以得出，所以甲是乙的必要不充分条件 . 考点：本小题主要考查集合的关系和充分、必要条件的判断，考查学生的推理能力 . 点评：考查集合的关系可以借助韦恩图 . 规定 表示 两个数中的最小的数，若函数的图像关于直线 对称，则 的值是（ ） A B C D 答案： B 试题分析： 的图象为 的图象向左 或向右 平
2、移 个单位得到的，因为题中函数的图象关于直线 对称，所以 的解为，所以 考点：本小题主要以新定义的函数为背景，考查函数图象的平移和对称问题，考查学生的逻辑推理能力和数形结合思想的应用 . 点评：新定义问题都是 “新面孔，老知识 ”，所以耐心读题，细心答题，仔细思考新定义问题到底是考查哪些老知识，要适当转化问题 . 在 中 ,角 所对的边分别为 ,且满足 ,则的最大值是 ( ) A B C D 2 答案： A 试题分析：因为 ，根据正弦定理，有 , 所以 ，所以最大值为 考点：本小题主要考查正弦定理、三角形内角和定理、两角差的余弦公式和辅助角公式、最值的求解和应用，考查学生综合运用公式的能力和数
3、形结合考查三角函数性质的能力 . 点评：要考查三角函数的性质，应该先把函数化为 的形式 . 已知函数 有两个零点 ，则（ ） A B C D 答案： D 试题分析：不妨设 ，由题意知 ，而是单调递减函数，所以 即所以 所以 所以 所以 . 考点：本小题以函数的零点个数问题为载体，考查指数函数和对数函数的单调性、含绝对值的函数和各种性质的综合应用，考查学生数形结合解决问题的能力 . 点评：对于此类问题，一定要画出函数图象，结合图象进行解题 . 如图 ,在 中 , , 是 上的一点 ,若 ,则实数 的值为 ( ) A B C 1 D 3 答案： A 试题分析：设 , 所以 , 又因为 ，所以 考点
4、：本小题主要考查平面向量的线性表示和共线向量定理的应用，考查学生的逻辑推理能力和定理的应用能力 . 点评：用已知向量表示未知向量时，主要用到首位相接的 向量的加法运算和三角形法则及平行四边形法则的应用 . 已知 是实数，则函数 的图象不可能是（ ）答案： B 试题分析：图 B中，显然周期大于 ，即 ，所以 ，那么最大值减去最小值等于 应该小于 ，而图中最大值减去最小值显然大于 2，所以矛盾，所以不可能 . 考点：本小题主要考查根据图象的性质（最值、周期、对称轴等）判断函数的图象，考查学生利用函数性质解决问题的能力和数形结合思想的应用 . 点评：三角函数中最值、周期、单调性、对称轴等是比较重要的
5、性质，一定要牢固掌握，灵活应用 . 已知各项均为正数的等比数列 中， 成等差数列，则( ) A 或 3 B 3 C 27 D 1或 27 答案： C 试题分析：因为 成等差数列，所以 ，设公比为 ，所以 ，解得 或 （舍），所以 考点：本小题主要考查等差数列和等比数列中的基本运算，考查学生的运算求解能力 . 点评：求出公比后，看出 是简化此解题过程的关键 . 设 是等腰直角三角形 的斜边 上的三等分点，则 = ( ) A B C D 答案： C 试题分析：如图，设点 为 的中点，设 , 则 所以 考点：本小题主要考查等腰直角三角形中的边角关系和二倍角的正切公式的应用 . 点评：解决此类问题，借
6、助于图形，借助平面几何的知识可以是运算简化 . 曲线 ： 在点 处的切线 恰好经过坐标原点，则曲线 、直线 、轴围成的图形面积为 ( ) A B C D 答案： D 题分析：设点 的坐标为 ， ，所以点 处的切线的斜率为 ，因为切线恰好经过坐标原点，所以 ，解得 ，所以直线 的方程为所以曲线 、直线 、 轴围成的图形面积为 考点：本小题主要考查导数的几何意义和利用定积分求曲边图形的面积，考查学生 运用数学知识解决问题的能力和数形结合思想的应用 . 点评：用定积分求曲边图形的面积时，一定要写清楚积分限，而且一定要注意是上边的图形减下边的图形，所以一定要数形结合来解决问题 . 已知平面向量 的夹角
7、为 且 ，在 中， ， 为 中点，则 ( ) A 2 B 4 C 6 D 8 答案： A 试题分析：因为 为 中点，所以, 因为平面向量 的夹角为 且 ， 所以 . 所以 ， 所以 考点：本小题主要考查向量加法的平行四边形法则的应用和向量的模、向量的数量积的运算，考查学生的运算法则 . 点评：要求向量的模先求模的平方 . 已知向量 则 等于 ( ) A B C D 答案： B 试题分析： 考点：本小题主要考查两向量平行的坐标运算、同角三角函数的基本关系式和两角和与差的正切公式，考查学生的运算求解能力 . 点评：准确掌握并灵活应用公式是解决此类问题的关键 . 已知 为等差数列 的前 项的和， ，
8、 ，则 的值为 ( ) A 6 B C D 答案： D 试题分析：因为数列 是等差数列，所以设公差为 ，由 ，有： 考点：本小题主要考查等差数列的基本运算 . 点评：等差数列是一类比较重要的数列，它的基本量的计算是每年高考考查的重点内容 . 填空题 已知 ，各项均为正数的数列 满足 ， ，若，则 的值是 . 答案： 试题分析： ， ，所以 ，依次可求.又 又 ，由此可知，当 为偶数时，所以 ，所以 = 考点：本小题主要以函数为载体考查由数列的递推关系式求数列的通项公式，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力 . 点评：数列的递推关系式也是表示数列的一种方式，递推公式也是高考中常考的内容，要灵活应
9、用 . 如图，边长为 的正方形 的顶点 , 分别在 轴、 轴正半轴上移动，则 的最大值是 . 答案： 试题分析：由图可知， 所以( )( )= ,显然当 时， 与平行，此时取到最大值 ，所以 的最大值是 . 考点：本小题主要考查向量的线性运算和向量数量积的运算，考查学生的转化能力和运算能力 . 点评：当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理以及解三角形等知识 . 在 中，若 , , ,则 . 答案： 试题分析：因为 , , ,利用余弦定理有：即 ，解得 ， 利用三角形
10、的面积公式有 考点：本小题主要考差余弦定理和三角形面积公式的应用 . 点评：本小题也可以先利用正弦定理解出角 ，利用三角形内角和定理求出角，再利用正弦定理求 ，进而求三角形的面积，但是不如题中直接利用余弦定理简单 . 已知向量 ， 满足 ， ， 与 的夹角为 ，则 . 答案： 试题分析：因为 ， ， 与 的夹角为 ， 所以 ， 所以 所以 考点：本小题主要考查向量的数量积和向量的模的计算，考查学生的运算求解能力 . 点评：遇到向量的模的问题，先转化为求模的平方，因为向量的模的平方即向量的平方，直接利用公式计算即可 . 解答题 (本小题满分 12分 ) 在 中，内角 所对边的长分别为 ，已知向量
11、 =(1,cosA -1)， =(cosA,1)且满足 . （ ）求 的大小； （ ）若 ,求 的值 . 答案：（ ） （ ） 或 试题分析： (1) , ， ， 因为 为 内角， . 5 分 (2)因为 ,由余弦定理 得： ， , 9 分 由 得 或 . 12 分 考点：本小题主要考查平面向量垂直的坐标表示和在三角形中利用余弦定理解三角形 ,考查学生的运算求解能力 . 点评：平面向量平行和垂直的坐标表示经常考查，要注意牢固掌握、灵活应用 . （本小题满分 12分） 函数 在一个周期内的图象如图所示， 为图象的最高点， 、 为图象与 轴的交点，且 为正三角形。 （ ）求 的值及函数 的值域；
12、（ ）若 ，且 ，求 的值。 答案：（ ） ，函数的值域为 （ ） 试题分析：（ ）由已知可得 ， . 2 分 所以正三角形 的高为 ，则 ， 所以函数的周期为 ，得 ， 函数的值域为 . 6 分 （ ）由于 ，即 ， 又 ，得 ，所以 ， . 12 分 考点：本小题主要考查三角函数的图象和性质、两角和与差的三角函数，考查学生数形结合数学思想的应用和运算求解能力 . 点评：由三角函数的图象可以求出最值、周期、单调区间和对称轴、对称中心等，也要会由函数 画三角函数的图象，另外三角函数中公式较多，要灵活应用 . （本小题满分 12分） 已知数列 的前 项和为 ，函数 , （其中 均为常数，且 ），
13、当 时，函数 取得极小值 . 均在函数 的图像上（其中 是的导函数） . （ ）求 的值； （ ）求数列 的通项公式 . 答案：（ ） （ ） 试题分析：（ ）因为 ， 所以 . 令 得 ,或 . 由此可得下表 + 0 - 0 + 增 极大值 减 极小值 增 因为 ，所以 在 处取得唯一的极小值，可得 . 6分 （ ）由题意知函数 , 因为 均在函数 的图像上， 所以 . 由于 ，所以 ，得 , 8 分即 当 （本小题满分 12分） 已知函数 （ ）讨论函数 在定义域内的极值点的个数； （ ）若函数 在 处取得极值，对 , 恒成立， 求实数 的取值范围； （ ）当 且 时，试比较 的大小 答案
14、：（ ）当 时 在 上没有极值点，当 时， 在上有一个极值点（ ） （ ）当 时， ，当时， . 试题分析：（ ）由已知得 ， 所以当 时， 在 上恒成立，函数 在 单调递减， 在 上没有极值点； 当 时，由 得 ， 得 ， 在 上递减，在 上递增，即 在 处有极小值 当 时 在 上没有极值点， 当 时， 在 上有一个极值点 3 分 （ ） 函数 在 处取得极值， ， ， 5 分 令 ，可得 在 上递减，在 上递增， ，即 7 分 （ ）由 ( )知 在 (0,e2)上单调减， 时， ， 即 . 当 时， ， ， ， 当 时， ， , . 12 分 考点：本小题主要考查利用导数判断极值点的个数、利用导数解决恒成立问题和利用导数证明不等式等问题，考生学生的逻辑思维能力和运算求解能力 . 点评：导数是研究函数性质的一个比较好的工具，给出函数可以利用导数考查函数的性质，恒成立问题可以转化为最值问题来解决，如果最值不好求，可以构造新函数再次利用导数求解，一定要灵活运用导数，使导数的功能完全发挥出来 .
